1.2.1 圆的标准方程-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§2　圆与圆的方程 2.1　圆的标准方程 [学习目标] 知识 层面 1．回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程．　2．会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系. 素养 层面 通过对圆的标准方程定义的学习，培养数学抽象素养；通过求圆的标准方程及标准方程的应用，培养直观想象与数学运算素养. 知识点一　圆的标准方程 问题1　圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示：平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹)叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 确定圆的要素：圆心和半径．关系：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 问题2　已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？ 提示：如右图所示，设圆上任意一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，得＝r，化简可得(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 1．圆的定义 圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹)，其中定点是圆心，定长就是半径．用集合表示为{P||PC|＝r}． 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：以点C(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． (2)确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 3．圆x2＋y2＝r2(r＞0)的简单几何性质 (1)范围：≤r，≤r. (2)对称性：圆x2＋y2＝r2既是轴对称图形，过原点的任意一条直线都是它的对称轴，又是中心对称图形，其对称中心是坐标原点． [微提醒]　(1)当圆心在原点即A(0，0)，半径r＝1时，圆的方程为x2＋y2＝1，称为单位圆．(2)相同的圆，当建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．(3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上． (多选题)下列说法错误的是(　　) A．圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1，2)，半径为5 B．圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为b C．圆(x－)2＋(y＋)2＝2的圆心为(，－)，半径为 D．圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(2，2)，半径为 答案：ABD 解析：圆(x－1)2＋(y－2)2＝5的圆心为(1，2)，半径为，故A错误；圆(x＋2)2＋y2＝b2(b≠0)的圆心为(－2，0)，半径为|b|，故B错误；C正确；圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝5的圆心为(－2，－2)，半径为，故D错误．故选ABD. (链教材P30例3)求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程． 解：法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知条件知 解得 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 法二：由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)， kAB＝＝－1， 所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1， 所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x. 则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点， 由 得 即圆心为(1，1)， 圆的半径为＝2， 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 学生用书第27页 规律方法 确定圆的标准方程，从思路上可分为两种 1．几何法：由圆的几何性质求出圆心坐标和半径长，然后代入标准方程即可． 2．待定系数法：设出圆的标准方程，通过三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．这种方法体现了方程的思想，是最常用的方法，一般步骤是： (1)设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； (2)列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； (3)解——解方程组，求出a，b，r； (4)代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程． 对点练1．根据下列条件，求圆的标准方程： (1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)． 解：(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， 所以圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， 所以b＝0或b＝－8，所以圆心为(0，0)或(0，－8)， 又r＝5， 所以圆的标准方程为x2＋y2＝25，或x2＋(y＋8)2＝25. 知识点二　点与圆的位置关系 问题3　点P(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2内的条件是什么？在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外的条件是什么？ 提示：当点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；当点在圆外时，点到圆心的距离大于半径． 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝. 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点在圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 已知A(－1，4)，B(5，－4)．求以AB为直径的圆的标准方程，并判断C(5，1)，D(6，－3)，E(－5，1)与圆的位置关系． 解：设圆心为O(x0，y0)，半径为r， 由题意得得 所以圆心O(2，0)． 又r＝＝5， 所以圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝25. 又|OC|2＝(5－2)2＋12＝10＜r2， 所以C在圆内． 又|OD|2＝(6－2)2＋(－3－0)2＝25＝r2， 所以D在圆上． 又|OE|2＝(－5－2)2＋(1－0)2＝50＞r2， 所以E在圆外． 规律方法 判断点与圆的位置关系的两种方法 几何法 主要利用点到圆心的距离与半径比较大小 代数法 把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断 对点练2．(1)点M(a，a＋1)与圆C：(x－1)2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．M在C外 B．M在C上 C．M在C内 D．与a的取值有关 (2)若点P(－2，4)在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝m的外部，则实数m的取值范围为 ． 答案：(1)A　(2)(0，5) 解析：(1)因为圆心C(1，0)，|MC|＝＝≥＞1，所以点M在圆外．故选A. (2)由于点P(－2，4)在圆的外部，所以有(－2＋1)2＋(4－2)2＞m，解得m＜5．又方程表示圆，所以有m＞0.因此实数m的取值范围是0＜m＜5. 学生用书第28页 与圆有关的最值问题 已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求x2＋y2的最值． 解：由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值． 因为原点O(0，0)到圆心C(－1，0)的距离d＝1， 所以圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋＝，最小距离为1－＝. 因此x2＋y2的最大值和最小值分别为和. 规律方法 处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见的有以下两种类型： 1．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． 2．形如形式的最值问题，可转化为动点到定直线的距离的最值问题．　　 对点练3．已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝，试求的最值． 解：表示圆(x＋1)2＋y2＝上的点到直线x＋2y－6＝0的距离， 又圆心C(－1，0)到直线x＋2y－6＝0的距离d＝＝， 所以其最大值为＋，最小值为－. 知识 1.圆的标准方程.2.点与圆的位置关系 方法 数形结合、几何法、待定系数法 易错误区 结合图形求圆的标准方程出现漏解情况 1．若某圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径分别为(　　) A．(－1，5)， B．(1，－5)， C．(－1，5)，3 D．(1，－5)，3 答案：B 解析：由圆的标准方程可知，此圆圆心为(1，－5)，半径为.故选B. 2．点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 答案：B 解析：由12＋32＜24知，点P(1，3)在圆内．故选B. 3．经过点A(－4，－5)，B(6，－1)，且以线段AB为直径的圆的标准方程为 ． 答案：(x－1)2＋(y＋3)2＝29 解析：设P(x，y)为圆上任意一点，则由·＝0知，(x＋4)(x－6)＋(y＋5)(y＋1)＝0，所以所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29. 4．过三点A(－1，5)，B(5，5)，C(6，－2)的圆的标准方程为 ． 答案：(x－2)2＋(y－1)2＝25 解析：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，所以 解得所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝25. 课时测评9　圆的标准方程 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的方程是(　　) A．x2＋y2＝25 B．x2＋y2＝5 C．(x－3)2＋(y－4)2＝25 D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25 答案：C 解析：r＝＝5，所以圆的方程是(x－3)2＋(y－4)2＝25.故选C. 2．圆C：(x＋4)2＋(y－3)2＝9的圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离等于(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由已知得，C(－4，3)，则圆心C到直线4x＋3y－1＝0的距离d＝＝.故选B. 3．点(a，a)在圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2a2的内部，则a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：由(a－1)2＋(a＋2)2＜2a2，得a＜－.故选A. 4．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 答案：B 解析：由题意，知 |PQ|的最小值即为圆心到直线x＝－3的距离减去半径长，即|PQ|的最小值为6－2＝4.故选B. 5．(多选题)圆上的点(2，1)关于直线x＋y＝0对称的点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是(　　) A．x2＋y2＝5 B．(x－1)2＋(y－3)2＝5 C．x2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝5 答案：AD 解析：由题意可知圆心在直线x＋y＝0上，设圆心坐标为(a，－a)，则(2－a)2＋(1＋a)2＝5，解得a＝0，或a＝1，所以所求的圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5，或x2＋y2＝5.故选AD. 6．方程|y|－1＝表示的曲线是(　　) A．半圆 B．圆 C．两个圆 D．两个半圆 答案：D 解析：由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心，1为半径，直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心，1为半径，直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝表示的曲线是两个半圆．故选D. 7．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为 ． 答案：(x－2)2＋y2＝5 解析：(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2，0)，圆心关于原点的对称点为(2，0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点的对称圆的方程为(x－2)2＋y2＝5. 8．在平面直角坐标系内，若曲线C：(x＋a)2＋(y－2a)2＝4上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为 ． 答案：(－∞，－2) 解析：由题意知圆心为(－a，2a)，半径r＝2，故由题意知解得a＜－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)． 9．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是 ． 答案：[2，6] 解析：设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2，0)，r＝，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为2，可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.由已知条件可得|AB|＝2，所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2，6]． 10．(12分)已知M(2，0)，N(10，0)，P(11，3)，Q(6，1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由． 解：设M，N，P三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 所以解得 所以过点M，N，P的圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25. 将点Q的坐标(6，1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25， 所以点Q不在圆(x－6)2＋(y－3)2＝25上， 所以M，N，P，Q四点不共圆． (11，12每小题5分，共10分) 11．已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9 答案：B 解析：由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，则解得即P(－1，1)．因为圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，所以|PC|＝＝5，所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.故选B. 12．(多选题)一束光线从点A(－1，1)出发经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程时(　　) A．点A(－1，1)关于x轴的对称点A′的坐标为(－1，－1) B．反射光线所在的直线方程是4x－3y＋1＝0 C．光线的最短路程为4 D．当光线的路程最短时，反射点的坐标为 答案：ABC 解析：圆C的圆心C的坐标为(2，3)，半径r＝1.点A(－1，1)关于x轴的对称点A′的坐标为(－1，－1)．因为当反射光线是A′C时，光线的路程最短，所以最短距离为|A′C|－r，即－1＝4，此时，反射光线为直线A′C，其方程是4x－3y＋1＝0，反射点为直线A′C与x轴的交点，其坐标为.故选ABC. 13．(13分)(开放题)在①经过直线l1：x－2y＝0与直线l2：2x＋y－1＝0的交点；②圆心在直线2x－y＝0上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求出圆的标准方程；若问题中的圆不存在，请说明理由． 问题：是否存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上？ 解：因为点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上， 所以圆心在直线AB的垂直平分线上， 又直线AB的方程为y＝－1， 所以直线AB的垂直平分线所在直线的方程为x＝＝－， 则可设圆心坐标为，圆的半径为r， 若选①，假设存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上． 由 解得 即直线l1和l2的交点为， 则圆Q过点， 所以r2＝＋＝＋(b＋1)2， 解得b＝－1，则r2＝， 即存在满足题意的圆Q，且圆Q的标准方程为＋(y＋1)2＝. 若选②，假设存在圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上． 由圆心在直线2x－y＝0上， 可得2×－b＝0， 则b＝－1， 所以r2＝＋(－1＋1)2＝， 即存在满足题意的圆Q，且圆Q的标准方程为＋(y＋1)2＝. 14．(5分)已知半径为1的圆C经过点M(3，4)，则圆心C到原点的距离的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：A 解析：设圆心C(x，y)，则＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，所以圆心C的轨迹是以M(3，4)为圆心，1为半径的圆，所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取等号．故选A. 15．(15分)如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成．已知隧道总宽度AD为6 m，行车道总宽度BC为2 m，侧墙高EA，FD为2 m，总高MN为5 m．以EF所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，1 m为单位长度建立平面直角坐标系． (1)求圆弧所在的圆的标准方程； (2)为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部(设为平顶)在竖直方向上的高度之差至少为0.5 m，问车辆通过隧道的限制高度是多少？ 解：(1)由题意，知E(－3，0)，F(3，0)，M(0，3)． 易知所求圆的圆心在y轴上， 所以设圆的标准方程为(x－0)2＋(y－b)2＝r2(b∈R，r＞0)， 因为F(3，0)，M(0，3)都在圆上， 所以解得 所以圆的标准方程是x2＋(y＋3)2＝36. (2)设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P(图略)， 则|CP|＝h＋0.5. 将点P的横坐标x＝代入圆的标准方程， 得()2＋(y＋3)2＝36， 得y＝2或y＝－8(舍去)． 所以h＝|CP|－0.5＝2＋2－0.5＝3.5(m)． 故车辆通过隧道的限制高度为3.5 m. 学生用书第29页 学科网（北京）股份有限公司 $$