假期作业(4)-【玩转假期】2024年高一数学寒假作业

玩转假期·高一数学 阅读实践.拓视野 【答案】过B关于直线EF的对称点 B',连结AB',设交EF于M,则M点即为 怎样架桥 所求。 河的两岸是两条平行线，河的一侧有 假设M是EF上的另一点，则根据对 两个村庄A和B,要在河两岸建立一座桥 称性，AM+BM'=AM'+B'M'>AB'= (桥面与河岸垂直)，问桥建在何处，才能使 AM+BM. 两个村庄到桥头的距离之和最短？说说为 所以AM+BM最短. 什么. 假期作业（四） 【摘要】1.全称量词2.存在量词3.全称量词命题4.存在量词命题5.全称量词命 题的否定6.存在量词命题的否定 简问速答·抗遗忘 川综合训练·提考能 1.全称量词与全称量词命题的定义？ 一、选择题 1.(多选题)下列四个命题中是假命题的为 A.存在x∈Z,1<4x<3 B.存在x∈Z,5.x十1=0 C.任意x∈R,x2-1=0 D.任意x∈R,x2十x十2>0 2.存在量词与存在量词命题的定义？ 2.命题“Hx∈R,3n∈N,使得n≥x2”的 否定形式是 A.Hx∈R,3n∈N￥，使得n<x B.Hx∈R,3n∈N米，使得n<x C.3x∈R,Hn∈N,使得n<x D.x∈R,Hn∈N*,使得n<x2 3.将命题“x2十y≥2xy”改写成全称量词 3.否命题的定义？ 命题为 A.对任意x,y∈R,都有x2+y2≥2xy 成立 B.存在x,y∈R,使x2+y≥2.xy成立 C.对任意x>0,y>0,都有x2+y≥2xy 成立 D.存在x<0,y<0,使x2+y≤2xy 成立 6 第一部分快乐假期轻松学 4.命题“存在实数x,使x>1”的否定是 (2)设不等式(x一a)(x+a一2)<0的 解集为N,若x∈N是x∈M的必要条 A.对任意实数x,都有x>1 件，求实数a的取值范围. B.不存在实数x,使x≤1 C.对任意实数x,都有x≤1 D.存在实数x,使x≤1 5.下列说法中，正确的个数是 ①存在一个实数，使-2x2十x一4=0 ②所有的质数都是奇数 ③在同一平面中斜率相等且不重合的两 条直线都平行 ④至少存在一个正整数，能被5和7整除 A.1 B.2 川自主探究倍素养 C.3 D.4 6.命题p:“存在实数m,使方程x2十mx十1 借问量词何处有一无量词命题的 否定 =0有实数根”，则“非p”形式的命题是 ( 1.量词的理解 通常量词被分为两类：一类是全称量 A.存在实数m,使方程x2+m.x十1=0 词，另一类是存在量词.全称量词，如“所 无实根 有”“任何”“一切”等，其表达的逻辑为：“对 B.不存在实数m,使方程x十mx十1=0无 宇宙间的所有事物X来说，X都是F”.例 实根 C.对任意的实数m,方程x2十m,x+1=0 句：“所有的鱼都会游泳”；存在量词，如 无实根 “有”“有的”“有些”等，其表达的逻辑为： D.至多有一个实数m,使方程x2十m.x十 “宇宙间至少有一个事物X,X是F”.例句： “有的工程师是工人出身”. 1=0有实根 2.全称量词命题与存在量词命题 7.已知命题“存在-1≤x≤1，一x2+3.x十a 判断一个命题为全称量词命题还是存 >0”为真命题，则实数a的取值范围是 在量词命题，关键是看命题中是否有全称 ( 量词和存在量词. A.(ala- B.aa>4 这里需要注意的是：有些全称命题在 C.{a-2<a<4}D.{aa>-2y 文字叙述上可能会省略了全称量词，例如： 二、填空题 (1)“末位是0的整数，可以被5整除”；(2) “线段的垂直平分线上的点到这条线段两 8.命题“Vx∈R,2x十4>0”的否定是 个端点的距离相等”；(3)“负数的平方是正 数”；(4)“梯形的对角线相等”都是全称命 9.已知命题“3x∈R,2x+(a-1)x+2 题，因此在判断是否为全称命题时要注意， 这也是为后面学习全称命题的否定打好 0”是假命题，则实数a的取值范围是 基础， [典例]写出下列命题的否定 三、解答题 (1)若x2>4,则x>2: 10.已知“3x∈{x|-1<x<1},使等式x (2)若m≥0，则x2十x一m=0有实数根： -x一m=0成立”是真命题， (3)可以被5整除的整数，末位是0； (1)求实数m的取值集合M: (4)被8整除的数能被4整除： 玩转假期·高一数学 (5)若一个四边形是正方形，则它的四条 都是鲁班在生产实践中，经过反复试验，研 边相等. 究出来的.其中石磨就是鲁班根据小麦的 【解】(1)否定：存在实数x,虽然满足 外形是“椭圆”形而发明的. x>4,但≤2.或者说：存在小于或等 鲁班一年到头，四处奔波，给别人干 于2的数x0,满足>4.（原意表达为对 活.这一天，他忙了一上午，坐下来休息.旁 任意的实数x,若x>4则x>2) 边，有一家人正准备做饭，可是没有面粉 (2)否定：虽然实数≥0，但存在一个 了.他们拿来一些麦子，放在石白里，用沉 x0,使x后十x一m=0无实数根.（原意表 重的石杵去捣.捣麦的人累得满头大汗，才 达：对任意实数m,若m≥0，则x十x一 捣碎了很少一点.因为麦粒是椭圆形的，用 m=0有实数根.) 劲小了，砸不碎；劲大了，又把麦粒砸跑了， (3)否定：存在一个可以被5整除的整 真是急死人了，当时，人们都是用的这种办 数，其末位不是0. 法来加工面粉.鲁班决心玫革它，为人们解 (4)否定：存在一个数能被8整除，但不 能被4整除.（原意表达为所有能被8整 决困难.又一天，鲁班来到另一个地方干 除的数都能被4整除) 活，恰巧看到一个老太太正在捣麦子.老太 (5)否定：存在一个四边形，虽然它是正 太年岁大了，举不起石杵了，她扶着石杵， 方形，但四条边中至少有两条不相等.（原 在石白里研着麦粒.鲁班走过去一看，石臼 意表达为无论哪个四边形，若它是正方形， 里的麦粒有不少已经被磨成了粉.鲁班从 则它的四条边中任何两条都相等.) 这里得到了启发 阁读实践.拓视野 回到家里，鲁班叫他的妻子云氏找来 两块石料.他把石料凿成两个大圆盘，又在 伟大的发明家—鲁班 每个圆盘的一面凿出一道道槽.其中的一 鲁班生于公元前507年.他家世世代代都 是手工工匠，鲁班本人也是一位手艺精湛的工 个圆盘，他还安上了木把.邻居们都很奇 匠，杰出的创造发明家.历史上关于他的记载 怪，鲁班做的是什么呢？大家都围过来看. 和传说有很多，至今，在民间还广泛地流传着 只见鲁班把两个圆盘摞在一起，凿槽的两 他发明创造的故事 面相合，有木把的放在上面，中心还装了个 今天，木工师傅们用的手工工具，如 轴.他在圆盘中间放上麦粒，然后转动上面 锯、钻、刨子、铲子、曲尺，划线用的墨斗，据 的石盘，麦粒很快就被磨成了面粉.大家高 说都是鲁班发明的.而每一件工具的发明， 兴极了，鲁班真是为人们立了一大功啊！ 假期作业（五） 【摘要】1.等式的性质2.不等式的性质3.如何比较大小 简问速答抗遗忘 3.作差法比较两个数大小的步骤？ 1.两个实数大小的比较？ 2.不等式的性质有哪些？ 8玩转假期·高一数学 9.【解析】由题意得当a=1时，方程x一ax十1=0，即x 9.【解析】函数y=x2十m.x十1的图象的对称轴为x= 一x十1=0无解，集合B=☑，满足题意： 当a=2时，方程x2-ax+1=0,即x2-2xr+1=0有两 -受，由题意：一受=1，所以m=一2 个相等的实根1，集合B=(1},满足题意： 【答案】n=一2 当a=3时，方程x2-ax+1=0,即x2-3x+1=0有两个不 10.【证明】先证充分性： 相等的实粮35,3来合B=时5,8，不满 若a+b=1, 22 则a2+b2-a-b+2ab=(a+b)2-(a十b)=1-1=0, 足题意.综上可知，的值为1或2. 即充分性成立 【答案】1或2 必要性： 10.【解】1)当0=1时A={女 若a”+6-a-b+2ab=0,期(a+b)2-(a+b)=(a+ b)(a+h-1)=0, 又因为B={-2 <x<2} 因为a十b≠0，所以a十b一1=0， 即a+b=1成立， 则B={z≤-2我≥2 综上，a°+b-a一b+2ab=0成立的充要条件是a十b =1. 所以(CRB)UA={x|x≤1或x≥2. 2为A=-号<<3若AB 假期作业（四） 【简问速答·抗遗忘】 则当A=②时， 号≥3号2，所以0≥3不成立， 1.【答案】短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 全称量词，并用符合“V”表示.含有全称量词的命题，叫 1 做全称量词命题 所以A≠⑦，所以 解得：-1<a≤1， 3a∠2 常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等. 2 2.【答案】短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常 所以a的取值范图是{a-1<a≤1}. 叫做存在量词，并用符号“了”表示.含有存在量词的命 假期作业（三） 题，叫做存在量词命题。 常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有 【简问速答·抗遗忘】 的”等. 1,【答案】命题是用语言、符号或式子表达的，可以判断 3.【答案】 一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一 真假的陈述句.形式：“若p,则9”，其中p称为命题的条 个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.通常用符 件，（称为命题的结论 号“一p(x)"表示“(x)不成立” 2.【答案】如果“若p,则g”和它的逆命题“若q,则p”均是 【综合训练·提考能】 真命题，即既有→g,又有q→p,就记作p台4.此时，p 既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的 1.ABC选项A中，<<子且x∈，不成立：选项B 充分必要条件，简称为充要条件. 3.【答案】具有传递性p曰，即p是x的充要条件 中=一行，与xZ矛盾：选项C中≠士1时d-1 【综合训练·提考能】 ≠0：选项D正确. 1A若x>1且y>1,则x十y>2成立，故p是q的充分 2.DH的否定是3,3的否定是H,n≥x的否定是nx. 条件：若x十y>2,如x=4,y=一1，故p不是g的必要 3.A本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数 条件， x,y”,玫成金称量词命题为：对任意实数x,y,都有x2十 2.A由“a>2”可推出“a>2a”,由“a>2a”不能推出“a y2≥2xy成立. >2”,所以“a>2”是“a>2a”的充分不必要条件. 4.C“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有 3.BCD由于x<1即一1<x<1,A显然不能使-1<x x≤1” <1成立，BCD满足题意 5.B①方程一2x2十x一4=0无实根：②2是质数，但不是 4.B因为p是q的充分条件，所以p→g,所以q是p的必 奇数：6③④正确. 要条件 6.C存在量词命题的否定是全称量词命题. 6.C运用集合的知识号知只有C中由日<<号可以推 7.D命题存在“-1≤x≤1，-x2+3r十a>0”为真命题， 等价于a>x2-3.x在(x|-1≤x≤1}上有解，令y=x2 出0<x<1,其余均不可. 6.ABD△≥0曰方程a.x十bx十c=0有实根，A对： 3.x,(-1≤x≤1)，则等价于a>ym=-2,所以a>一2. △=0→方程ax2十bx十c=0有实根，B对： 8.【解析】“x∈R2x+4>0”的香定是“3x∈R,2x十4 △>0→方程a.z2十bx十c=0有实根，但a.x2+bx十c=0 有实根→△>0，C错： <0戎2+4=0”，即3x∈R2r+4≤0. △<0台方程ax十b.x十c=0无实根，D对. 1 7.D由AUB=B,得AB或A=B:反之，由A至B,得A 【答案】3xER,2x+≤0 UB=B,所以p是g的必要不充分条件. 8.【解析】方程x一4r十a=0有实根，常要△>0，即a≤4， 9.【解析】由题意可得“对Vx∈R.2x+(a-11十2>0恒 所以当a=2时方程有实根.所以是充分条件， 成立”是真命题，令△=(a-1)2-4<0得-1<a<3. 【答案】充分 【答案】{a|-1<a<3} ·36· 参考答案 10,【解】0)由题意，知m=产-x=(-）'- 作差：(a+3)(a+4)-(a+2)(a十5)=12-10=2>0，所 以p<g. 由-1<1，得me[-2):故M=[-子2) 6.A由-1<9<1，得-1<-B<1,又-1<a<1,所以 -2<a-B<2,而a<8,所以-2<a-B<0. (2)由x∈N是x∈M的必要条件，知MCN. ①当a>2-a,即a>1时，N=(2-a,a), 元A周为a+}-(6+名)=-D。 a ab 2-a<-4 1 则a≥2 解得a>是 所以若a>6>1显塔。+日-(6+若)- la>1, a-bg-》>0,时充分性成主：当a-号6=号时 ab ②当a<2-a,即a<1时，N=(a,2-a), a<1, 显然不等式a十日>b十方成立，但>b>1不成立，所 尉{a<-子，解得a<-号 以必要性不成立 8.【解析】因为x-(.x-x十1)=x-x2十x-1=x(x 2-a≥2. -1)+(x-1)=(x-1)(x2+1). ③当a=2-a,即a=1时，V=☑，不满足M二N. 又因为x>1.故(x-1)(x2+1)>0,所以x-(x2-x+ 综上可得ae(-e,-)》U(号+∞)： 1)>0,即x3>x2-x+1. 【答案】x>x2-x十1 假期作业（五） 9.【解析】对于①，若ah>0a>b.则a>b>0或0>a>b,所 【简问速答·抗遗忘】 以。<右所以①正确： 1.【答案】如果a-b是正数，那么a>b:如果a一b等于 对于②，不妨令a=2,b=1,e=-1,d=一3，则a一c=3, 零，那么a=b:如果a一b是负数，那么a<b.反过来也 h-d=4. 对.这个基本事实可以表示为：a>b台a一b>0,a=b曰a 所以a一c>b-d不成立，②错误： -b=0,a<b=a-b<0. 对于③，对于正数a,b,m, 2.【答案】①如果a>b,那么<a:如果b<a,那么a>b. 若a<b,则am<bn,所以ab+十am<ab十bmn,即a(b+m) 即a>b=b<a. ②如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c→a>c. <a+m),将以号<册 ③如果a>b,那么a十c>b十c. 综上，正确的命题序号是①③ ④如果a>b,c>0,那么ac>bc:如果a>b.c<0,那么ac 【答案】①③ , 10.【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0. ⑤如果a>b,c>d,那么a十c>b十d. 又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0. ⑥如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd. 所以(a-c)>(b-d)2>0. ⑦如果a>b>0,那么a">b(n∈N,n≥2). 所以0< 3.【答案】作差法比较大小的一般步骤 (a-c)(h-d) 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段， 又周为t<0,所以a>0 将“差”化成“积”： 假期作业（六） 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0（不 确定的要分情况讨论 【简问速答·抗遗忘】 最后得结论. L.【答案】重要不等式：a,b∈R,有a+b≥2ab,当且仅 概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是 当a=b时，等号成立，特别地，基本不等式：如果a>0,b 关键. >0,我们用√a,√万分别代替上式中的a,b,可得√ab≤ 【综合训练·提考能】 1.D根据题意知，500x十400y≤20000，即5x十4y≤200. ,当且仅当a=6时等号度立.通常称此不等式为基 2C由<6<0，可得0>a>,所以1a<a:故D0 本不等式， 2.【答案】必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： 不成立：所以a十b<0<ab,a>b都成立，故③④一定 正确， ①一正：符合基本不等式“士>Va成立的前提条件，口 3.AM-(-5)=x2+y+4x-2y+5=(x+2)2+ >0,b>0. (y-1),因为x≠-2，y≠1，所以(x+2)2>0,(y-1)2 ②二定：化不等式的一边为定值。 >0,因此(x+2)”+(y-1)>0,故M>-5. ③三相等：必须存在取“=”号的条件，即“=”号成立. 4.ABCa+b<0知a<0,且|a>|b,当b>≥0时，a+b 以上三点缺一不可. <0成立，当b<0时，a十b<0成立，所以a十b<0. 3.【答案】利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中 5.A因为p=Wa+2+√a+5, 要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等 式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之 则p=2a+7+2√(a+2)(a+5) 达到能使用基本不等式的形式：若题目中还有已知条 因为q=√a+3+va+4, 件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已 则g2=2a+7+2√(a+3)(a+4). 知条件中含有“1“时，要注意“1”的代换.另外，解题时要 比较p,q的大小只需要比较(a十2)(a十5)与(a十3)(a十4). 时刻注意等号能否取到. ·37·