4.1数列的概念（第1课时 数列的概念及通项公式）（教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

人教版2019高一数学（选修二） 第四章　数列 4.1数列的概念 第1课时 数列的概念及通项公式 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.理解数列的有关概念和几种简单的表示方法（重点） 2.发现数列的规律，找出数列可能的通项公式（难点） 3.掌握数列通项公式概念及其应用（重点、难点） 4.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项. 古语云:“勤学如春起之苗,不见其增,日有所长”如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量,则每日的高度值按日期排在一起,可组成一个数列. 那么什么叫数列呢? 学习目标 在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象. 探究1. 王芳从一岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数： 75,87,96,103,110,116,120,128,138， 145,153,158,160,162,163,165,168 ① 记王芳第的身高为 ，那么=75 , =87, =168.我们发现中的反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即=75 是排在第1位的数，=87是排在第2位的数 =168是排在第17位的数，它们之间不能交换位置，所以①具有确定顺序的一列数。 新知探究 探究2. 在两河流域发掘的一块泥板（编号K90，约生 产于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从 第1天到第15天，每天月亮可见部分的数： 5,10,20,40,80,96,112,128, 144,160,176,192,208,224,240. ② 记第月亮可见部分的数为 , 那么=5 , =10, =240.这里，中的反映了月亮可见部分的数按日期从1~15顺序排列时的确定位置，即=5是排在第1位的数，=10是排在第2位的数 =240是排在第15位的数，它们之间不能交换位置，所以，②也是具有确定顺序的一列数。 新知探究 探究3： 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数 问题：这也是具有确定顺序的一列数吗？ 是具有确定顺序的一列数. 新知探究 上面三个例子的共同特征是什么? 75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168. 5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240. ① ② ③ 一列数 确定顺序 ①是按年龄从小到大的顺序排列的 ②是按每月的日期从小到大的顺序排列的 ③是按幂指数从小到大的顺序排列的 ④它们都是从第1项开始的. 一、数列的概念： 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示······第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示，其中第1项也叫做首项. 数列的一般形式是 a1，a2，a3，…，an，…. (n∈N*)简记作{an} . 思考 {an} 与an的意思一样吗？ {an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，…. ；an表示数列{an}中的第n项. 由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系: 序号 1 2 3 ··· n ··· 项 a1 a2 a3 ··· an ··· 所以数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1, 2, ··· , n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an ，记为an = f(n). 也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)， f(2) , ··· , f(n), ··· 就是数列{an}. 另一方面，对于函数y=f(x)，如果f(n) (n∈N*)有意义，那么f(1)， f(2) , ··· , f(n), ···构成了一个数列{f(n)}. 以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化.的，而数列是自变量为离散的数的函数. 与函数类似，我们可以定义数列的单调性： 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列. 特别地，各项都相等的数列叫做常数列. 二、数列的分类： 1. 以项数来分类： (1) 有穷数列： (2) 无穷数列： 2. 以各项的大小关系来分类： (1) 递增数列： (2) 递减数列： (3) 常 数 列： (4) 摆动数列： 各项都相等的数列； 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 项数有限的数列； 项数无限的数列. 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0). 对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0). 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列. 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列. 三、数列的通项公式： 如果数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，简称通项. 