1.2.2 圆的一般方程-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

2.2　圆的一般方程 [学习目标] 知识 层面 1．回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程及其特点．　2．会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小．　3．能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程. 素养 层面 通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算素养；通过圆的一般方程的应用，培养直观想象与数学运算素养. 问题1　方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝0，表示点(1，－2)；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形． 问题2　(1)如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 提示：(1)将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方可得＋＝，当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆． (2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点. 1．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F＞0)称为圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 表示的图形 D2＋E2－4F＜0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F＞0 表示以为圆心，以为半径的圆 [微提醒]　(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同，且不为0，没有xy这样的二次项．化为一般方程后，还需D2＋E2－4F＞0.(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F＞0. 角度1　圆的一般方程的判断 (1)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是(　　) A．R B．(－∞，1) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) (2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是 ，半径是 ． 答案：(1)B　(2)(－2，－4)　5 解析：(1)由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得，(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k＞0，解得k＜1.故选B. (2)由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1，或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆． 规律方法 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的判断方法 1．配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形为标准方程后，观察是否表示圆． 2．运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F的符号是否为正，确定它是否表示圆． 注意　在利用D2＋E2－4F＞0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2及y2的系数均为1. 对点练1．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆． (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径． 解：(1)由表示圆的充要条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0， 解得m＜，即实数m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝. 学生用书第30页 角度2　求圆的一般方程 (链教材P32例4)已知A(0，0)，B(6，0)，C(－1，7)，求△ABC的外接圆的圆心坐标和半径． 解：设外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.① 将圆上三点的坐标依次代入方程①，得到一个关于D，E，F的三元一次方程组 解得D＝－6，E＝－8，F＝0. 因此，外接圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0. 整理得(x－3)2＋(y－4)2＝52. 所以外接圆的圆心坐标为(3，4)，半径为5. [变式探究] 　(变设问)若点M(0，b)在△ABC的外接圆外，求b的取值范围． 解：由M(0，b)在圆x2＋y2－6x－8y＝0外得b2－8b＞0， 解得b＜0或b＞8， 所以b的取值范围是(－∞，0)∪(8，＋∞)． 待定系数法求圆的方程的解题策略 1．如果已知条件与圆心坐标、半径有关，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.　　 2．如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.　　 对点练2．已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． 解：法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 因为A，B，C在圆上， 所以所以 所以△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. 所以外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二：因为kAB＝＝，kAC＝＝－3， 所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC. 所以△ABC是以角A为直角的直角三角形， 所以外心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5. 所以外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25. 所以外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 与圆有关的轨迹方程问题 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2，0)，点B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 解：(1)设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)， 因为所以 又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，所以(x－1)2＋y2＝1. (2)设PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|， 设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ(图略)， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 规律方法 求轨迹方程的一般步骤 第一步：建立适当的坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)； 第二步：列出点M 满足条件的集合； 第三步：用坐标表示上述条件，列出方程； 第四步：将上述方程化简； 第五步：证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点． 对点练3．已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程． 解：以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)． 所以　 ① 因为|AD|＝3，所以(x0＋2)2＋y＝9.　② 将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.因为点C不能在x轴上，所以y≠0. 综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点． 轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)． 知识 1．圆的一般方程的理解.2．求圆的一般方程.3．圆的一般方程的综合问题 方法 待定系数法、几何法 易错误区 忽视圆的一般方程表示圆的条件 学生用书第31页 1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(　　) A．＜m＜1 B．m＞1 C．m＜ D．m＜，或m＞1 答案：D 解析：方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜，或m＞1.故选D. 2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2，3)，则D，E分别为(　　) A．4，－6 B．－4，－6 C．－4，6 D．4，6 答案：A 解析：圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为，又已知该圆的圆心坐标为(－2，3)，所以－＝－2，－＝3，所以D＝4，E＝－6.故选A. 3．当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则(　　) A．这些圆的圆心都在直线y＝x上 B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上 C．这些圆的圆心都在直线y＝x或在直线y＝－x上 D．这些圆的圆心不在同一条直线上 答案：A 解析：圆的方程变为(x＋a)2＋(y＋a)2＝2a2＋1，所以圆心坐标为(－a，－a)，故圆心都在直线y＝x上．故选 A. 4．已知圆C过点M(1，1)，N(5，1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆C的一般方程为 ． 答案：x2＋y2－6x－2y＋6＝0 解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得 解得所以圆C的一般方程为x2＋y2－6x－2y＋6＝0. 课时测评10　圆的一般方程 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　) A．一个点 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在 答案：A 解析：方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．故选A. 2．(多选题)下列结论正确的是(　　) A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B．圆的一般方程和标准方程可以互化 C．方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0表示圆 D．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0 答案：ABD 解析：A、B、D显然正确；C中方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝0，表示点(2，－3)．故选ABD. 3．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为(　　) A．8 B．－4 C．6 D．无法确定 答案：C 解析：圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则直线x－y＋3＝0过圆心，即－＋3＝0，所以m＝6.故选C. 4．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　) A．－2或2 B．或 C．2或0 D．－2或0 答案：C 解析：配方得(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(1，2)，圆心到直线的距离d＝＝，所以a＝2，或0.故选C. 5．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为(　　) A．2或1 B．－2或－1 C．2 D．1 答案：C 解析：因为x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，所以[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)＞0，所以m＞1.又圆C过原点，所以2m2－6m＋4＝0，所以m＝2，或m＝1(舍去)，所以m＝2.故选C. 6．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C 解析：因为圆心(－1，－2)，r＝＝2，所以圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝.所以共有3个点符合题意．故选C. 7．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为 ． 答案：(x－1)2＋y2＝1 解析：以(0，0)，(1，1)，(2，0)为顶点的三角形为等腰直角三角形，其外接圆的圆心为(1，0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1. 8．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，该圆的方程为 ，最大面积为 ． 答案：x2＋(y＋1)2＝1　π 解析：将圆的方程配方，得＋(y＋1)2＝－k2＋1，因为r2＝1－k2≤1，所以rmax＝1，此时k＝0.故圆的方程为x2＋(y＋1)2＝1，最大面积为π×12＝π. 9．设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则线段PA的中点M的轨迹方程是 ． 答案：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 解析：设PA的中点M的坐标为(x，y)，P(x1，y1)，因为圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A(2，－1)， 所以即又P点在圆A上，所以x＋y－4x1＋2y1－11＝0，所以(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，即x2＋y2－4x＋2y＋1＝0. 10．(12分)已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(2，4)，直线l过点B且与直线x－y＋1＝0平行，点A和点C关于直线l对称． (1)求直线l的方程； (2)求△ABC外接圆的方程． 解：(1)设直线l的方程为x－y＋c＝0， 因为直线l经过点B(2，4)， 所以2－4＋c＝0， 所以c＝2， 即直线l的方程为x－y＋2＝0. (2)设C(x0，y0)， 则kAC·kl＝－1， 即＝－1，① 又因为线段AC的中点D在直线l上， 即－＋2＝0，② 由①②可得，x0＝－1，y0＝3， 所以C(－1，3)， 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 因为A(1，1)，B(2，4)，C(－1，3)都在圆上， 所以解得 故△ABC外接圆的方程为x2＋y2－x－y＋5＝0. (11，12每小题5分，共10分) 11．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　) A．点 B．直线 C．线段 D．圆 答案：D 解析：因为圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，所以(1－a)2＋(0－b)2＝1，即(a－1)2＋b2＝1，所以圆C的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，1为半径长的圆．故选D. 12．(多选题)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则下列结论正确的是(　　) A．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心是(－1，2) B．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半径是2 C．a＋b＝2 D．ab的取值范围是 答案：ABD 解析：原方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，故其圆心是(－1，2)，半径是2.由已知得，该圆的圆心在直线2ax－by＋2＝0上，所以 a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－＋≤，所以ab的取值范围是.故选ABD. 13．(13分)如图所示，已知正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(0，－2)，B(4，－2)，C(4，2)，D(0，2)． (1)求对角线AC所在直线的方程； (2)求正方形ABCD外接圆的方程； (3)若动点P为外接圆上一点，点N(－2，0)为定点，问线段PN中点的轨迹是什么？并求出该轨迹方程． 解：(1)由两点式可知，对角线AC所在直线的方程为＝，整理得x－y－2＝0. (2)设G为外接圆的圆心，则G为AC的中点， 所以G，即(2，0)， 设r为外接圆的半径，则r＝|AC|， |AC|＝＝4，所以r＝2. 所以外接圆方程为(x－2)2＋y2＝8. (3)设点P坐标为(x0，y0)，线段PN的中点M坐标为(x，y)，则x＝，y＝， 所以x0＝2x＋2，y0＝2y，① 因为点P为外接圆上一点，所以(x0－2)2＋y＝8， 将①代入并整理，得x2＋y2＝2， 所以该轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，轨迹方程为x2＋y2＝2. 14．(5分)(新情境)公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知直角坐标系中A(－2，0)，B(2，0)，则满足|PA|＝2|PB|的点P的轨迹的圆心为 ，面积为 ． 答案：　π 解析：设点P(x，y)，代入|PA|＝2|PB|得＝2，整理得3x2＋3y2－20x＋12＝0，配方得＋y2＝.所以点P的轨迹的圆心为，半径为.圆的面积为π. 15．(15分)(新设问)在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆． 最小覆盖圆满足以下性质： ①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆． ②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆． 已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4，0)，C(0，2)，D(－4，0)为曲线W上不同的四点． (1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程； (2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程； (3)求曲线W的最小覆盖圆的方程． 解：(1)由题意，得t＝－2， 由于△ABC为锐角三角形，其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆． 设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得 所以△ABC的最小覆盖圆的方程为x2＋y2－3x－4＝0. (2)因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆， 所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16. 又因为|OA|＝|OC|＝2＜4(O为坐标原点)，所以点A，C都在圆内． 所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16. (3)由题意知曲线W为中心对称图形． 设P(x0，y0)，则x＋y＝16. 所以|OP|2＝x＋y(O为坐标原点)，且－2≤y0≤2. 故|OP|2＝x＋y＝16－y＋y＝－＋， 所以当y＝时，|OP|max＝， 所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$