精品解析：河南省南阳市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024年秋期期中质量评估检测题 九年级数学试题卷 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 4．考试结束，将答题卡和试题卷一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 3. 若是最简二次根式，则x的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段的黄金分割点，，若，则的长约为（ ）． A. B. C. D. 5. 下列与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 在研究相似问题时，三位同学的观点如下： 甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上三人的观点，下列判断正确的是（ ） A. 甲错 B. 乙错 C. 丙错 D. 都对 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 9. 为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 10. 如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，顶点为B(－1，0)，则sinα的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使有意义的x的取值范围是_______． 12. 对于任意两个和为正数的实数m、n，定义运算※如下：例如．那么_________ 13. 如图，中，，过点作的平行线，与的平分线交于点，若，．、分别是、的中点，则的长为________． 14. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，则平行于墙的一边的长为_______m时，所围矩形猪舍的面积为 15. 如图，将等边折叠，使得点C落在边上的点D处，折痕为，点E、F分别在、边上．若，，则周长为_______，的值为________ 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 在如图方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，直接写出点P的坐标 ； （2）以O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）在的内部取一点，则点M在中的对应点的坐标为 ； （4）判断能否看作是由经过某种变换后得到的图形，若是，请直接写出图形变换过程；否则，说明理由． 18. 已知m是一元二次方程的根，求下列各代数式的值： （1） （2） 19. 小文和小鑫利用阳光下的影子来测量教学楼顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该教学楼的影长为12米，的影长为15米，小鑫的影长为1.2米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且，．已知小鑫的身高为1.8米，求旗杆的高． 20. 商场销售某种商品，每件进价200元，售价250元，平均每天售出30件．调查发现：当商品销售价每降低1元时，平均每天可多售出2件． （1）当商品售价降价5元时，每天销售量可达到 件，每天盈利 元； （2）为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2108元？ （3）在（2）的条件下，降价后每件商品的利润率是 21. 如图，已知中，于点D，，连接并延长交边于点F，已知， （1）求的正切值； （2）求的值． 22. 【阅读与思考】为了落实“内容结构化”理念，进行单元整体教学，李老师在讲授完“一元二次方程”后，对初中阶段各类方程（组）的解法进行了系统总结：它们解法虽不尽相同，但基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知：通过“消元”“降次”“去分母”等把“多元方程”“高次方程”“分式方程”转化为“一元一次方程”再求解．利用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程． 例如：形如这种根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下： 移项，得：． 两边同时平方，得：，即， 解这个一元二次方程，得：． …… 【任务】 （1）小虎认为材料中这个一元二次方程的两个根就是原无理方程的解；小豫认为这个一元二次方程的根并不都满足原无理方程，还应考虑的双重非负性．请写出你所认为的材料中无理方程正确的解： （2）解下列方程：①；②． 23. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对角四边形”进行研究．定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形” （1）操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“等对角四边形”的有 （填序号）． （2）探究证明 如图2，在中，，为斜边上的中线，过点D作交于点E，判断四边形是否“等对角四边形”，并说明理由． （3）拓展延伸 如图3，在中，，，，作角平分线，在边上取点E，使四边形是“等对角四边形”，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期期中质量评估检测题 九年级数学试题卷 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号、学校等填写在试题卷和答题卡相应的位置． 3．考生作答时，将答案涂、写在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 4．考试结束，将答题卡和试题卷一并交回． 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的内项之积等于外项之积即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 2. 一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了直接开平方法解方程，利用直接开平方法解方程得出答案． 【详解】解：， 则， 解得：，． 故选：B． 3. 若是最简二次根式，则x的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式的定义．根据二次根式被开方数大于等于零得到，结合最简二次根式的定义再进行判断即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：， ∵是最简二次根式， 当或时，不是最简二次根式， 当时，是最简二次根式， 故选：D． 4. 黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段的黄金分割点，，若，则的长约为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的有关计算，根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可得到答案． 【详解】解：点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故选：B． 5. 