注意：①通项公式的主要作用是“知序号可求项”如：数列{n2}的第11项是121. ②一些数列的通项公式不是唯一的；如：数列1，-1，1，-1，… ③不是每一个数列都能写出它的通项公式. 如：1，24，8，3，19 例如数列：1, 4, 9, 16, ···的通项公式是 思考 数列5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240有通项公式吗？ 为什么？ 例1 根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项， 并画出它们的图象. 课本例题 例2 根据下列数列的前4 项，写出数列的一个通项公式: 课本例题 1．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象： （1）所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列； 课本练习 1．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象： （2）前10项为：3，5，7，9，11，13，15，17，19， 21；图象如图： 课本练习 1．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象： （3）前10项为：2，3，2，5，2，7，2，9，2，11；图象如图： 课本练习 2.根据数列的通项公式填表 n 1 2 … 5 … … … n an … … 153 … 273 … 3(3+4n) 21 33 69 12 22 课本练习 前10项依次为：1，2，2，3，2，4，2，4，3，4． 课本练习 课本练习 错因分析 易错辨析　忽视数列中n∈N＋致错 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则an的最小值为________． 解析：∵an＝n2－5n＋4＝－， 可知对称轴方程为n＝， 又n∈N＋，故n＝2或3时， an有最小值，且a2＝a3＝－2 -2 错因分析 出错原因 纠错心得 在求出an＝－时，忘记n∈N＋了，导致得出错误答案：－. 数列的定义域是正整数集合时，是特殊的函数，所以解题时一定不要忘记n∈N＋这一条件． 【易错警示】 错因分析 1.已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋tn，若数列{an}为递增数列，则t的取值范围是____________． (－3，＋∞) 易错辨析　用函数思想解题时忽略数列的特征而致错 解析：方法一　由数列{an}为递增数列，知 an＋1－an＝(n＋1)2＋t(n＋1)－(n2＋tn)＝2n＋1＋t>0恒成立， 即t>－(2n＋1)恒成立． 而n∈N＋，所以t>－3， 故t的取值范围是(－3，＋∞)． 解析：方法二　an＝n2＋tn＝－， 由于n∈N＋，且数列{an}为递增数列， 结合二次函数的图像得－<，解得t>－3， 故t的取值范围是(－3，＋∞)． 错因分析 【易错警示】 错因：在方法二中，若忽略了数列的特征，即n的取值的离散性，常会得出－≤1，即t∈[－2，＋∞)的错误结果．事实上，由抛物线的对称性知，函数f(x)＝x2＋tx在[1，＋∞)上不单调照样可以使得数列{an}单调，当对称轴位于区间内时，a1<a2也成立． 纠错心得：用函数思想解决数列的问题时，特别是研究数列的单调性时，应注意数列的特征．要能够恰当利用函数的性质，通过数形结合来求解 1.下列各项表示数列的是(　　) A.△,○,☆,□ B.2 008,2 009,2 010,…,2 017 C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D.a+b,a-b,ab,λa 答案 B 解析 数列是指按照一定次序排列的一列数,而不能是图形、文字、向量等,只有B项符合. 随堂检测 【答案】 B 【答案】 ABC 3. (多选)(2023清镇博雅国际实验学校月考)数列2,0,2,0，…的通项公式可以是(　　) 【解析】 对于A，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，符合题意，故A正确；对于B，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，符合题意，故B正确；对于C，a1＝2，a2＝0，a3＝2，a4＝0，符合题意，故C正确；对于D，a1＝0，a2＝2，a3＝0，a4＝2，不符合题意，故D错误．故选ABC. 【答案】 ACD 4.(多选)(2023湖南百校大联考)甲同学通过数列3,5,9,17,33，…的前5项，得到该数列的一个通项公式为an＝2n＋m，根据甲同学得到的通项公式，下列结论中正确的是(　　) A. m＝1 B. m＝2 C. 该数列为递增数列 D. a6＝65 【解析】 由a1＝21＋m＝3，得m＝1，则an＝2n＋1，经检验，符合题意，故A正确，B错误；因为 an－an－1＝2n－2n－1＝2n－1>0，所以该数列为递增数列，故C正确；a6＝26＋1＝65，故D正确. 故选ACD. 答案 19 1．知识清单： (1)数列及其有关概念． (2)数列的分类． (3)函数与数列的关系． (4)数列的单调性． (5)数列的通项公式． 2．方法归纳：观察、归纳、猜想． 3．常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系． 课堂小结 2. (2023广州四中月考)已知数列{an}满足a2＝，an＋1＝1－，则a2 023的值为(　　) A. 1 B. 2 C. －1 D. 【解析】 由题意，得a3＝1－＝－1，a4＝1－＝2，a5＝1－＝，…，所以{an}是周期为3的数列．又a2＝1－＝，可得a1＝2，则a2 023＝a3×674＋1＝a1＝2. A. an＝(－1)n＋1＋1 B. an＝2 C. an＝2 D. an＝(－1)n＋1 5.已知数列,…,则5是该数列的第　　　　　项.  解析 观察可得数列的一个通项公式是an=, 而5,所以5是该数列的第19项. 6.在数列{an}中,已知an=(n∈N*). (1)写出a10,an+1. (2)79是不是该数列中的项?如果是,是第几项? 解 (1)a10=; an+1=. (2)令an==79,解得n=15(n=-16舍去),所以79是该数列中的项,并且是第15项. $$