4.3.1 第1课时 等比数列的概念与通项公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版）

等比数列 4.3 等比数列的概念 4.3.1 等比数列的概念与通项公式 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念,掌握等比数列通项公式的意义. 2.掌握等比数列的通项公式及其推导过程,能利用公式进行简单运算. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　等比数列的有关概念 逐点清(二)　等比中项 逐点清(三)　等比数列的通项公式 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　等比数列的有关概念 01 1.等比数列的概念 一般地,如果一个数列从第____项起,每一项与它的_____一项的_____都等于__________常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的_____,公比通常用字母q表示(q≠0). 2.等比数列定义的符号表示 =q(n∈N*且n≥2)或=q(n∈N*). 多维理解 2 前 比 同一个 公比 |微|点|助|解| (1)定义强调“从第2项起”,因为第一项没有前一项. (2)等比数列的公比q可正可负,但不能为0,等比数列中任一项不为0. (3)常数列(除0,0,0,…外)都是公比为1的等比数列. 1.以下条件中,能判定数列是等比数列的有 (　　) ①数列1,2,6,18,…; ②数列{an}中,已知=2,=2;③常数列a,a,…,a,…;④数列{an}中,=q(q≠0),其中n∈N*. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 √ 微点练明 解析:①中,数列不符合等比数列的定义,故不是等比数列;②中,前3项是等比数列,多于3项时,无法判定,故不能判定是等比数列;③中,当a=0时,不是等比数列;④中,数列符合等比数列的定义,是等比数列.故选A. 2.下列通项公式中代表等比数列的是 (　　) A.an=c B.an=n+1 C.an=n2 D.an=2n √ 解析:利用逐个检验,A中,c如果为0,显然不是等比数列;B,C不符合常数;D中,==2为常数,符合. 3.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使得这三个数依次成等比数列,则这样的等比数列的个数是 (　　) A.8 B.10 C.12 D.16 √ 解析:当公比为2时,等比数列可为1,2,4;2,4,8;当公比为3时,等比数列可为1,3,9;当公比为时,等比数列可为4,6,9.同时,4,2,1;8,4,2;9,3,1和9,6,4也是等比数列,共8个. 逐点清(二)　等比中项 02 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的_________,此时,G2=ab. 多维理解 等比中项 |微|点|助|解| (1)若G2=ab,则a,G,b不一定成等比数列,如G=a=b=0. (2)只有同号的两个实数才有等比中项. (3)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数,即G=±. 1.“G=”是“G是a,b的等比中项”的(　　) A.既不充分也不必要条件 　　B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 　　D.充要条件 √ 微点练明 解析:当G=a=b=0时,满足G=,不满足G是a,b的等比中项;当G是a,b的等比中项时,如a=1,b=4,G=-2,但不满足G=,故“G=”是“G是a,b的等比中项”的既不充分也不必要条件.故选A. 2.已知数列{an}为等比数列,其中a6,a10为方程x2+4x+3=0的两根,则a8= (　　) A.± B.- C. D. √ 解析:由根与系数的关系可得a6a10=3,a6+a10=-4,则a6<0,a10<0.由等比数列的中项性质可得a6a10==3,所以a8=±.因为等比数列的偶数项符号相同,且a6,a10都是负数,所以a8=-.故选B. 3.若1,a,3成等差数列,1,b,4成等比数列,则的值为_____.  ±1 解析:∵1,a,3成等差数列,∴a==2,∵1,b,4成等比数列, ∴b2=1×4,b=±2,∴==±1. 4.在等差数列{an}中,公差d≠0,且a3是a1和a9的等比中项, 则=____.  解析:由题意知,a3是a1和a9的等比中项,∴=a1a9. ∴(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得a1=d,∴==. 逐点清(三)　等比数列的通项公式 03 等比数列的通项公式 　　首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为an=_______(q≠0). a1qn-1 |微|点|助|解| (1)在已知首项a1,公比q的条件下,利用通项公式可求出等比数列中的任意一项. (2)可以利用通项公式判断数列是否为等比数列. (3)an=a1·qn-1=a2·qn-2=a3·qn-3=…. [典例]　(1)在等比数列{an}中,a1=,q=,an=,则项数n为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 √ 解析:因为an=a1qn-1,所以×=,即=,解得n=5. (2)已知等比数列{an}为递增数列,且=a10,2(an+)=5an+1,则数列{an}的通项公式为an=______.  2n 解析:设等比数列{an}的公比为q,由2(an+an+2)=5an+1⇒2q2-5q+2=0⇒q=2或q=,由=a10=a1q9>0⇒a1>0,又数列{an}递增,所以q=2.=a10⇒(a1q4)2 =a1q9⇒a1=q=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n. |思|维|建|模| a1和q的求法通常有以下两种 (1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方法. (2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算. 1.已知等比数列{an}满足a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则此数列的公比等于 (　　) A.1 B.2 C.-2 D.-1 √ 针对训练 解析:设等比数列{an}的公比为q,因为4a1,2a2,a3成等差数列, 所以4a1q=4a1+a1q2,即q2-4q+4=0,解得q=2. 2.在等比数列{an}中,已知a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n. 解:设公比为q,由题意,得 由得q=,∴a1=32. 又an=1,∴32×=1,即26-n=20,∴n=6. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.下列三个数依次成等比数列的是 (　　) A.1,4,8 B.-1,2,4 C.9,6,4 D.4,6,8 √ 解析: 42≠1×8,A错误;22≠-1×4,B错误;因为==,所以9,6,4依次成等比数列,C正确;62≠4×8,D错误.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知等比数列{an}中,a1=1,a4=-8,则公比q= (　　) A.2 B.