第一章 重点题型强化（二）与圆有关的最值-【金版新学案】2024-2025学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

重点题型强化（二） 与圆有关的最值 　 第一章　直线与圆 知识层面 1．能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题． 2．初步了解代数方法处理几何问题的思想. 素养层面 通过处理与圆有关的最值问题，进一步提升直观想象、逻辑推理及数学运算素养. 题型一　与距离有关的最值问题 1 题型二　与面积有关的最值问题 2 题型三　利用几何意义解与圆有关的最值问题 3 内容索引 题型一　与距离有关的最值问题 返回 由圆O方程知：圆心O(0，0)，半径r＝2，所以|OP|＝ ＝13，所以|PQ|min＝|OP|－r＝13－2＝11.故选D. (1)(2024·广东广州高二联考)已知点P(－5，12)，Q是圆O：x2＋y2＝4上的动点，则线段PQ长的最小值为 A．14 B．13 C．12 D．11 例1 √ 圆O：x2＋y2＝1的圆心O(0，0)，r＝1，所以O点到直线l：x＋y－2＝0的 距离为d＝ ＝＞r，知直线l与圆O相离，由点P在圆O上运动，则 其到直线l的最短距离为d－r＝ －1.故选A. (2)(2024·贵州铜仁高二质量监测)已知直线l：x＋y－2＝0和圆O：x2＋y2＝1，若点P在圆O上运动，则其到直线l的最短距离为 √ 规律方法 1．形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题． 2．定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值． 因为圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，即圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，所以圆心为C(1，－2)，半径r＝2.因为圆C关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，所以圆心在直线l上，所以l：3a－4b＋4＝0，所以点M(a，b)在直线l1：3x－4y＋4＝0上，所以|MC|的最小值d＝ ＝3，故切线长的最小值为 .故选B. 对点练1．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，则由点M(a，b)向圆C所作的切线中，切线长的最小值是 A．2 B． C．3 D． √ 返回 题型二　与面积有关的最值问题 返回 根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)， 半径r＝2，O(0，0)，A(0，2)，OA所在的直线是y轴， 当点M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小， 又点M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1，则△OAM 面积的最小值S＝ ×|OA|×d＝1.故选A. (1)已知点O(0，0)，A(0，2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．4 例2 √ (2)直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为 A．1 B． C． D． √ 规律方法 求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求与圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解． 如图所示，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则|OP|2＋|OQ|2 ＝|OM|2＝3，所以|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2) ＝20.又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，则|AC|·|BD|≤10，所 以S四边形ABCD＝ |AC|·|BD|≤ ×10＝5，当且仅当|AC| ＝|BD|＝ 时，等号成立，所以四边形ABCD面积的最大值为5.故选A. 对点练2．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1， )，则四边形ABCD面积的最大值为 A．5 B．10 C．15 D．20 √ 返回 题型三　利用几何意义解与圆有关的最值问题 返回 已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上． (1)求 的最大值和最小值； 例3 解：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. 表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图①所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小． (2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值； 解：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1，0) 的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时， 所求式子取得最大值或最小值，如图②所示，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为|P1E|＝|CE|＋2，点P与点E距离的最小值为|P2E|＝|CE|－2.又|CE|＝ ＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11. 解：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4. 设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图③ 所示，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时， b取得最大值或最小值，此时圆心C(3，3)到切线x＋y＝b的距 离等于圆的半径2，则 (3)求x＋y的最大值与最小值． 规律方法 1．求形如u＝ 形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题． 2．求形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－ 的截距的最值问题． 对点练3．(多选题)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法正确的是 √ √ 返回 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 　 直 线 与 圆 返回 A．－1 B．＋1 C． D．2 ＝ ＝ ＝ 设圆心到直线的距离为d(0＜d＜1)，则所截得的弦长l＝2，所以S△OAB＝·2·d＝，由基本不等式，可得S△OAB＝≤＝，当且仅当d＝时，等号成立．故选B. 设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3，3)到切线的距离等于半径2，可得＝2，解得k＝，所以的最大值为，最小值为. ＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2， 所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2. x＋ A．y－x的最大值为 －2 B．x2＋y2的最大值为7＋4 C．的最大值为 D．x＋y的最大值为2＋ 对于A，设z＝y－x，则y＝x＋z，z表示直线y＝x＋z的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤ ，解得－－2≤z≤－2，所以y－x的最大值为－2，故A正确；对于B，x2＋y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上一点的最大距离为2＋，所以x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4，故B正确；对于C，设＝k，把y＝kx代入圆的方程得(1＋k2)x2－4x＋1＝0，则Δ＝16－4(1＋k2)≥0，解得－≤k≤ ，则的最大值为， 故C错误；对于D，设m＝x＋y，则y＝－x＋m，m表示直线y＝－x＋m的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，≤ ，解得－＋2≤m≤ ＋2，所以x＋y的最大值为＋2，故D错误．故选AB. $$