1.1.3 第1课时 直线方程的点斜式-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

1.3　直线的方程 第1课时　直线方程的点斜式 [学习目标] 知识 层面 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式与斜截式．　2.会利用直线方程的点斜式与斜截式解决有关的问题. 素养 层面 通过对点斜式与斜截式方程等概念的学习，培养数学抽象与直观想象素养；借助求直线的点斜式与斜截式方程，培养数学运算素养. 知识点一　直线方程的点斜式 问题1　已知l1，l2是平面直角坐标系下的直线，判断满足以下条件的直线l1，l2是否唯一． (1)已知l1的斜率不存在； (2)已知l1的斜率不存在且l1过点A(1，2)； (3)已知l2的斜率为2； (4)已知l2的斜率为2且过点B(2，3)． 提示：显然，满足(1)的直线有无数条，满足(2)的直线是唯一的，即横坐标为1的点都在直线上，且直线上所有点的横坐标也都为1；同样，满足(3)的直线有无数条，满足(4)的直线是唯一的，我们只需找异于B点的任意一点P(x，y)，有＝2，即y－3＝2(x－2)，因此直线上的点都满足方程y－3＝2(x－2)，而满足方程y－3＝2(x－2)的点也都在直线上． 问题2　过点P(x0，y0)且斜率为k的直线的方程如何表示？ 提示：y－y0＝k(x－x0)． 1．直线l的方程 一般地，如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程． 2．直线方程的点斜式 名称 点斜式方程 已知条件 直线l经过点P(x0，y0)，且斜率为k 示意图 方程形式 y－y0＝k(x－x0) 适用范围 斜率存在 3．特殊的直线方程 直线l经过点P(x0，y0)， (1)当直线l的斜率为0，即k＝0时，直线l与x轴平行(或重合)，直线方程为y＝y0，特别地，x轴的方程是 y＝0． (2)当直线l的斜率不存在，即直线l倾斜角为时，直线l与y轴平行(或重合)，直线方程为x＝x0，特别地，y轴的方程是 x＝0． [微提醒]　(1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式．(2)过某点P，可设直线方程的点斜式，注意讨论斜率不存在的情况． 学生用书第6页 (链教材P10例7)根据条件写出下列直线的方程，并画出直线： (1)经过点A(－1，4)，斜率k＝－3； (2)经过坐标原点，倾斜角为； (3)经过点B(3，－5)，倾斜角为； (4)经过点C(2，8)，D(－3，－2)． 解：(1)y－4＝－3[x－(－1)]，即y＝－3x＋1.如图①所示． (2)k＝tan＝1，所以y－0＝x－0，即y＝x.如图②所示． (3)斜率k不存在，所以直线方程为x＝3.如图③所示． (4)k＝＝2，所以y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4.如图④所示． 规律方法 求直线方程的点斜式的步骤 对点练1．求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点． 解：(1)因为直线y＝x的斜率为， 所以直线y＝x的倾斜角为. 所以该直线的倾斜角为，故其斜率为. 所以所求直线方程为y＋3＝(x－2)， 即x－y－2－3＝0. (2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示．但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x＝5. (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点的直线斜率 kPQ＝＝＝－1. 因为直线过点P(－2，3)， 所以由直线的点斜式方程可得直线方程为 y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0. 知识点二　直线方程的斜截式 问题3　直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程． 提示：y＝kx＋b. 1．直线l在y轴上的截距 定义：直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距． 2．直线方程的斜截式 名称 斜截式方程 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b 示意图 方程形式 y＝kx＋b 适用范围 斜率存在 微思考　(1)截距一定是距离吗？当直线过原点时，它的横截距和纵截距都是什么？ (2)直线方程的斜截式是一次函数的解析式吗？ 提示：(1)截距不一定是距离，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，截距是一个实数，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0. (2)直线方程的斜截式与一次函数的解析式都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可以看成一条直线方程的斜截式． 求满足下列条件的直线方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距为－1； (2)倾斜角为直线y＝x＋1的倾斜角的一半，在y轴上的截距为－2； (3)倾斜角为，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解：(1)由题意得k＝2，b＝－1. 由直线方程的斜截式得y＝2x－1. (2)因为y＝x＋1的斜率为， 所以其倾斜角为， 故所求直线的倾斜角为. 所以k＝tan ＝，又b＝－2， 所以所求直线方程为y＝x－2. (3)因为直线的倾斜角为， 所以其斜率k＝tan＝， 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3， 所以直线在y轴上的截距为b＝3，或b＝－3， 所以所求直线的方程为y＝x＋3，或y＝x－3. 