下列与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，解题关键是掌握同类二次根式定义：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 【详解】解：A、，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、是最简二次根式，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：A． 6. 在研究相似问题时，三位同学的观点如下： 甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上三人的观点，下列判断正确的是（ ） A. 甲错 B. 乙错 C. 丙错 D. 都对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似多边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的判定是解题的关键．根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：如图所示， 据题意得：，，， ∴，， ∴， ∴新三角形与原三角形相似，甲说法正确． 乙：设原矩形边长为，． 向外扩张一个单位后边长变为，． 则 ∴新矩形与原矩形不相似，乙说法不正确； 丙：将边长为的菱形按图③的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故丙正确， 故选：B． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：无法计算，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误； 故选C． 8. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式可得且，再求解即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， ∴a值可以是． 故选：D 9. 为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图是小孔成像原理的示意图，长的蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（ ） A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形性质，理解相似三角形的性质是解答关键． 设像到小孔的距离为，根据相似三角形的性质来求解． 【详解】解：设像到小孔的距离为， 由题意可知与相似， ， ． 故选：C． 10. 如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，顶点为B(－1，0)，则sinα的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图：过点A作垂线AC⊥x轴于点C. 则AC=4，BC=3，故由勾股定理得AB=5. sinB==.故选D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式得： x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，比较简单． 12. 对于任意两个和为正数的实数m、n，定义运算※如下：例如．那么_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，新定义运算，理解新定义，掌握二次根式的运算是关键．按照新定义计算并化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，中，，过点作的平行线，与的平分线交于点，若，．、分别是、的中点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交于，先求出，由，是的平分线推出，证明得，，则，再证明为的中位线，即可得解． 【详解】解：如图，连接并延长交于， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点为的中点，即点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理定理，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，正确地添加辅助线构造全等三角形． 14. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，则平行于墙的一边的长为_______m时，所围矩形猪舍的面积为 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用．设矩形猪舍垂直于住房墙一边的宽长为，则平行于墙的一边的长为，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边的宽长为，另外一边宽为， 则平行于墙的一边的长为， 由题意得， 整理得：， 解得：，， 当时，（舍去）， 当时，． 答：所围矩形猪舍的长为、宽为时，猪舍面积为． 故答案为：12． 15. 如图，将等边折叠，使得点C落在边上的点D处，折痕为，点E、F分别在、边上．若，，则周长为_______，的值为________ 【答案】 ①. 10 ②. ##0.8 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：，，再证明，由相似三角形周长的比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴，即周长为10， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， 故答案为：10，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）6；（2）， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程： （1）先计算二次根式的乘除法，化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【详解】解：（1） ； （2）， ， ， 或， ，． 17. 在如图方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，直接写出点P的坐标 ； （2）以O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）在的内部取一点，则点M在中的对应点的坐标为 ； （4）判断能否看作是由经过某种变换后得到的图形，若是，请直接写出图形变换过程；否则，说明理由． 【答案】（1） 解：点位置如图，点P的坐标为； （2） 解：根据位似比画出图形，得 ； （3） （4）是，将向左平移5个单位，再向下平移1个单位，即可得到 【解析】 【分析】本题主要考查作图，位似变换，几何变换等，熟练掌握画图技巧是解题的关键． （1）对应点的连线的交点即为位似中心，再写出坐标即可； （2）根据位似变换的知识，找到变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可； （3）结合图形，由位似变化的性质，即可求得点M在中的对应点的坐标； （4）根据点的坐标变化求解即可． 【小问1详解】 解：连接与交于点，点即为所求； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：与的位似比为， 故在的内部取一点，则点M在中的对应点的坐标为； 【小问4详解】 解：将向左平移5个单位，再向下平移1个单位，即可得到． 18. 已知m是一元二次方程的根，求下列各代数式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，代数式求值，完全平方公式的应用，熟练应用整体代入法是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的定义可得，进而得出，再利用多项式乘多项式计算，将作为整体代入即可； （2）由可得，将变形为，进而通分，再将代入求值即可． 