2.3.1 抛物线及其标准方程-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§3　抛物线 3.1　抛物线及其标准方程 [学习目标] 知识 层面 1．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程．　2．掌握抛物线的定义的应用．　3．会求抛物线的标准方程，并能应用它解决有关问题. 素养 层面 通过对抛物线的定义、标准方程的学习，培养数学抽象、直观想象素养；借助于对标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养. 知识点一　抛物线的定义 问题1　如图所示，先将一把直尺固定在画板上，再把一个直角三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘(记作直线l)，然后取一根细绳，它的长度与另一条直角边AB相等，细绳的一端固定在三角板顶点A处，另一端固定在画板上的点F处．用铅笔尖(记作点P)扣紧绳子，并靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，可以发现铅笔尖就在画板上描出了一段曲线，即点P的轨迹．你能发现点P满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？ 提示：点P运动的过程中，始终有|PF|＝|PB|，即点P与定点F的距离等于它到定直线l的距离，点P的轨迹形状与二次函数的图象相似． 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线 焦点 定点F叫作抛物线的焦点 准线 定直线l叫作抛物线的准线 集合 表示 P＝{M||MF|＝d}，d为点M到直线l的距离 [微提醒]　(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)．(2)若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． (1)在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 学生用书第57页 (2)(2024·河北石家庄高二上期中)已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，点B是l上的动点．若过点B且垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　) A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)若点P的轨迹为抛物线，则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，但若点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，且该定点在该定直线上，则点P的轨迹就不是抛物线，故应为必要不充分条件．故选B． (2)连接MF(图略)．由垂直平分线性质知|MB|＝|MF|，即点M到定点F的距离与它到直线l的距离相等，因此点M的轨迹是抛物线．故选D. 　　规律方法 理解抛物线的定义是解决问题的关键，要抓住平面内的点到定点与到定直线的距离相等这一重要特征，但要注意的是定点不在定直线上． 对点练1．在平面内，到直线x＝－2与到定点P(2，0)的距离相等的点的轨迹是(　　) A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线 答案：A 解析：动点M到定点P(2，0)的距离与到定直线l：x＝－2的距离相等，所以M的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线．故选A． 知识点二　求抛物线的标准方程 问题2　比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，能使所求抛物线的方程形式简单． 提示：我们取经过焦点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系．设|KF|＝p(p>0)，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为x＝－. 设M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛物线的定义，点M满足|MF|＝d. 则M到F的距离为|MF|＝，M到直线l的距离为，所以 ＝，将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0)． 图形 标准 方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 焦点 坐标 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ [微提醒]　(1)p的几何意义是焦点到准线的距离．(2)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于一次项变量(x或y)及其系数的符号．(3)解题时首先把方程化为标准方程． (链教材P70例1)根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)； (3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上． 解：(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，所以抛物线焦点在y轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)．又＝2，所以2p＝8， 所以所求抛物线的标准方程为x2＝8y. (2)因为点(3，－4)在第四象限，所以抛物线开口向右或向下， 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，或x2＝－2p1y(p1＞0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝. 所以所求抛物线的标准方程为y2＝x，或x2＝－y. (3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15. 所以抛物线的焦点为(0，－5)，或(－15，0)． 所以所求抛物线的标准方程为x2＝－20y，或y2＝－60x. 　　规律方法 1．抛物线标准方程的求法 (1)定义法：建立适当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程； (2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值． 2．求抛物线标准方程时应注意的问题 (1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系； (2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数； (3)注意p与的几何意义． 对点练2．根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)焦点为F(0，－4)； (2)焦点到准线的距离为. 解：(1)因为焦点在y轴的负半轴上，并且－＝－4，即p＝8. 所以所求抛物线的标准方程为x2＝－16y. (2)由焦点到准线的距离为，所以p＝， 所以所求抛物线的标准方程为y2＝2x，或y2＝－2x，或x2＝2y，或x2＝－2y. 学生用书第58页 抛物线定义的应用 已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值． 解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，点P，点(0，2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小， 所以最小距离d＝＝. [变式探究] 1．(变条件)若将本例中的“点(0，2)”改为“点A(3，2)”，求|PA|＋|PF|的最小值． 解：将x＝3代入y2＝2x， 得y＝±. 所以点A在抛物线y2＝2x的内部． 设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－的距离为d， 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d. 由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是. 即|PA|＋|PF|的最小值是. 2．(变条件)若将本例中的“点(0，2)”换成“直线l1：3x－4y＋＝0”，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值． 解：如图所示，作PA1垂直于直线l1于点A1，作PQ垂直于准线l于点Q，|PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|. |A1F|的最小值为点F到直线3x－4y＋＝0的距离d＝＝1.即所求最小值为1. 　　规律方法 抛物线定义的两种应用 实现距 离转化 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题 解决最 值问题 在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题 对点练3．已知抛物线的方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，点A到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________． 答案：－1 解析：由抛物线的方程为y2＝－4x，得其焦点F(－1，0)，准线方程为x＝1.如图所示，过点A作直线l的垂线，垂足为H，则|AH|＝n.过点A作准线的垂线，垂足为C，交y轴于点B，则|AB|＝m，|AC|＝m＋1.根据抛物线的定义可知，|AF|＝|AC|＝m＋1，所以m＋n＝|AF|＋|AH|－1.过点F作直线l的垂线，垂足为H1，则|FH1|＝＝.当点A为垂线段FH1与抛物线的交点时，|AF|＋|AH|最小，最小值为|FH1|＝，此时m＋n取得最小值－1. 知识 1．抛物线的定义及其应用.2．抛物线的标准方程的四种形式 方法 待定系数法、定义法、转化化归 易错误区 混淆抛物线的焦点位置和方程形式 1．抛物线y＝－x2的准线方程是(　　) A．x＝ B．x＝ C．y＝2 D．y＝4 答案：C 解析：将y＝－x2化为标准方程x2＝－8y，由此可知准线方程为y＝2.故选C. 2．已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是(　　) A．x2＝－12y B．x2＝12y C．y2＝－12x D．y2＝12x 答案：A 解析：＝3，所以p＝6，所以x2＝－12y.故选A． 3．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________________． 答案：(－9，6)或(－9，－6) 解析：设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9，6)或(－9，－6)． 4．已知点F(0，4)是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，点P(2，3)，且点M为抛物线C上任意一点，则|MF|＋|MP|的最小值为________． 答案：7 解析：因为点F(0，4)是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，所以＝4，解得p＝8，所以抛物线C的方程为x2＝16y.由抛物线的定义知：点M到点F(0，4)的距离等于点M到准线y＝－4的距离，结合点P(2，3)与抛物线C的位置关系可知，|MF|＋|MP|的最小值是点P(2，3)到准线y＝－4的距离，故|MF|＋|MP|的最小值为7. 课时测评17　抛物线及其标准方程 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．设抛物线的顶点在原点，准线方程x＝－2，则抛物线的方程是(　　) A．y2＝－8x B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝4x 答案：C 解析：由已知得，①该抛物线焦点为F(2，0)；②该抛物线的焦准距p＝4，故所求抛物线方程为y2＝8x.故选C. 2．若动点P到定点F(1，0)和直线l：y＝0的距离相等，则动点P的轨迹是(　　) A．线段 B．直线 C．椭圆 D．抛物线 答案：B 解析：设动点P(x，y)，则＝|y|，化简得x＝1.故动点P的轨迹是直线x＝1.故选B． 3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点P在C上，若点Q(6，3)，则△PQF周长的最小值为(　　) A．13 B．12 C．10 D．8 答案：A 解析：y2＝2×4x，故F(2，0)，记抛物线C的准线为l，则l：x＝－2，记点P到l的距离为d，点Q(6，3)到l的距离为d′，则＋＋＝＋d＋≥d′＋5＝8＋5＝13.故选A． 4．(多选题)经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程可以为(　　) A．y2＝x B．x2＝8y C．x2＝－8y D．y2＝－8x 答案：AC 解析：若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以(－2)2＝2p×4，解得p＝，所以抛物线的方程为y2＝x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，又因为抛物线经过点P(4，－2)，所以42＝－2p×(－2)，解得p＝4，所以抛物线的方程为x2＝－8y.故选AC. 5．已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)是抛物线y2＝2px(p>0)上的三点，点F是抛物线y2＝2px的焦点，且|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|，则(　　) A．x1＋x3>2x2 B．x1＋x3＝2x2 C．x1＋x3<2x2 D．x1＋x3与2x2的大小关系不确定 答案：B 解析：由|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|，得＋＝2.即x1＋x3＝2x2.故选B． 6．(多选题)如图所示，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长可以为(　　) A．8 B．9 C．10 D．12 答案：BC 解析：由题意知抛物线的准线l：x＝－2，焦点F(2，0)，根据抛物线的定义可得|AF|＝xA＋2.又圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为(2，0)，半径为4，所以△FAB的周长＝|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，由抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16可得交点的横坐标为2，所以xB∈(2，6)，所以6＋xB∈(8，12)．故选BC. 7．已知抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________． 答案：6 解析：利用抛物线的定义可知，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝4，那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤6，当AB过焦点F时取最大值为6. 8．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝________． 答案：2 解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为，它到直线y＝x＋1的距离为d＝＝⇒p＝2. 9．(2024·江苏苏州高二质量调研)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，2)，记抛物线C：y2＝4x上的动点P到准线的距离为d，则d－的最大值为________． 答案： 解析：由抛物线的定义知，d＝PF，所以d－＝PF－≤＝ ＝，当点P位于射线FA与抛物线交点时，取最大值. 10．(12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程． 解：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N， 则|MN|＝|MF|＝5， 而|MN|＝3＋＝5，即p＝4. 所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2. 由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2. (11，12每小题5分，共10分) 11．(多选题)对标准形式的抛物线，给出下列条件，其中满足抛物线方程为y2＝10x的是(　　) A．焦点在y轴上 B．焦点在x轴上 C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1) 答案：BD 解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，故B满足，A不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，故C不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，设过该焦点的直线的斜率存在，方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时存在，故D满足．故选BD. 12．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则△ABC重心的坐标为________；||＋||＋||＝________． 答案：(1，0)　6 解析：因为＋＋＝0，所以点F(1，0)为△ABC的重心，则xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6. 13．(13分)如图所示，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M. (1)求抛物线的方程； (2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标． 解：(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－， 于是4＋＝5，p＝2， 所以抛物线的方程为y2＝4x. (2)由题意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2)．又F(1，0)， 所以kAF＝，则直线FA的方程为y＝(x－1)． 因为MN⊥FA，所以kMN＝－， 则直线MN的方程为y＝－x＋2. 解方程组 得 所以N. 14．(5分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是(　　) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 答案：D 解析：连接PC1(图略)，因为几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以直线C1D1⊥侧面BB1C1C，所以C1D1⊥PC1，则|PC1|为点P到直线C1D1的距离．又点P到直线C1D1的距离等于点P到直线BC的距离，即点P到点C1的距离等于点P到直线BC的距离，所以动点P的轨迹所在的曲线是抛物线．故选D. 15．(15分)如图所示，A地在B地北偏东45°方向，相距2 km处，B地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l相距4 km.已知曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于此点到高铁线l的距离．现要在公路旁建造一个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A地、B地送电． (1)试建立适当的平面直角坐标系，求曲线形公路PQ所在的曲线方程； (2)变电房M应建在相对于A地的什么位置(方向和距离)才能使得架设电路所用电线长度最短？求出最短长度． 解：(1)如图所示，以经过点B且垂直于l(垂足为K)的直线为y轴，线段BK的中点O为原点，建立平面直角坐标系，则B(0，2)，A(2，4)． 因为曲线形公路PQ上任意一点到B地的距离等于此点到高铁线l的距离，所以PQ所在的曲线是以B(0，2)为焦点，l为准线的抛物线．设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，由BO＝2，知p＝4，故曲线形公路PQ所在的曲线方程为x2＝8y. (2)要使架设电路所用电线长度最短，即|MA|＋|MB|最小，如图所示，过M作MH⊥l，垂足为H， 由抛物线定义得|MB|＝|MH|， 所以|MA|＋|MB|＝|MA|＋|MH|， 当A，M，H三点共线时，|MA|＋|MH|取得最小值． 即|MA|＋|MB|取得最小值，此时M. 所以变电房M应建在A地正南方向，且与A地相距 km的位置上，才能使得所用电线长度最短，最短长度为6 km. 学生用书第59页 学科网（北京）股份有限公司 $$