2.2.2 双曲线的简单几何性质-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§2　双曲线 2．2　双曲线的简单几何性质 [学习目标] 知识层面 1．掌握双曲线的简单几何性质．　 2．理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程．　 3．会利用双曲线的几何性质解决一些简单的实际问题. 素养层面 通过学习双曲线的几何性质，培养直观想象与数学运算素养；借助双曲线几何性质的应用，提升直观想象及数学运算、逻辑推理素养. 问题1　类比对椭圆几何性质的研究，分析一下双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的范围、对称性、顶点、离心率等性质． 提示：(1)范围：利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1，于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R，所以x≥a，或x≤－a，y∈R. (2)对称性：－＝1(a＞0，b＞0)关于x轴、y轴和原点都对称．x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心． (3)顶点：双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点．顶点是A1(－a，0)，A2(a，0)，只有两个． (4)离心率：①定义：e＝.②e的范围：e＞1.③e的含义：因为c＞a＞0，所以可以看出e＞1，另外，注意到＝＝＝，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄. 问题2　如图所示，线段A1A2的长为2a，线段B1B2的长为2b.据此，你能发现双曲线的范围与矩形对角线y＝±x有什么关系？ 提示：双曲线在第一象限内部分的方程为y＝·，它与y＝x的位置关系：在y＝x的下方．它与y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近．其他象限同理． 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≥a，或x≤－a，y∈R y≥a，或y≤－a，x∈R 顶点 (－a，0)，(a，0) (0，－a)，(0，a) 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 渐近线 ±＝0或y＝± x ±＝0或y＝±x 离心率 e＝(e＞1) [微提醒]　(1)e＝＝. (2)双曲线的离心率刻画了双曲线的“开口”大小，e越大，开口越大． (3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置． (4)焦点到渐近线的距离为b. (5)等轴双曲线e＝，渐近线为y＝±x，方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)． 角度1　双曲线的简单几何性质 (链教材P65例4，P67例5)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 解：将9y2－4x2＝－36化为标准方程为－＝1， 所以a＝3，b＝2，c＝. 所以双曲线的顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 实轴长2a＝6，虚轴长2b＝4， 离心率e＝＝， 渐近线方程为y＝±x＝±x. [变式探究] 　(变条件)若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 解：将方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)， 由此可得实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝， 所以双曲线的焦点坐标为(，0)，(－，0)， 离心率e＝＝＝， 顶点坐标为(－，0)，(，0)， 所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x. 学生用书第53页 　　规律方法 由双曲线的方程研究其几何性质 1．把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键． 2．由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值． 3．由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 对点练1．求双曲线25y2－16x2＝400的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 解：将方程25y2－16x2＝400化为标准方程为－＝1. 由此可得实半轴长a＝4，虚半轴长b＝5，c＝＝＝， 所以双曲线的焦点坐标为(0，－)，(0，)； 离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x. 角度2　利用双曲线的性质求双曲线方程 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)实轴长为16，离心率为； (2)双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)； (3)过点(2，0)，与双曲线－＝1离心率相等． 解：(1)设双曲线的标准方程为－＝1，或－＝1(a>0，b>0)． 由题意知2a＝16，＝，c2＝a2＋b2， 解得c＝10，a＝8，b＝6， 所以所求双曲线的标准方程为－＝1，或－＝1. (2)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)． 由已知得a＝，c＝2， 所以b2＝c2－a2＝1. 所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1. (3)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1； 当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为－＝λ(λ>0)，将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝－<0(舍去)． 综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 　　规律方法 双曲线几何性质求双曲线标准方程的基本思路 根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程可按先定位，再定形的方法．但在这里要注意的是对双曲线几何性质的运用，如在定位方面，可能涉及双曲线的对称轴、对称中心的位置；在定形方面，要注意是否给出了离心率及渐近线方程．解题时，我们要充分利用这些几何性质． 对点练2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； (2)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分； (3)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)． 解：(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则2b＝8，e＝＝， 从而b＝4，c＝a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9， 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3. 由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分，可得2c＝4a＝12，即c＝6，则b2＝c2－a2＝62－32＝27. 由于焦点所在的坐标轴不确定，所以所求双曲线的标准方程为－＝1，或－＝1. (3)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x. 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝.① 因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1.② ①②联立，无解． 当焦点在y轴上时，设所求方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则＝.③ 因为点A(2，－3)在双曲线上，所以－＝1.④ 联立③④，解得a2＝8，b2＝32. 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， 因为A(2，－3)在双曲线上，所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8. 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 应用一　双曲线的离心率 (1)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在双曲线E上，满足△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的离心率为(　　) A． B．2 C． D． (2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，O为坐标原点，F1，F2为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得F2P的中点M满足＝c，则双曲线的离心率e的取值范围是__________________． 答案：(1)D　(2) 解析：(1)不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，因为△ABM是顶角为120°的等腰三角形，所以|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝60°，所以点M的坐标为，又因为点M在双曲线－＝1(a>0，b>0)上，所以将点M坐标代入方程得4－＝1，整理上式得a2＝b2，而c2＝a2＋b2＝2a2，所以e2＝2，因此e＝.故选D. (2)因为O，M分别为F1F2，PF2的中点，所以＝2＝c.又双曲线上的点到焦点的最小距离为c－a，所以c≥c－a>0，解得1<≤，因此双曲线的离心率e的取值范围是. 规律方法 求双曲线的离心率的方法 1．直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解；若已知a，b，可直接利用e＝得解． 2．解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．　　 对点练3．(1)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则此双曲线的离心率为(　　) A． B． C． D． 学生用书第54页 (2)点P是双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)和圆C2：x2＋y2＝a2＋b2的一个交点，且2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中F1，F2是双曲线C1的两个焦点，则双曲线C1的离心率为________． 答案：(1)A　(2)＋1 解析：(1)双曲线－＝1 的渐近线方程为y＝±x，所以＝，b＝a，又c2＝a2＋b2＝a2＋a2＝a2，所以e2＝＝，e＝ .故选A． (2)由条件知，圆的直径是双曲线的焦距，则∠F1PF2＝，所以∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°⇔＝，2＝，e＝＝＝＝＝＋1. 应用二　双曲线简单几何性质的实际应用 外形是双曲面的冷却塔具有众多优点，如自然通风和散热效果好，结构强度和抗变形能力强等，其设计原理涉及物理学、建筑学等学科知识．如图①是中国华电集团的某个火力发电厂的一座冷却塔，它的外形可以看成是由一条双曲线的一部分绕着它的虚轴所在直线旋转而成，其轴截面如图②所示，已知下口圆面的直径为80米，上口圆面的直径为40米，高为90米，下口到最小直径圆面的距离为80米．求最小直径圆面的面积． 解：如图所示，由题意设－＝1，则A(40，－80)，B(20，10)在双曲线上， 所以 解得 又最小直径的圆面是以双曲线的实轴为直径的圆面，所以此圆面的面积为πa2＝π. 　　规律方法 双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题．特别要注意在实际意义下隐含着的变量范围． 对点练4．某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处(如图)，|AP|＝100 m，|BP|＝150 m，∠APB＝60°，试说明怎样运土才能最省工． 解：如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设M是沿AP，BP运土同样远的点，则|MA|＋|AP|＝|MB|＋|BP|，即|MA|－|MB|＝|BP|－|AP|＝150－100＝50(m)． 在△APB中，|AB|2＝|AP|2＋|BP|2－2|AP|·|BP|·cos 60°＝17 500，且50<|AB|， 由双曲线的定义知，M点在以A，B为焦点的双曲线右支上，设此双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 所以a＝25，c2＝＝4 375，b2＝3 750， 故M点的轨迹是－＝1(x≥25)在半圆内的一段双曲线弧． 即在运土时，将双曲线左侧的土沿道路AP运到P处，右侧的土沿道路BP运到P处最省工． 知识 1．双曲线的简单几何性质.2．利用几何性质求双曲线的标准方程.3．双曲线离心率的求法.4．双曲线简单几何性质的实际应用 方法 待定系数法、直接法、解方程组法 易错误区 求双曲线的方程时常因位置关系考虑不全面出错 1．双曲线2x2－y2＝－8的实轴长是(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 答案：B 解析：双曲线标准方程为－＝1，故实轴长为2a＝4.故选B． 2．已知双曲线9y2－m2x2＝1(m＞0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：D 解析：方程9y2－m2x2＝1(m＞0)可化为－＝1(m＞0)，则a＝，b＝，取顶点，一条渐近线为mx－3y＝0，所以＝，则m2＋9＝25.因为m＞0，所以m＝4.故选D. 3．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 答案：B 解析：因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.故选B． 4．若双曲线－＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________________________________________________________________________． 答案：(－，0)，(，0) 解析：由双曲线方程得出其渐近线方程为y＝±x，所以m＝3，求得双曲线方程为－＝1，所以c＝，从而得到焦点坐标为(－，0)，(，0)． 课时测评16　双曲线的简单几何性质 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．(2021·全国甲卷)点(3，0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由双曲线的方程知，a＝4，b＝3，焦点在x轴上，所以双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即3x－4y＝0，所以点(3，0)到双曲线的一条渐近线的距离为＝.故选A． 2．(多选题)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　) A．x2－＝1 B．－y2＝1 C．－x2＝1 D．y2－＝1 答案：AC 解析：B、D选项，双曲线的渐近线方程为y＝±x，A、C选项，双曲线的渐近线方程为y＝±2x.故选AC. 3．(2024·福建福州高二检测)已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案：C 解析：设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，因为e＝＝，c＝，所以＝＝，所以＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.故选C. 4．若将如图所示大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线－＝1(a>0，b>0)下支的一部分，此双曲线一条渐近线为3x＋y＝0，下焦点到下顶点距离为1，则该双曲线方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－x2＝1 D．－＝1 答案：A 解析：由题意可得又c2＝a2＋b2，则即该双曲线方程为－＝1.故选A． 5．设F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　) A． B． C．2 D． 答案：A 解析：如图所示，由题意知，以OF为直径的圆的方程为＋y2＝①，将x2＋y2＝a2记为②式，①－②得x＝，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝.故选A． 6．(2024·江苏苏州高二质量调研)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－y2＝1的左焦点为F，点A在C的右支上，A关于O的对称点为B，则－＝(　　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 答案：D 解析：由双曲线的定义知－＝2a＝4.故选D. 7．已知P是双曲线－＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0.设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF2|＝3，则|PF1|＝________． 答案：5 解析：依题意知3＝，所以a＝1，由点P在双曲线右支上得，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以|PF1|＝2＋|PF2|＝2＋3＝5. 8．过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，则该双曲线离心率的范围为________． 答案：(，＋∞) 解析：设双曲线的方程为－＝1，F(c，0)，渐近线y＝x，由题意知，－>－，即a2<b2，即a2<c2－a2，即e＞. 9．如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是____________________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是________km. 答案：x2－＝1(x≥1)　2－2 解析：如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．则|DA|－|DB|＝2，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支．故2c＝4，c＝2，2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，故轨迹方程为x2－＝1(x≥1)．根据题意知C(3，)，A(－2，0)，|MB|＋|MC|＝|MA|＋|MC|－2≥|AC|－2＝2－2，当A，M，C三点共线时等号成立． 10．(12分)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5，3)； (2)渐近线方程为2x±3y＝0，且两顶点间的距离是6. 解：(1)法一：因为e＝＝，所以c＝a，b2＝c2－a2＝a2. 又因为焦点在x轴上， 所以设双曲线的标准方程为－＝1(a>0)． 把点(－5，3)代入方程，解得a2＝16. 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 法二：由离心率为知，所求双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x2－y2＝k(k≠0)，把点(－5，3)的坐标代入方程得k＝16， 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)设双曲线方程为4x2－9y2＝λ(λ≠0)， 即－＝1(λ≠0)，由题意得a＝3. 当λ>0时，＝9，λ＝36， 双曲线方程为－＝1； 当λ<0时，＝9，λ＝－81， 双曲线方程为－＝1. 所以所求双曲线的标准方程为－＝1，或－＝1. (11，12每小题5分，共10分) 11．(多选题)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且·＝0，则下列结论正确的是(　　) A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C．F1到双曲线的一条渐近线的距离为1 D．△PF1F2的面积为1 答案：ACD 解析：易得双曲线C的渐近线方程为y＝±x，故A正确；由a＝b＝1得c＝，因此以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；易知F1(－，0)，则F1到双曲线的一条渐近线的距离d＝＝1，故C正确；由·＝0得，PF1⊥PF2，因此点P在圆x2＋y2＝2上，由得y2＝，所以|y|＝，因此，S△PF1F2＝|F1F2|·|y|＝×2×＝1，故D正确．故选ACD. 12．(2024·山东东营高二质量监测)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作圆x2＋y2＝a2的切线，交双曲线的右支于点M，若∠F1MF2＝45°，则该双曲线的离心率为________． 答案： 解析：如图，作OA⊥F1M于点A，F2B⊥F1M于点B．因为F1M与圆x2＋y2＝a2相切，∠F1MF2＝45°，所以＝a，＝＝2a，则＝2a，＝2＝2b.又点M在双曲线上，所以－＝2a＋2b－2a＝2a，整理得b＝a，即b2＝2a2＝c2－a2，得e2＝3，由e>1解得e＝，所以双曲线的离心率为. 13．(13分)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，当取最小值时，求双曲线的离心率e的取值范围． 解：因为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点， 所以|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2a＋|PF2|， 所以＝＝＋4a＋|PF2|≥8a，当且仅当＝|PF2|， 即当|PF2|＝2a时取等号， 所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝4a， 因为|PF1|－|PF2|＝2a<2c， 所以|PF1|＋|PF2|＝6a≥2c，即e＝≤3， 所以e∈(1，3]． 14．(5分)已知A，B是双曲线Γ：－＝1的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是(　　) A．k1＋k2 B．|k1－k2| C．k1·k2 D．k＋k 答案：C 解析：设P(x0，y0)，其中－＝1，即y＝(x－4)，则k1＝，k2＝，k1·k2＝＝.故选C. 15．(15分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线的右支上一点． (1)求的最小值； (2)若右支上存在点P满足＝4，求双曲线的离心率的取值范围． 解：(1)设F1(－c，0)，F2(c，0)，P(x，y) (x≥a)， 则＝＝＝＝ ＝＝x＋a≥·a＋a＝a＋c， 当P在右顶点时，最小，所以的最小值为a＋c. (2)设∠F1PF2＝θ，θ∈. 依题意解得 由余弦定理得cos θ＝＝＝－e2， 即－1≤－e2<1，得1<e2≤，1<e≤. 所以双曲线的离心率的取值范围为. 学生用书第55页 学科网（北京）股份有限公司 $$