【小问1详解】 解： m是一元二次方程的根， ， ， ； 【小问2详解】 解： m是一元二次方程的根， ， ， 19. 小文和小鑫利用阳光下的影子来测量教学楼顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该教学楼的影长为12米，的影长为15米，小鑫的影长为1.2米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且，．已知小鑫的身高为1.8米，求旗杆的高． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．先证明，列比例式可得的长，再证明，可得的长，最后由线段的差可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴（米） 20. 商场销售某种商品，每件进价200元，售价250元，平均每天售出30件．调查发现：当商品销售价每降低1元时，平均每天可多售出2件． （1）当商品售价降价5元时，每天销售量可达到 件，每天盈利 元； （2）为了让顾客得到更多的实惠，每件商品降价多少元时，商场通过销售这种商品每天盈利可达到2108元？ （3）在（2）的条件下，降价后每件商品的利润率是 【答案】（1）40，1800 （2）19元 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程在销售中的问题，根据题意，找出等量关系列出方程是解题的关键． （1）商品售价降价元时，则现在的售价是元，售出件，每件的利润是元，由此即可求解； （2）设每件商品降价元，则现在售价是元，利润是元，售出件数是件，利润达到元，由此即可求解； （3）根据利润率等于利润除以进价乘以百分之百，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意当商品售价降价5元时，现在售出的件数是，利润是元． 【小问2详解】 解：设每件商品降价元，则现在售价是元，利润是元，售出件数是件，利润达到元， ∴， 解方程得，，， ∵为了让顾客得到更多的实惠， ∴，即商品降价元． 【小问3详解】 解：售价是元， 利润是元， ∴利润率是． 21. 如图，已知中，于点D，，连接并延长交边于点F，已知， （1）求的正切值； （2）求的值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握解直角三角形和平行线分线段成比例定理是解题的关键． （1）由余弦定义求出，由勾股定理得出，要做求出，由正切定义即可得出答案； （2）过D作交于点G，求出，由平行线分线段成比例定理得，，得出，设，则，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 过D作交于点G， ∴，， ∴， 设，则， ∴．     22. 【阅读与思考】为了落实“内容结构化”理念，进行单元整体教学，李老师在讲授完“一元二次方程”后，对初中阶段各类方程（组）的解法进行了系统总结：它们解法虽不尽相同，但基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知：通过“消元”“降次”“去分母”等把“多元方程”“高次方程”“分式方程”转化为“一元一次方程”再求解．利用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程． 例如：形如这种根号内含有未知数的方程，我们称之为无理方程． 解法如下： 移项，得：． 两边同时平方，得：，即， 解这个一元二次方程，得：． …… 【任务】 （1）小虎认为材料中这个一元二次方程的两个根就是原无理方程的解；小豫认为这个一元二次方程的根并不都满足原无理方程，还应考虑的双重非负性．请写出你所认为的材料中无理方程正确的解： （2）解下列方程：①；②． 【答案】（1）； （2）①，，；②． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，涉及了因式分解法求解一元二次方程， （1）分别将，代入原无理方程，查看等式是否成立，即可求解； （2）①用因式分解法将原方程分解成三个一元一次方程，解一元一次方程即可；②按照题意步骤，求解方程，最后检验方程，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入原无理方程，可得：左边，左边=右边，方程成立，符合题意； 将代入原无理方程，可得：左边，左边右边，方程不成立，不符合题意； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①， ， ， ∴或或， ∴，，； ②， 移项，得， 两边平方，得， 整理后，得， 解这个一元二次方程，得，， 将代入，可得：左边，左边=右边，方程成立，符合题意； 将代入，可得：左边，右边，左边右边，不符合题意，舍去； 综上，． 23. 综合与实践 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“等对角四边形”进行研究．定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形” （1）操作判断 用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“等对角四边形”的有 （填序号）． （2）探究证明 如图2，在中，，为斜边上的中线，过点D作交于点E，判断四边形是否“等对角四边形”，并说明理由． （3）拓展延伸 如图3，在中，，，，作角平分线，在边上取点E，使四边形是“等对角四边形”，请直接写出的长． 【答案】（1）②④ （2）解：是等对角四边形， 理由：∵，为斜边上的中线， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴，， 则，且， 故四边形为“等对角四边形”， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意结合给定得定义逐项判断即可； （2）根据题意得，则，设，则，，，即可求得，，判定，且，即可证明； （3）当，则，可得，作于点N，则，，设，则，，列方程求解即可；当，则，，取的中点M，连接，则，有为等边三角形，此时，点M与上图点E重合，即可求得． 【小问1详解】 解：图①中，两组对角分别为和，不符合“有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形”，则不是“等对角四边形”； 图②中，有一组对角为，另一组对角为和不相等，符合“有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形”，则是“等对角四边形”； 图③中，有一组对角为和，另一组对角为和，不符合“有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形”，则不是“等对角四边形”； 图④中，有一组对角为，另一组对角为和不相等，符合“有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形”，则是“等对角四边形”； 故答案为：②④； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点N，如图， 则， ∵平分， ∴， 设，则，， ∵， ∴，解得， 则； ②当，则，， 取的中点M，连接，如图， ∵， ∴， ∴为等边三角形， 此时，点M与上图点E重合，即， ∴， 故或 【点睛】本题借助新定义考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和性质以及二次根式的混合运算，解题的关键是熟悉分类讨论思想、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $