1.2.4 圆与圆的位置关系-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

2.4　圆与圆的位置关系 [学习目标] 知识层面 1．了解圆与圆的位置关系．　2．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．　3．能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题. 素养层面 通过圆与圆的位置关系的判断及解决相关问题，进一步提升直观想象、逻辑推理及数学运算素养. 知识点　两圆位置关系的判断 问题　观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？ (1)圆与圆之间有几种位置关系？ (2)能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？ 提示：(1)5种. (2)可以，可以借助圆的方程通过代数法和几何法两种途径判断． 1．平面内两个不等的圆之间的五种位置关系 位置 关系 定义 图形 外离 两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部 外切 两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，这个唯一的公共点叫作两个圆的切点 相交 两个圆有两个公共点 内切 两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，这个唯一的公共点叫作两个圆的切点 内含 两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部 2．判定方法 (1)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1＞0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2＞0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 (2)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d＞r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 学生用书第36页 相交 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d＜|r1－r2| 微思考　(1)当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，公切线的条数分别是多少？ (2)当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？ 提示：(1)公切线的条数分别是4，3，2，1，0. (2)当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线． 已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求当a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 解：圆C1，C2的方程经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， 所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1. 所以|C1C2|＝＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交． (3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离． (4)当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含． 规律方法 判断两圆的位置关系的三种方法 1．几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． 2．代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系． 3．公切线法：根据公切线的条数有时也可判断两圆的位置关系． 对点练1． 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？ 解：将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆C1的圆心为C1(－2，3)，半径长r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1，7)，半径长r2＝(k＜50)， 从而|C1C2|＝＝5. 当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切； 当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切； 当|－1|＜5＜1＋，即14＜k＜34时，两圆相交； 当＋1＜5，即34＜k＜50时，两圆外离． 应用一　利用两圆的位置关系求圆的方程 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切， 则＝r＋1.① 又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0， 故＝.② ＝r.③ 解①②③，得a＝4，b＝0，r＝2，或a＝0，b＝－4，r＝6. 故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4，或x2＋(y＋4)2＝36. [变式探究] (变条件)将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”，如何求？ 解：因为圆心在x轴上， 所以可设圆心坐标为(a，0)，设半径为r， 则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2， 又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－)， 所以解得 所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4. 规律方法 通过直线与圆、圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题． 学生用书第37页 对点练2．已知△ABC的边AB，AC所在的直线方程分别为x－2y＋3＝0，x＋2y－1＝0.求以点A为圆心，与圆D：(x－2)2＋(y＋3)2＝1相切的圆的方程． 解：由得所以点A， A满足(－1－2)2＋(1＋3)2＞1，即A在圆D：(x－2)2＋(y＋3)2＝1外， 由题意知D(2，－3)，所以|AD|＝＝5. 设圆A的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)， 当两圆外切时，有r＋1＝5，所以r＝4， 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝16； 当两圆内切时，有r－1＝5，所以r＝6，故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝36. 综上所述，所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝16，或(x＋1)2＋(y－1)2＝36. 应用二　相交弦及圆系方程问题 已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 解：(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A，B两点坐标是方程组 的解． ①－②，得x－y＋4＝0. 因为A，B两点的坐标都满足此方程， 所以x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程． 又圆C1的圆心为C1(－3，0)，r＝， 所以C1到直线AB的距离d＝＝， 所以|AB|＝2＝2＝5， 即两圆的公共弦长为5. (2)法一：解方程组 得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)． 设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则 ＝， 解得a＝，故圆心为，半径为 . 故圆的方程为＋＝. 法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 其圆心为，代入x－y－4＝0， 解得λ＝－7. 故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. 1．两圆的公共弦问题 (1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 2．过两圆的交点的圆的方程 已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)． 对点练3．已知点P(－1，－2)在圆C上，且圆C经过直线x＋y＝0与圆C1：x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交点，求圆C的方程． 解：法一：由 得或 所以直线x＋y＝0与圆C1交于点A(1，－1)和点B(－4，4)． 设所求圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 将点A，B，P的坐标代入，得 解得满足D2＋E2－4F＞0， 所以所求圆C的方程为x2＋y2＋3x－3y－8＝0. 法二：设所求圆C的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋λ(x＋y)＝0. 因为点P(－1，－2)在圆C上， 所以(－1)2＋(－2)2＋2×(－1)－4×(－2)－8＋λ(－1－2)＝0，解得λ＝1， 所以所求圆C的方程为x2＋y2＋2x－4y－8＋x＋y＝0， 即x2＋y2＋3x－3y－8＝0. 知识 1．两圆的位置关系.2．两圆的公共弦.3．圆系方程 方法 几何法、代数法 易错误区 将两圆内切和外切相混 1．两圆C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置关系是(　　) A．外离 B．相切 C．相交 D．内含 答案：C 解析：法一：(几何法)：把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以两圆圆心为C1(1，0)，C2(2，－1)，半径为r1＝2，r2＝，则|C1C2|＝＝，r1＋r2＝2＋，r1－r2＝2－，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，所以两圆相交．故选C. 法二：(代数法)：联立方程 解得 即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，所以两圆相交．故选C. 2．(多选题)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为(　　) A．2 B．－5 C．－2 D．5 答案：AB 解析：圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径为2.依题意有＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2，或m＝－5. 故选AB. 3．以(a，1)为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0和2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为(　　) A．(x－1)2＋(y－1)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5 C．(x－1)2＋y2＝5 D．x2＋(y－1)2＝5 答案：A 解析：由题意知，圆心在直线2x－y－1＝0上，将点(a，1)代入上式可得a＝1，即圆心为(1，1)，半径r＝＝，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5.故选A. 4．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是 ． 答案：x2＋y2－3x＋y－1＝0 解析：设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0. 课时测评12　圆与圆的位置关系 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为(　　) A．相离 B．相交 C．外切 D．内切 答案：B 解析：圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1＜|O1O2|＝ ＜r1＋r2＝3，即两圆相交．故选B. 2．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|＝(　　) A．4 B．4 C．8 D．8 答案：C 解析：由题意知，可设圆心坐标为(a，a)，半径为r，其中r＝a＞0，因此圆方程是(x－a)2＋(y－a)2＝a2，由圆过点(4，1)，得(4－a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－10a＋17＝0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，|C1C2|＝× ＝8.故选C. 3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为(　　) A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5 C．(x－1)2＋(y－1)2＝5 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝5 答案：D 解析：由圆(x＋2)2＋y2＝5，可知其圆心为(－2，0)，半径为.设点(－2，0)关于直线x－y＋1＝0对称的点为(x，y)，则解得所以所求圆的圆心为(－1，－1)．又所求圆的半径为，所以圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝5.故选D. 4．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：C 解析：圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2，4)，R＝8，所以|O1O2|＝ ＝13，所以r－R＜|O1O2|＜R＋r，所以两圆相交．所以公切线有2条．故选C. 5．圆C1：(x－1)2＋y2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9的相交弦所在的直线为l，则直线l被圆O：x2＋y2＝4截得的弦长为(　　) A． B．4 C． D． 答案：D 解析：由圆C1与圆C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.圆心O(0，0)到直线l的距离d＝，圆O的半径r＝2，所以截得的弦长为2＝2＝.故选D. 6．(多选题)若对于圆C：(x－m－2)2＋(y－m)2＝1上任意一点P，在圆O：x2＋y2＝1上总存在点Q，使得∠PQO＝，则实数m可以取的值为(　　) A．－3 B．－2 C．0 D．1 答案：AD 解析：由∠PQO＝，知PQ为圆O的切线，即圆C上任意一点P都可以向圆O作切线，当两圆外离时，满足条件，所以|OC|＞1＋1，即 ＞2，化简得m2＋2m＞0，解得m＜－2或m＞0.结合选项可知m可以取－3，1.故选AD. 7．(2024·贵州铜仁高二质量监测)圆x2＋y2－2x－3＝0与圆x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0的公共弦长为 ． 答案：2 解析：联立方程组，两式相减，得x＋y＋1＝0，为公共弦长所在直线的方程，又圆x2＋y2－2x－3＝0的圆心为，r＝2，圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为d＝＝，所以两圆公共弦长为2＝2＝2. 8．到点A(－1，2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有 条． 答案：4 解析：到点A(－1，2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝＝5.半径之和为3＋1＝4，因为5＞4，所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条． 9．已知圆系方程(x－m)2＋(y－2m)2＝5(m∈R，m为参数)，这些圆的公切线方程为 ． 答案：2x－y±5＝0 解析：由题意知圆心的轨迹方程为y＝2x，则这些圆的公切线与直线y＝2x平行，设圆的公切线方程为2x－y＋c＝0，则＝，所以c＝±5，所以这些圆的公切线方程为2x－y±5＝0. 10．(12分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0. (1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切？ (3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 解：两圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m， 圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为和 . (1)当两圆外切时，＝＋ ， 解得m＝25＋10. (2)当两圆内切时，因定圆的半径 小于两圆圆心间距离5， 故 －＝5，解得m＝25－10. (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0， 所以公共弦长为 2＝2. (11，12每小题5分，共10分) 11．(多选题)(2024·山东淄博高二质量检测)点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则(　　) A．|PQ|的最小值为3 B．|PQ|的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为－ D．两个圆相交弦所在直线的方程为6x－8y－25＝0 答案：ABC 解析：圆C1：x2＋y2＝1的圆心坐标C1(0，0)，半径r＝1，圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0，即(x－3)2＋(y＋4)2＝1的圆心坐标C2(3，－4)，半径R＝1，所以圆心距＝＝5.又因为P在圆C1上，Q在圆C2上，则的最小值为min＝－R－r＝3，最大值为max＝＋R＋r＝7.故A，B正确；两圆圆心所在的直线斜率为kC1C2＝＝－，故C正确；圆心距＝＝5大于两圆半径和，两圆外离，无相交弦，故D错误．故选ABC. 12．(多选题)已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0，O为坐标原点，以OC为直径的圆C′与圆C交于A，B两点，则(　　) A．圆C′的方程为x2＋y2－3x－4y＝0 B．直线AB的方程为3x－4y－21＝0 C．OA，OB均与圆C相切 D．四边形CAOB的面积为4 答案：AC 解析：由圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0，得(x－3)2＋(y－4)2＝4，则圆心C(3，4)，线段OC的中点坐标为，则以OC为直径的圆的方程为＋(y－2)2＝，整理得x2＋y2－3x－4y＝0，即圆C′的方程为x2＋y2－3x－4y＝0，故A正确；联立两式作差可得3x＋4y－21＝0，即直线AB的方程为3x＋4y－21＝0，故B错误；因为A，B在以OC为直径的圆上，所以CA⊥OA，CB⊥OB，由圆心与切点的连线与切线垂直，可得OA，OB均与圆C相切，故C正确；因为CA⊥OA，且|OC|＝5，|CA|＝2，所以|OA|＝＝＝，所以四边形CAOB的面积为S＝2××2×＝2，故D错误．故选AC. 13．(13分)已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0. (1)若直线l1过定点A(1，1)，且与圆C相切，求l1的方程； (2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程． 解：(1)圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4， 所以圆C的圆心为(3，4)，半径为2. ①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意． ②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y－k＋1＝0. 由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2， 所以＝2， 即＝2， 解得k＝，所以直线方程为5x－12y＋7＝0. 综上，所求l1的方程为x＝1，或5x－12y＋7＝0. (2)由题意，设D(a，a＋2)． 又由(1)知圆C的圆心为(3，4)，半径为2， 由两圆外切，可知|CD|＝5， 所以 ＝5， 解得a＝－1，或a＝6. 所以D(－1，1)，或D(6，8)， 所以所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9，或(x－6)2＋(y－8)2＝9. 14．(5分)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　) A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0 答案：D 解析：由⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0①，得⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心M(1，1)．如图所示，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需△PAM的面积最小．因为|AM|＝2，所以只需|PA|最小．又|PA|＝＝，所以只需直线2x＋y＋2＝0上的动点P到M的距离最小，其最小值为＝，此时PM⊥l，易求出直线PM的方程为x－2y＋1＝0.由得所以P(－1，0)．易知P，A，M，B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2＋＝，即x2＋y2－y－1＝0②，由①②得，直线AB的方程为2x＋y＋1＝0.故选D. 15．(15分)已知圆C的圆心在直线l：2x－y＝0上，且与直线l1：x－y＋1＝0相切． (1)若圆C与圆x2＋y2－2x－4y－76＝0外切，试求圆C的半径； (2)满足已知条件的圆显然不止一个，但它们都与直线l1相切，我们称l1是这些圆的公切线．这些圆是否还有其他公切线？若有，求出公切线的方程，若没有，说明理由． 解：(1)圆x2＋y2－2x－4y－76＝0的圆心坐标为(1，2)，半径为9. 设圆C的圆心坐标为(a，2a)，则半径r＝＝，两圆的圆心距为 ＝|a－1|＝ r， 因为两圆外切，所以 r＝r＋9，所以r＝ ＋1. (2)如果存在另一条切线，则它必过l与l1的交点(1，2)． ①若斜率不存在，则直线方程为x＝1，圆心C到它的距离|a－1|＝r＝，由于方程需要对任意的a都成立，因此无解，所以它不是公切线； ②若斜率存在，设公切线方程为y－2＝k(x－1)， 则d＝＝r＝对任意的a都成立， 即＝，＝ ， 两边平方并化简得k2－8k＋7＝0，解得k＝1或k＝7，当k＝1时，直线与l1重合， 当k＝7时，直线方程为7x－y－5＝0， 故还存在一条公切线，其方程为7x－y－5＝0. 学生用书第38页 学科网（北京）股份有限公司 $$