1.1.1-1.1.2 一次函数的图象与直线的方程 直线的倾斜角、斜率及其关系-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版2019）

§1　直线与直线的方程 1.1　一次函数的图象与直线的方程 1.2　直线的倾斜角、斜率及其关系 [学习目标] 知识 层面 1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．　2．理解直线的斜率和倾斜角的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．　3．理解直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系，并会应用斜率公式求直线的斜率. 素养 层面 通过对直线的斜率和倾斜角的概念的学习，培养数学抽象素养；借助斜率公式求直线的斜率，提升数学运算素养. 知识点一　直线的倾斜角 问题1　在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示：两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线． 问题2　在平面直角坐标系中，经过原点的无数条直线中，与x轴(正方向)所成的角为的直线有几条？ 提示：只有一条． 倾斜角的概念 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合时所成的角，称为直线l的倾斜角 规定 当直线l和x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为0 记法 α 图示 范围 [0，π) [微提醒]　倾斜角从“形”的方面直观地刻画了直线倾斜程度，对于平面直角坐标系中的每一条直线l，都有唯一确定的倾斜角α与之对应，但是倾斜角为α的直线有无数条． 求图中各直线的倾斜角． 解：(1)如图①，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝，所以∠OAB＝，即直线l1的倾斜角为. (2)如图②，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝，所以∠OAB＝， 所以∠xAB＝，即直线l2的倾斜角为. (3)如图③，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝，所以∠BAO＝， 所以∠OAC＝，即直线l3的倾斜角为. 规律方法 求直线倾斜角的关键及两点注意 1．关键：依据平面几何知识判断直线向上的方向与x轴正方向之间所成的角． 2．注意：(1)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0；当直线与x轴垂直时，倾斜角为；(2)直线倾斜角的取值范围是[0，π). 学生用书第2页 对点练1．(1)已知直线l1的倾斜角α1＝，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为，如图，则直线l2的倾斜角为 ． (2)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α.如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　) A．α＋ B．α－ C．－α D．当0≤α＜时，倾斜角为α＋；当≤α＜π时，倾斜角为α－ 答案：(1)　(2)D 解析：(1)设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为，所以∠BAC＝，所以α2＝＋α1＝＋＝. (2)根据题意，画出图形，通过图形可知： 当0≤α＜时，l1的倾斜角为α＋；当≤α＜π时，l1的倾斜角为＋α－π＝α－.故选D. 知识点二　直线的斜率 问题3　(1)坡度是用什么量来刻画道路的倾斜程度的？ (2)如图，直线l上两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． 记Δx＝x2－x1(Δx≠0)，Δy＝y2－y1.在直线l上点P1平移到点P2，则高度的平均变化率是多少？ 提示：(1)高度的平均变化率． (2)＝. 问题4　(1)直线l的斜率k和它的倾斜角α的取值范围分别是什么？ (2)如图，A(x1，y1)，B(x2，y2)是倾斜角为α的直线l上的两点，则该直线的斜率k与倾斜角有什么关系？ 提示：(1)k∈(－∞，＋∞)，α∈[0，π)． (2)过A作直线平行于x轴，过B作直线垂直于x轴，交于一点C，则△ABC是直角三角形，故有tan α＝，而BC＝y2－y1，AC＝x2－x1，所以tan α＝，即k＝tan α. 问题5　当直线的倾斜角由0逐渐增大到π，其斜率如何变化？为什么？ 提示：如图，根据正切函数的图象变化可知，当倾斜角为锐角时，斜率为正，斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，斜率随着倾斜角的增大而增大．当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在． 1．直线的斜率 (1)称k＝(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线l的斜率． (2)若直线l垂直于x轴，则它的斜率不存在；若直线l不与x轴垂直，则它的斜率存在且唯一．因此我们常用斜率表示直线的倾斜程度． 2．直线的斜率与倾斜角的关系 (1)倾斜角不是的直线，它的斜率k和它的倾斜角α满足k＝tan α. (2)从函数角度看，k是α的函数，其中k＝tan α，图象如图所示． ①当α∈时，斜率k≥0，且k随倾斜角α的增大而增大； ②当α∈时，斜率k＜0，且k随倾斜角α的增大而增大； ③当α＝时，直线l与x轴垂直，此时直线l的斜率不存在． [微提醒]　k的大小与两点P1，P2的位置无关． (链教材P4例1，P6例3)(1)已知两条直线的倾斜角分别为，，求这两条直线的斜率； (2)已知A(3，2)，B(－4，1)，求直线AB的斜率； (3)求经过两点A(2，3)，B(m，4)的直线的斜率； (4)若≤α≤，求斜率k的取值范围． 解：(1)直线的斜率分别为k1＝tan ＝，k2＝tan ＝－1. (2)直线AB的斜率kAB＝＝. (3)当m＝2时，直线AB的斜率不存在； 当m≠2时，直线AB的斜率为kAB＝＝. (4)由正切函数的性质，可得当≤α＜时，k＝tan α≥1；当＜α≤时，k＝tan α≤－；当α＝时，斜率k不存在． 综上，斜率k的取值范围是{k|k≤－，或k≥1}． 学生用书第3页 规律方法 求直线斜率的两种类型 1．已知直线的倾斜角α求直线斜率时，可利用斜率与倾斜角的关系，即k＝tan α求得． 2．已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，代入斜率公式k＝. 注意：　(1)x1≠x2，当x1＝x2时斜率不存在．(2)公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置． 对点练2．(1)过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为 ． (2)若－≤k≤1，则倾斜角α的取值范围为 ． 答案：(1)1　(2) 解析：(1)由＝1，得m＝1. (2)由－≤k≤1，可得－≤tan α≤1.又0≤α＜π，所以由正切函数的性质，得倾斜角α的取值范围是. 知识点三　直线的斜率与方向向量的关系 问题6　(1)什么是直线的方向向量？ (2)已知直线l上两点A(1，2)，B(－1，3)，你能写出直线l的一个方向向量吗？若A(1，2)，B(1，3)呢？ 提示：(1)直线上的向量及与之平行的非零向量． (2)＝(－1－1，3－2)＝(－2，1)． ＝(1－1，3－2)＝(0，1)． 1．直线的方向向量 如图，在直线l上任取两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．由平面向量的知识可知，向量是直线l的方向向量，它的坐标是(x2－x1，y2－y1)，直线的倾斜角α、斜率k、方向向量分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x轴的倾斜程度．它们之间的关系是k＝＝tan α(其中x1≠x2)． 2．直线的斜率与方向向量的坐标之间的关系 若k是直线l的斜率，则v＝(1，k)是它的一个方向向量；若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，其中x≠0，则它的斜率k＝． [微提醒]　(1)任意斜率不存在时的直线的单位方向向量为a＝(0，1). (2)任意直线的方向向量可表示为a＝(cos θ，sin θ)(θ为倾斜角)． (1)已知直线l经过点P(1，2)和点Q(－2，－2)，则直线l的单位方向向量为(　　) A．(－3，－4) B． C． D．± (2)已知直线l的一个方向向量为(5，8)，且该直线过点(1，2)，则直线l过点(　　) A．(6，10) B．(4，8) C．(2，4) D． 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)由题意得，直线l的一个方向向量为＝(－3，－4)，所以直线l的单位方向向量为±＝±(－3，－4)＝±.故选D. (2)因为直线l的一个方向向量为(5，8)，所以直线l的斜率为，设直线l上一点为(x，y)，则＝(x≠1)，将选项对应点的坐标代入此式，选项A能使等式成立．故选A. 规律方法 直线的方向向量的求法 1．在直线上任找两点P1，P2，则()为直线l的一个方向向量． 2.已知线的斜率为k，则v＝(1，k)为直线的一个方向向量． 3．a＝(t，0)(t≠0)表示与x轴平行或重合的直线的方向向量，a＝(0，t)(t≠0)表示与y轴平行或重合的直线的方向向量． 对点练3．已知直线l的斜率为－，求直线l的模长为1的方向向量． 解：设直线l的方向向量为b＝(x，y)， 则＝－.①． 因为|b|＝1，所以x2＋y2＝1.② 由①②得或 所以b＝，或b＝. 学生用书第4页 应用一　三点共线问题 (链教材P5例2)已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)． (1)若A，B，C三点在同一直线上，求实数a的值； (2)若点A不在直线BC上，求实数a的取值范围． 解：(1)因为A，B，C三点共线， 所以kAB＝kBC，即＝， 所以a＝2，或a＝. (2)当A，B，C三点共线时，a＝2，或a＝， 那么当A，B，C三点不共线，即点A不在直线BC上时，a≠2，且a≠. 所以实数a的取值范围为{a|a≠2，且a≠.} 规律方法 用斜率公式解决三点共线的方法 对点练4．如果三点A(2，1)，B(－2，m)，C(6，8)在同一条直线上，则m的值为 ． 答案：－6 解析：由kAC＝kAB，知＝，解得m＝－6. 应用二　数形结合法求倾斜角或斜率范围 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．求直线l的斜率k的取值范围． 解：如图，由题意知kPA＝＝－1，kPB＝＝1. 要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． [变式探究] 1．(变条件)本例条件中“与线段AB有公共点”改为“与线段AB无公共点”．求直线l的斜率k的取值范围． 解：由本例知与线段AB有公共点时， 斜率k满足k≤－1或k≥1. 则与线段AB无公共点时斜率k的取值范围为(－1，1)． 2．(变条件，变结论)本例条件改为点(x，y)在线段AB上，求的取值范围． 解：表示连接两点(x，y)和(1，0)的直线的斜率，与本例题过程一样． 规律方法 解决取值范围问题的基本方法——数形结合 斜率k的大小与正切函数之间的关系是用倾斜角α来联系的，因此，可以由倾斜角的变化得出斜率的变化．如图所示，过点P的直线l与线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而直线PC与线段AB不相交，所以直线l的斜率k的取值范围是kPA≤k≤kPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线的位置． 对点练5．已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)． (1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角； (2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围． 解：(1)由斜率公式得kAB＝＝0， kBC＝＝，kAC＝＝.因为tan 0＝0，所以直线AB的倾斜角为0. 因为tan ＝，所以直线BC的倾斜角为. 因为tan ＝，所以直线AC的倾斜角为. (2)如图所示，当直线CD绕点C旋转时，斜率k变化，当直线CD由CA按逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即点D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB， 所以k的取值范围为. 知识 1．直线的倾斜角及其范围.2．直线斜率的定义和斜率公式.3．直线的倾斜角与斜率的关系.4．直线的方向向量 方法 数形结合 易错误区 忽视倾斜角范围、图形理解不清、由于对正切函数性质理解不到位而造成求解斜率范围出现错误 学生用书第5页 1．下列图中，α能表示直线l的倾斜角的是(　　) A．① B．①② C．①③ D．②④ 答案：A 解析：由倾斜角的定义可得． 2．已知直线过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为(　　) A．3 B．－2 C．2 D．不存在 答案：B 解析：由题意可得AB的斜率为k＝＝－2.故选B. 3．过两点A(1，y)，B(2，－3)的直线的方向向量为(1，－1)，则y的值为(　　) A．2 B．－2 C．－5 D．5 答案：B 解析：由题意得＝(2，－3)－(1，y)＝(1，－3－y)＝k(1，－1)，所以1＝k，－3－y＝－k，所以y＝－2.故选B. 4．已知直线l的倾斜角的范围是，则直线l的斜率的取值范围是 ． 答案：{k|k≤－1，或k≥1} 解析：当倾斜角α＝时，l的斜率不存在；当α∈时，l的斜率k＝tan α∈[1，＋∞)；当α∈时，l的斜率k＝tan α∈(－∞，－1]． 课时测评1　一次函数的图象与直线的方程 直线的倾斜角、斜率及其关系 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9每小题5分，共45分) 1．以下两点确定的直线的斜率不存在的是(　　) A．(4，1)与(－4，－1) B．(0，1)与(1，0) C．(1，4)与(－1，4) D．(－4，1)与(－4，－1) 答案：D 解析：选项A、B、C、D中，只有D选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在．故选D. 2．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 答案：D 解析：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.故选D. 3．(多选题)给出下列结论，其中说法正确的是(　　) A．若(1，k)是直线l的一个方向向量，则k是该直线的斜率 B．若直线l的斜率是k，则(1，k)是该直线的一个方向向量 C．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 答案：ABC 4．过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　) A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 答案：A 解析：因为kMN＝＝1，所以m＝1.故选A. 5．(多选题)已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为，则点P的坐标为(　　) A．(0，1) B．(－1，0) C．(3，0) D．(0，－3) 答案：CD 解析：若设点P的坐标为P(x，0)，则k＝＝tan ＝1，所以x＝3，即P(3，0)．若设点P的坐标为P(0，y)，则k＝＝tan＝1，所以y＝－3，即P(0，－3)．故选CD. 6．直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为(　　) A．1 B． C． D．－ 答案：B 解析：法一：设斜率为的直线的倾斜角为α，则tan α＝，0≤α＜π，所以α＝，所以2α＝，所以l的斜率k＝tan 2α＝.故选B. 法二：设斜率为的直线的倾斜角为α，则tan α＝，所以l的斜率k＝tan 2α＝＝.故选B. 7．已知直线l过点A(1，2)，且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是 ． 答案：2 解析：如图，kOA＝2，kl′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k∈[0，2]．故直线l的斜率k的最大值为2. 8．若直线l的斜率k的取值范围是，则该直线的倾斜角α的取值范围是 ． 答案： 解析：当0≤k＜时，即0≤tan α＜，又α∈，所以α∈. 9．(开放题)已知点A(1，0)，B(2，)，C(m，2m)，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为 ，直线AC的一个方向向量为 ． 答案：2－3　(1，－)(答案不唯一) 解析：kAB＝＝，所以直线AB的倾斜角为，则直线AC的倾斜角为.kAC＝＝tan ，即＝－，得m＝2－3，直线AC的一个方向向量为(1，－)． 10．(12分)已知坐标平面内三点P(3，－1)，M(6，2)，N(－，)，直线l过点P.若直线l与线段MN相交，求直线l的倾斜角的取值范围． 解：如图所示，考虑临界状态，令直线PM的倾斜角为α1，直线PN的倾斜角为α2， 由题意知，tan α1＝＝1， tan α2＝＝－， 故直线PM的倾斜角为，直线PN的倾斜角为. 结合图形，根据倾斜角的定义知，符合条件的直线l的倾斜角α的取值范围是. (11，12每小题5分，共10分) 11．若经过两点A(2，1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－1，＋∞) C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案：C 解析：因为直线l的倾斜角为锐角，所以斜率k＝＞0，所以－1＜m＜1.故选C. 12．已知点A(3，1)，B(－2，k)，C(8，1)．则直线AC的倾斜角为 ；若这三点能构成三角形，则实数k的取值范围为 ． 答案：0　(－∞，1)∪(1，＋∞) 解析：因为kAC＝＝＝0，所以直线AC的倾斜角为0，又kAB＝＝，要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，即kAB≠kAC，所以≠0，所以k≠1. 13．(13分)(新情境)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点．求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0. 证明：kAB＝，kAC＝， 因为A，B，C三点共线，所以kAB＝kAC， 所以＝， 所以x＋x1x2＋x＝x＋x1x3＋x， 所以(x2－x3)(x1＋x2＋x3)＝0， 因为x2≠x3，所以x1＋x2＋x3＝0. 14．(5分)如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：B 解析：设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得点A′(a－2，b＋2)，于是直线l的斜率k＝kAA′＝＝－1.故选B. 15．(15分)已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 解：(1)如图，可知表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k. 由已知条件，可得A(1，1)，B(－1，5)． 易知kPA≤k≤kPB. 由斜率公式得kPA＝，kPB＝8， 所以≤k≤8. 故的最大值是8，最小值是. (2)由(1)知，的最大值是8，最小值是. 又 ＝＋1， 所以的最大值是9，最小值是. 学科网（北京）股份有限公司 $$