1.1.3 第2课时 直线方程的两点式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

第2课时　直线方程的两点式 [学习目标] 知识层面 1．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的两点式、截距式．　2．掌握直线方程的两点式、截距式的特点及适用范围. 素养层面 借助求直线方程，提升数学运算素养与直观想象素养. 知识点一　直线方程的两点式 问题1　我们知道，两点可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程．若给定直线l上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 提示：＝. 直线方程的两点式 名称 两点式方程 已知条件 A(x1，y1)和B(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 名称 两点式方程 示意图 方程形式 ＝ 适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线 [微提醒]　(1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用直线方程的两点式表示．(2)直线方程的两点式与这两个点的顺序无关．(3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． (链教材P12练习T2)(1)已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在直线的方程； (2)已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程． 解：(1)A，B两点横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2. 由直线方程的两点式可得，直线AC的方程为＝，即x－y－3＝0. 同理可由直线方程的两点式得，直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0. 所以三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为x＝2，x－y－3＝0，x＋2y－6＝0. (2)由直线经过点A(1，0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在． ①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； ②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0. 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0. 学生用书第9页 规律方法 利用两点式求直线的方程的步骤 第一步：首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴；第二步：若不满足，不能用两点式求方程，可直接结合图形写方程； 第三步：若满足，可考虑用两点式求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 注意：若点的坐标中含有参数，需注意对参数的讨论．　　 对点练1．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)． (1)求BC边所在的直线方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程． 解：(1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)， 由两点式，得＝， 即2x＋5y＋10＝0， 故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0. (2)设BC的中点为M(a，b)， 则a＝＝，b＝＝－3， 所以M， 又BC边的中线过点A(－3，2)， 所以＝，即10x＋11y＋8＝0， 所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0. 知识点二　直线方程的截距式 问题2　若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 提示：＋＝1. 直线方程的截距式 名称 截距式方程 已知条件 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，其中ab≠0 示意图 方程形式 ＋＝1 名称 截距式方程 适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线 [微提醒]　(1)截距式方程＋＝1应用的前提是a≠0且b≠0，即直线过原点或与坐标轴垂直时不能用截距式方程．(2)截距式方程的特点有两个：一是中间必须用“＋”号连接，二是等号右边为“1”．(3)截距式方程是两点式的一种特殊情况即两个点是直线与坐标轴的交点．(4)过原点的直线的横、纵截距都为零． 求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程． 解：法一：当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0； 当直线l在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为＋＝1，即x－y＝a， 又因为l过点A(5，2)，所以5－2＝a，a＝3， 所以l的方程为x－y－3＝0. 综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0，或x－y－3＝0. 法二：由题意知直线的斜率一定存在．设直线方程的点斜式为y－2＝k(x－5)， x＝0时，y＝2－5k，y＝0时，x＝5－. 根据题意得2－5k＝－，解方程得k＝，或1. 当k＝时，直线方程为y－2＝(x－5)，即2x－5y＝0； 当k＝1时，直线方程为y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0. [变式探究]　(变条件)若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 解：①当截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1， 又l过点(5，2)，所以＋＝1，解得a＝7， 所以直线l的方程为x＋y－7＝0. ②当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx， 又l过点(5，2)，所以2＝k·5，解得k＝，所以直线l的方程为y＝x，即2x－5y＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋y－7＝0，或2x－5y＝0. 规律方法 求直线的截距式方程的方法(思路) 1．由已知条件确定横、纵截距． 2．若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则用待定系数法代入公式＋＝1求出系数，可得所求的直线方程． 注意：如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的情况． 对点练2．过点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 答案：B 解析：设直线的两截距都是a，则有①当a＝0时，直线设为y＝kx，将P(2，3)代入，得k＝，所以直线l的方程为3x－2y＝0；②当a≠0时，直线设为＋＝1，即x＋y＝a，把P(2，3)代入，得a＝5，所以直线l的方程为x＋y＝5.综上所述，直线l的方程为3x－2y＝0，或x＋y－5＝0.故选B. 学生用书第10页 直线方程截距式的应用 直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，求分别满足下列条件的直线方程． (1)△AOB的周长为12； (2)△AOB的面积为6. 解：(1)设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)， 由题意可知，a＋b＋ ＝12.① 又因为直线过点P， 所以＋＝1，② 由①②可得5a2－32a＋48＝0， 解得或 所以所求直线的方程为＋＝1，或＋＝1， 即3x＋4y－12＝0，或15x＋8y－36＝0. (2)设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)， 由题意可知解得或 所以所求直线的方程为＋＝1，或＋＝1， 即3x＋4y－12＝0，或3x＋y－6＝0. 规律方法 直线方程与三角形的面积、周长之间的关系 解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时，一般选择直线方程的截距式，若设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b，则直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S＝|a||b|，周长c＝|a|＋|b|＋ . 对点练3．已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为 ，求直线l的方程． 解：设所求直线为＋＝1，则与x轴、y轴的交点分别为(a，0)，(0，b)， 由勾股定理知a2＋b2＝37.又k＝－＝6， 所以解得或 因此所求直线l的方程是x－＝1，或－x＋＝1， 即6x－y－6＝0，或6x－y＋6＝0. 知识 1．直线方程的两点式.2．直线方程的截距式 方法 分类讨论法、数形结合法 易错 误区 利用截距式求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解 1．在x轴、y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．－＝1 D．＋＝1 答案：A 2．过(1，2)，(5，3)的直线方程是(　　) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 答案：B 解析：因为所求直线过点(1，2)，(5，3)，所以所求直线方程是＝.故选B. 3．(多选题)下列命题中不正确的是(　　) A．经过点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示C.经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示 D．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示 答案：ABD 解析：A中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为x＝x0；B中经过定点A(0，b)的直线x＝0无法用y＝kx＋b表示；D中不经过原点但斜率不存在(或斜率为零)的直线不能用方程＋＝1表示．只有C正确．故选ABD. 4．过点P(1，2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为 ． 答案：2x－y＝0，或x－y＋1＝0 解析：当直线过原点即在坐标轴上的截距均为零时，得直线方程为2x－y＝0；当在坐标轴上的截距不为零时，可设直线方程为＋＝1，将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，得直线方程为x－y＋1＝0.所以直线方程为2x－y＝0，或x－y＋1＝0. 课时测评3　直线方程的两点式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．经过M(3，2)与N(6，2)两点的直线方程为(　　) A．x＝2 B．y＝2 C．x＝3 D．x＝6 答案：B 解析：由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B. 2．过两点A(0，3)，B(－2，0)的截距式方程为(　　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 答案：D 解析：由于直线过A(0，3)，B(－2，0)两点，所以直线在x轴、y轴上的截距分别为－2，3，由截距式可知，方程为＋＝1.故选D. 3．直线－＝1与－＝1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 答案：B 解析：易知直线－＝1的斜率为，直线－＝1的斜率为，于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足题意． 4．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0 C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0 答案：A 解析：由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)，再由两点式可得直线MN的方程为＝，即2x＋y－8＝0.故选A. 5．若直线＋＝1过第一、二、三象限，则(　　) A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0 答案：C 解析：因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a＜0，b＞0.故选C. 6．(多选题)过点A(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(　　) A．x＋y＝5 B．x－y＝5 C．x－4y＝0 D．x＋4y＝0 答案：AC 解析：当直线过点(0，0)时，直线方程为y＝x，即x－4y＝0；当直线不过点(0，0)时，可设直线方程为＋＝1.把(4，1)代入，解得a＝5，所以直线方程为x＋y＝5.综上可知，直线方程为x＋y＝5，或x－4y＝0.故选AC. 7．过(－1，－1)和(1，3)两点的直线在x轴上的截距为 ，在y轴上的截距为 ． 答案：－　1 解析：由已知得直线的方程为＝，化简得2x－y＋1＝0.令x＝0，得y＝1，令y＝0，得x＝－，则直线在x，y轴上的截距分别为－，1. 8．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的方程为 ． 答案：x＋3y＋2＝0 解析：依题意，设点P(a，1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，即P(－5，1)，Q(7，－3)．由两点式可得＝，化简得l的方程为x＋3y＋2＝0. 9．已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是 ． 答案：3 解析：直线AB的方程为＋＝1，则x＝3－y，所以xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3.即当P点坐标为时，xy取得最大值3. 10．(12分)已知直线l过点P(4，1)． (1)若直线l过点Q(－1，6)，求直线l的方程； (2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程． 解：(1)因为直线l过点P(4，1)，Q(－1，6)， 所以直线l的方程为＝，即x＋y－5＝0. (2)由题意知，若直线过原点，则有y＝x，即x－4y＝0； 若直线不过原点，则直线l的斜率存在且不为0，故设直线l在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a， 所以该直线的方程可设为＋＝1，即＋＝1， 解得a＝，即2x＋y－9＝0， 综上可知，直线l的方程为x－4y＝0，或2x＋y－9＝0. (11，12每小题5分，共10分) 11．已知△ABC的三个顶点分别为A(2，8)，B(－4，0)，C(6，0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为(　　) A．2x－y＋4＝0 B．x＋2y＋4＝0 C．2x＋y－4＝0 D．x－2y＋4＝0 答案：D 解析：由A(2，8)，C(6，0)，得AC的中点坐标为D(4，4)，则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D(4，4)，则所求直线方程为＝，即x－2y＋4＝0.故选D. 12．(2024·安徽黄山高二测试)过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有(　　) A．2条 B．3条 C．4条 D．无数多条 答案：B 解析：当截距都为零时满足题意要求，直线为y＝－x；当截距不为零时，设直线方程为＋＝1，所以所以或即直线方程为＋＝1，或＋＝1，所以满足条件的直线共有3条．故选B. 13．(13分)已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程． 解：设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，把点P(3，2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24.从而S△ABO＝ab≥12.当且仅当＝时等号成立． 由得 所以直线l的方程为＋＝1. 14．(5分)已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2，3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为 ． 答案：2x＋3y＋4＝0 解析：因为两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2，3)，所以2a1＋3b1＋4＝0，2a2＋3b2＋4＝0，因此过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线的方程为2x＋3y＋4＝0. 15．(15分)过点P(4，1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点． (1)当△AOB的面积最小时，求直线l的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程． 解：设直线l：＋＝1(a＞0，b＞0)，因为直线l经过点P(4，1)，所以＋＝1. (1)因为＋＝1≥2＝， 所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立， 所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小， 此时直线l的方程为＋＝1， 即x＋4y－8＝0. (2)因为＋＝1，a＞0，b＞0， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立， 所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－6＝0. 学生用书第11页 学科网（北京）股份有限公司 $$