学生用书第7页 [变式探究]　(变条件)本例(2)中条件改为“所求直线的斜率与直线y＝x＋1的斜率互为相反数，且在x轴上的截距为－2”，求该直线的方程． 解：法一：由题意知，所求直线的斜率为－， 可设直线方程为y＝－x＋b， 因为在x轴上的截距为－2， 所以0＝－×(－2)＋b，得b＝－2. 所以直线方程为y＝－x－2. 法二：由题意知，所求直线的斜率为－，且过点(－2，0)，所以所求直线方程为y－0＝－(x＋2)，即y＝－x－2. 规律方法 直线方程的斜截式求解策略 1．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示． 2．直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件． 3．利用直线的斜截式求方程时，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理如果已知截距b，只需引入参数k. 对点练2．求满足下列条件的直线l的方程： (1)过点P(0，1)，斜率为2； (2)与直线y＝－x＋1在y轴上的截距相等，且过点Q(2，2)； (3)在y轴上的截距是－6，倾斜角的正弦值是. 解：(1)y＝2x＋1. (2)由题意知，该直线过点(0，1)和Q(2，2)， 故k＝＝，所以直线l的方程为y＝x＋1. (3)设直线l的倾斜角为α，则sin α＝， 当α为锐角时，cos α＝，则斜率k＝tan α＝； 当α为钝角时，cos α＝－，则斜率k＝tan α＝－. 又直线在y轴上的截距是－6， 所以所求直线的方程为y＝±x－6. 点斜式(斜截式)方程的应用 过点P(2，1)作直线l，与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求： (1)△AOB面积的最小值及此时直线l的方程； (2)直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程． 解：(1)设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，k＜0， 则可得A，B(0，1－2k)． 因为与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点， 所以⇒k＜0. 于是S△AOB＝|OA||OB|＝··(1－2k) ＝≥＝4， 当且仅当－＝－4k，即k＝－时， △AOB面积有最小值为4，此时直线l的方程为 y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋2. (2)因为A，B(0，1－2k)(k＜0)， 所以截距之和为＋1－2k＝3－2k－≥ 3＋2＝3＋2， 当且仅当－2k＝－，即k＝－时，等号成立． 故截距之和最小值为3＋2，此时直线l的方程为 y－1＝－(x－2)，即y＝－x＋＋1. 规律方法 直线点斜式与基本不等式综合的3个关键点 1．一般地，已知直线上某点时，常设出其点斜式，且注意斜率是否存在． 2．构建函数解析式后，应注明变量的取值范围． 3．运用均值不等式求最值，应注意“等号”是否取到．如果取不到，可用函数单调性求最值． 对点练3．已知直线l过点(1，2)且在x，y轴上的截距相等． (1)求直线l的方程； (2)若直线l在x，y轴上的截距不为0，点P(a，b)在直线l上，求3a＋3b的最小值． 解：(1)①截距为0时，l：y＝2x； ②截距不为0时，k＝－1，l：y－2＝－(x－1)， 所以y＝－x＋3. 综上，l的方程为y＝2x，或y＝－x＋3. (2)由题意得l：x＋y－3＝0，所以a＋b＝3， 所以3a＋3b≥2＝2＝6，当且仅当a＝b＝时，等号成立， 所以3a＋3b的最小值为6. 知识 1.直线方程的点斜式.2.直线方程的斜截式 方法 待定系数法、数形结合思想 易错 误区 求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离 学生用书第8页 1．方程y＝k(x－1)(k∈R)表示(　　) A．过点(－1，0)的一切直线 B．过点(1，0)的一切直线 C．过点(1，0)且不垂直于x轴的一切直线 D．过点(1，0)且除x轴外的一切直线 答案：C 解析：y＝k(x－1)表示过点(1，0)且不垂直于x轴的一切直线．故选C. 2．斜率为4，且过点(2，－3)的直线的点斜式方程是(　　) A．y＋3＝4(x－2) B．y－3＝4(x－2) C．y－3＝4(x＋2) D．y＋3＝4(x＋2) 答案：A 3．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　) A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 答案：B 解析：因为直线经过第一、三、四象限，所以图象如图所示，由图知，k＞0，b＜0.故选B. 4．已知直线l的倾斜角为，在y轴上的截距为3，则直线l的斜截式方程为 ． 答案：y＝x＋3 解析：因为直线l的倾斜角为，故其斜率为1，由斜截式方程，得y＝x＋3. 课时测评2　直线方程的点斜式 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝，则直线的点斜式方程是(　　) A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2 C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋3 答案：A 解析：因为直线l的斜率k＝tan ＝1，所以直线l的点斜式方程为y＋3＝x－2.故选A. 2．直线y＝kx＋1恒过点(　　) A．(1，0) B．(0，1) C．(－1，0) D．(0，－1) 答案：B 解析：当x＝0时，y＝1，所以直线y＝kx＋1恒过点(0，1).故选B. 3．直线y＝ax－的图象可能是(　　) 答案：B 解析：直线y＝ax－的斜率与在y轴上的截距异号．故选B. 4．直线l1：y＝k1x＋b1与l2：y＝k2x＋b2的位置关系如图所示，则有(　　) A．k1＜k2，且b1＜b2 B．k1＜k2，且b1＞b2 C．k1＞k2，且b1＞b2 D．k1＞k2，且b1＜b2 答案：A 解析：设直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2.由题图可知，＜α1＜α2＜π，所以k1＜k2，又b1＜0，b2＞0，所以b1＜b2.故选A. 5．已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点(　　) A．(1，3) B．(－1，－3) C．(3，1) D．(－3，－1) 答案：C 解析：直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)，所以恒过定点(3，1)．故选C. 6．(多选题)经过点(2，1)，且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为(　　) A．y＝x＋3 B．y＝x－1 C．y＝－x＋3 D．y＝－x－1 答案：BC 解析：由题意可知直线的斜率为k＝±1，当直线的斜率为1时，直线方程为y－1＝x－2，化简得y＝x－1；当直线的斜率为－1时，直线方程为y－1＝－(x－2)，化简得y＝－x＋3.故选BC. 7．直线y＝x－4在y轴上的截距是 ． 答案：－4 解析：由y＝x－4，令x＝0，得y＝－4. 8．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成角的直线的斜截式是 ． 答案：y＝x－6，或y＝－x－6 解析：因为直线与y轴相交成角，所以直线的倾斜角为或，所以直线的斜率为或－，又因为在y轴上的截距为－6，所以直线的斜截式为y＝x－6，或y＝－x－6. 9．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为 ． 答案： 解析：由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥. 10．(12分)求斜率为，且与两坐标轴所围成的三角形的周长是20的直线的方程． 解：设所求直线的方程为y＝x＋b， 令x＝0，得y＝b； 令y＝0，得x＝－b. 由已知，得|b|＋＋ ＝20， 即|b|＋|b|＋|b|＝20，解得b＝±5. 故所求直线的方程为y＝x±5. (11，12每小题5分，共10分) 11．(2024·北京高二期中)已知直线l1：y＝x＋2，直线l2是直线l1绕点P(－2，1)逆时针旋转得到的直线，则直线l2的方程是(　　) A．y＝x＋3 B．y＝－2x－3 C．y＝4x＋9 D．y＝3x＋7 答案：D 解析：设直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，则tan α＝，β＝α＋，故tan β＝tan＝＝3.又点P在直线l2上，故直线l2的方程为y－1＝3(x＋2)，整理得y＝3x＋7.故选D. 12．(多选题)下列四个结论，其中正确的是(　　) A．方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)表示同一条直线 B．直线l过点P(x0，y0)，倾斜角为，则其方程为x＝x0 C．直线l过点P(x0，y0)，斜率为0，则其方程为y＝y0 D．所有直线都有点斜式和斜截式方程 答案：BC 解析：A中方程，k＝，x≠－1；D中斜率不存在的直线没有点斜式和斜截式方程，所以A、D错误，B、C正确．故选BC. 13．(13分)直线l的斜率为3且它在y轴上的截距为－3. (1)求直线l的方程； (2)求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积． 解：(1)由斜截式得直线l的方程为y＝3x－3. (2)在直线y＝3x－3中，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1， 则直线l与坐标轴所围成的三角形的面积S＝×|1|×|－3|＝. 14．(5分)(多选题)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列结论正确的是(　　) A．存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 B．如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点 C．直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数 D．存在恰经过一个整点的直线 答案：AD 解析：A正确，如直线y＝x＋，不经过任何整点(x＝0，y＝；x≠0，y是无理数)；B错误，直线y＝x－中k与b都是无理数，但直线经过整点(1，0)；C错误，当k＝0，b＝时，直线y＝不通过任何整点；D正确，比如直线y＝x只经过一个整点(0，0)．故选AD. 15．(15分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程． 解：(1)证明：由kx－y＋1＋2k＝0，得y－1＝k(x＋2)， 所以直线l：kx－y＋1＋2k＝0过定点(－2，1)． (2)由kx－y＋1＋2k＝0，得y＝kx＋1＋2k， 要使直线不经过第四象限，则 解得k≥0. 所以k的取值范围是[0，＋∞)． (3)如图，由题意可知，k＞0， 在kx－y＋1＋2k＝0中，取y＝0，得x＝－，取x＝0，得y＝1＋2k， 所以S△AOB＝×|OA|×|OB|＝××(1＋2k)＝＝2k＋＋2≥2＋2＝4， 当且仅当2k＝，即k＝时上式“＝”成立． 所以S的最小值为4，此时的直线l的方程为x－y＋2＝0，即x－2y＋4＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$