-4 C.4 D.-2 √ 解析:依题意a4=a1q3=q3=-8,q=-2.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知实数m是2,8的等比中项,则m= (　　) A.±4 B.-4 C.4 D.5 √ 解析:因为实数m是2,8的等比中项,所以m2=2×8=16,得m=±4,故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.在等比数列{an}中,a1=2,a4=.若am=2-11,则m=(　　) A.17 B.16 C.14 D.13 √ 解析:设等比数列{an}的公比为q,因为a1=2,a4=,所以2q3=,解得q=.又am=2-11,所以2×=2-11,可得m=13. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.[多选]下列数列为等比数列的是 (　　) A.{2n} B.{n2} C.{3-n} D.{2·2n} √ √ 解析: A项,an=2n,则=不为定值,不满足;B项,an=n2, 则=不为定值,不满足;C项,an=3-n,则==为定值, 且a1=,满足;D项,an=2·2n,则==2为定值,且a1=4,满足.故选CD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6= (　　) A.14 B.12 C.6 D.3 √ 解析:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q, 由题意可得即 解得所以a6=a1q5=3,故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.[多选]已知{an}为等差数列,满足4a3-a8=7,a2+a7=11,{bn}为等比数列,满足b1=a1,b4=a15,则 (　　) A.{an}的首项与公差相等 B.a2,a5,a11成等比数列 C.{bn}的首项与公比相等 D.b3,b5,b6成等差数列 √ √ 解析:因为{an}是等差数列,设公差为d,则4a3-a8=3a1+d=7,a2+a7=2a1+7d= 11,解得a1=2,d=1,故A错误;可得an=2+n-1=n+1,所以a2=3,a5=6,a11=12, 是等比数列,故B正确;数列{bn}为等比数列,且b1=a1=2,b4=a15=16,所以q=2, 则bn=2n,故C正确;b3=8,b5=32,b6=64,不是等差数列,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.在数列{an}中,a1=,∀m,n∈N*,am+n=aman,则a6等于(　　) A. B. C. D. √ 解析:由于∀m,n∈N*,有am+n=aman,且a1=,令m=1,则an+1=a1an=an,即数列{an}是首项为,公比为的等比数列,所以an=a1qn-1=×=,故a6==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)已知等比数列{an}中的前三项为a,2a+2,3a+3,则实数a的值为________.  -4 解析:因为2a+2为a与3a+3的等比中项, 所以解得a=-4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为______________.  80,40,20,10 解析:设这6个数所成等比数列的公比为q,则5=160q5,∴q5=, ∴q=.∴这4个数依次为80,40,20,10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知等比数列{an}满足a1-a3=-,a2-a4=-,则使得a1a2·…·an取得最小值的n为__________.  3或4 解析:设公比为q,则q==3,∴a1-a3=-8a1=-,∴a1=,a2=, a3=,a4=1,…,即{an}是递增的等比数列,∴n=3或n=4时,a1a2· …·an取得最小值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)各项均为正数的等比数列{an},其公比q≠1,且a3a7=4,请写出一个符合条件的通项公式an=__________________________________ _________________.  2n-4 (只要{an}为正项等比数列(不为常 数列)且a5=2即可) 解析:因为{an}为正项等比数列,所以a3a7==4,所以a5=2,又q≠1,不妨令q=2,所以an=a1qn-1= a5qn-5=2×2n-5=2n-4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)(1)一个等比数列{an}的第3项与第4项分别是12与18,求这个数列的通项公式;(5分) 解:法一　设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题意得 解得∴an=a1qn-1=×. 法二　∵{an}为等比数列,∴q===.∴an=a3qn-3=12×=×. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)已知等比数列{an}中,a5=3,a7=27,求q及an.(5分) 解:由a7=a5q2,得q2==9,∴q=±3,则a1=, 当q=3时,an=a1qn-1=×3n-1=3n-4; 当q=-3时,an=a1qn-1=×(-3)n-1=-(-3)n-4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)在各项均为正数的等比数列{an}中,a1=2,且2a1,a3,3a2成等差数列. (1)求等比数列{an}的通项公式;(5分) 解:设数列{an}的公比为q,q>0,因为2a1,a3,3a2成等差数列, 所以2a1+3a2=2a3,即2a1+3a1q=2a1q2, 所以2q2-3q-2=0, 解得q=2或q=-(舍去). 又a1=2,所以数列{an}的通项公式an=2n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若数列{bn}满足bn=11-2log2an,求数列{bn}前n项和Tn的最大值.(5分) 解:由(1),得bn=11-2log22n=11-2n,则b1=9,且bn+1-bn=-2, 故数列{bn}是首项为9,公差为-2的等差数列, 所以Tn==-n2+10n=-(n-5)2+25, 所以当n=5时,Tn取得最大值,为25. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知无穷数列1,1,…,1,…,求证: (1)这个数列是等比数列;(3分) 证明:任取数列中的相邻两项an=1,an+1=1,则==1, 且a1=1=1≠0.由等比数列定义可知这个数列为等比数列. (2)这个数列中的任一项是其后第5项的;(3分) 证明:任取数列中的一项am=1,则其后第5项应为am+5=1. 则==1=10-1=,得证. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)数列中任两项之积仍为数列中的项.(4分) 证明:任取数列中两项=1,=1, 则=1·1=1. ∵n1≥1,n2≥1,且n1,n2∈N*,n1≠n2,∴n1+n2-2>0,且n1+n2-2∈N*, ∴符合已知数列中的项的特点,即为数列中的项. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $