第6章 第2课时 向量的加法运算-【玩转假期必刷题】2024年高一数学寒假作业

第二课时 向量的加法运算 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 课标要求 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.理解并掌握向量加法的概念,了解向量 加法的几何意义及运算律. 2.掌握向量加法运算法则,能熟练地进行 向量加法运算. 3.能区分数的加法与向量的加法的联系与 区别. 知识点一 向量的加法 1.向量加法的定义 定义:求两个向量和的运算,叫做向量的 加法. 对于零向量与任意向量a,规定0+a=a +0=a. 2.向量求和的法则 三 角 形 法 则 已知非零向量a,b,在平面内任取 一点A,作AB → =a,BC → =b,则向量 AC → 叫做a与b的和,记作a+b,即a +b=AB → +BC → =AC → . 平 行 四 边 形 法 则 已知两个不共线向量a,b,作AB → = a,AD → =b,以AB →,AD → 为 邻 边 作 ▱ABCD,则对角线上的向量AC → = a+b. 【例1】 在四边形 ABCD 中,AC → =AB → + AD →,则一定有 ( ) A.四边形ABCD 是矩形 B.四边形ABCD 是菱形 C.四边形ABCD 是正方形 D.四边形ABCD 是平行四边形 【解析】 由AC → =AB → +AD → 得AD → =BC →, 即 AD=BC,且 AD∥BC,所 以 四 边 形 ABCD 的一组对边平行且相等,故四边 形ABCD 为平行四边形. 【答案】 D 【例2】 若向量a表示“向东航行1km”,向 量b表示“向北航行 3km”,则向量a+b 表示 ( ) A.向东北方向航行2km B.向北偏东30°方向航行2km C.向北偏东60°方向航行2km D.向东北方向航行(1+ 3)km 【解析】 AB → =a表示“向东航 行1km”,BC → =b表示“向北航 行3km”,根据三角形法则, ∴AC → =a+b,∵tanA= 3,∴A=60°,且 AC → = (3)2+12=2(km), ∴a+b 表 示 向 北 偏 东 30°方 向 航 行 2km. 【答案】 B 知识点二 向量的三角形不等式 |a+b|与|a|,|b|之间的关系 1.对于任意向量a,b,均有||a|-|b||≤ |a+b|≤|a|+|b|; 2.当a,b同向时,有|a+b|=|a|+|b|; 3.当a,b反向时,有|a+b|= |a|-|b| . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —15— 【例3】 若|AB → |=8,|AC → |=5,则|BC → |的 取值范围是 ( ) A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13) 【解析】 如图,当A,B,C 不共线时, |BC → |,|AB → |,|AC → |为三 角形三边,由三边关系可 得8-5<|BC → |<8+5,∴3<|BC → |<13. 当A,B,C共线且AB → 与AC → 同向时,|BC → |= 8-5=3,AB →,AC → 反向时,|BC → |=8+5=13. ∴3≤|BC → |≤13. 【答案】 C 【例4】 a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+ |b|,则 ( ) A.a∥b,且a与b方向相同 B.a,b是共线向量且方向相反 C.a=-b D.a,b无论什么关系均可 【解析】 当两个非零向量a与b不共线 时,a+b的方向与a,b的方向都不相同, 且|a+b|<|a|+|b|;向量a与b同向时, a+b的方向与a,b的方向都相同,且|a+ b|=|a|+|b|;向量a与b反向且|a|< |b|时,a+b的方向与b的方向相同(与a 的方向相反),且|a+b|=|b|-|a|. 【答案】 A 【例5】 若在△ABC中,AB=AC=1,|AB → +AC → |= 2,则△ABC的形状是 ( ) A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 【解析】 以 AB,AC 为邻边作平行四边 形ABDC,∵AB=AC=1,AD= 2, ∴∠ABD 为直角,该四边形为正方形, ∴∠BAC=90°,△ABC 为 等 腰 直 角 三 角形. 【答案】 D 知识点三 向量加法的运算律 (1)交换律:a+b=b+a. (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 【例6】 下列等式不正确的是 ( ) ①a+(b+c)=(a+c)+b; ②AB → +BA → =0; ③AC → =DC → +AB → +BD → . A.②③ B.② C.① D.③ 【解析】 ② 错 误,AB → +BA → =0,① ③ 正确. 【答案】 B 【例7】 化简(AB → +MB →)+(BO → +BC →)+ OM → 等于 ( ) A.BC → B.AB → C.AC → D.AM → 【解析】 (AB → +MB →)+(BO → +BC →)+OM → =(AB → +BO →)+(OM → +MB →)+BC → =AO → +OB → +BC → =AB → +BC → =AC → . 【答案】 C 【例8】 如图,在△ABC 中,D,E 分 别 是 AB, AC 上的点,F 为线段 DE 延长线上一点,DE ∥BC,AB∥CF,连接CD,那么:(在横线 上只填一个向量) ①AB → +DF → = ;②AD → +FC → = ; ③AD → +BC → +FC → = . 【解析】 如题图,由已知得四边形 DF- CB 为平行四边形,由向量加法的运算法 则可知: ①AB → +DF → =AB → +BC → =AC →; ②AD → +FC → =AD → +DB → =AB →; ③AD → +BC → +FC → =AD → +DF → +FC → =AC → . 【答案】 ①AC → ②AB → ③AC → 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —25— 1.在▱ABCD 中,O 是对角线的交点.下列 结论正确的是 ( ) A.AB → =CD →,BC → =AD → B.AD → +OD → =DA → C.AO → +OD → =AC → +CD → D.AB → +BC → +CD → =DA → 2.已知向量,a,b均为非零向量,则下列说 法不正确的个数是 ( ) ①向量a与b 反向,且|a|>|b|,则向量 a+b与a的方向相同; ②向量a与b 反向,且|a|<|b|,则向量 a+b与a的方向相同; ③向量a与b 同向,则向量a+b与a 的 方向相同. A.0 B.1 C.2 D.3 3.(多选)已知四边形ABCD 为菱形,则下 列等式中成立的是 ( ) A.AB → +AD → =AC → B.AB → +AC → =BC → C.AC → +BA → =AD → D.AC → +AD → =DC → 4.对于任意一个四边形 ABCD,下列式子 不能化简为BC → 的是 ( ) A.BA → +AD → +DC → B.BD → +DA → +AC → C.AB → +BD → +DC → D.DC → +BA → +AD → 5.如图,四边形 ABCD 是梯形,AD∥BC, 对角线AC 与BD 相交于点O,则OA → + BC → +AB → +DO → 等于 ( ) A.CD → B.DC → C.DA → D.DO → 6.如图,在平行四边形ABCD 中,DA → +DC → = . 7.已知点G 是△ABC 的重心,则GA → +GB → +GC → = . 8.(多空题)根据图示填空,其中a=DC →, b=CO →,c=OB →,d=BA → . (1)a+b+c= . (2)b+d+c= . 9.如图,已知电线AO与天 花板的夹角为60°,电线 AO 所 受 拉 力|F1|= 24N.绳BO 与墙壁垂 直,所 受 拉 力|F2|= 12N,则F1 与F2 的合力大小为 N,方向为 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —35— ⑤不正确.考虑b=0这种特殊情况. 综上所述,正确命题的序号是②③. 答案:②③ 第二课时 向量的加法运算 1.C 因为AO → +OD → =AD →,AC → +CD → =AD →, 所以AO → +OD → =AC → +CD → . 2.B 对于②,向量a+b与b 的方向相同,故②说 法不正确.分析知①③说法正确. 3.AC 因为四边形ABCD 是菱形,所以AB → +AD → =AC →,AC → +BA → =BC → =AD →,故A,C项正确. 4.C 在 A中,BA → +AD → +DC → =BD → +DC → =BC →; 在B中,BD → +DA → +AC → =BA → +AC → =BC →;在C 中,AB → +BD → +DC → =AD → +DC → =AC →;在D中, DC → +BA → +AD → =DC → +BD → =BD → +DC → =BC → . 5.B OA → +BC → +AB → +DO → =DO → +OA → +AB → +BC → =DA → +AB → +BC → =DB → +BC → =DC → . 6.解析:由平行四边形法则可知DA → +DC → =DB → . 答案:DB → 7.解析:如图所示, 连接AG 并延长交BC 于点E,点E 为BC 的中 点,延长AE 到点D,使GE=ED,则GB → +GC → = GD →,GD → +GA → =0, ∴GA → +GB → +GC → =0. 答案:0 8.解析:(1)a+b+c=DC → +CO → +OB → =DB → . (2)b+d+c=CO → +BA → +OB → =CA → . 答案:(1)DB →(2)CA → 9.解析:以OA,OB 为邻边作平行四边形BOAC, 则F1+F2=F, 即OA → +OB → =OC →, 则∠OAC=60°, |OA → |=24,|AC → |=|OB → |=12, ∴∠ACO=90°,∴|OC → |=12 3. ∴F1 与F2 的合力大小为12 3N,方向为竖直 向上. 答案:12 3 竖直向上 第三课时 向量的减法运算 1.A a+b=AB → +AD → =AC → =c. 2.D 如图,作菱形 ABCD,则|AB → -BC → |=|AB → -AD → |=|DB → |= 3. 3.C ①式的等价式是AB → -BC → =DA → -CD →,左边 =AB → +CB →,右边=DA → +DC →,不一定相等;②式 的等价式 是AC → -BC → =AD → -BD →,AC → +CB → = AD → +DB → =AB → 成立;③式的等价式是AC → -DC → =AB → +BD →,AD → =AD → 成立. 4.C BD → =BC → +CD → =AC → -AB → +CD → =b-a+c. 5.ACD AB → +BC → +CA → =AC → +CA → =0.OA → +OC → +BO → +CO → =BO → +OA → =BA → ≠0.AB → -AC → +BD → -CD → =AB → +BD → -(AC → +CD →)=AD → -AD → =0. NQ → +QP → +MN → -MP → =NP → +MN → +PM → =NP → +PN → =0. 6.ABD 当a,b方向相同时,有|a|+|b|=|a+b|, ||a|-|b||=|a-b|;当a,b方向相反时,有|a |+|b|=|a-b|,||a|-|b||=|a+b|,故A, B,D均正确. 7.解析:BA → -CA → +DB → -DC → =(BA → +AC →)+(DB → -DC →)=BC → +CB → =0. 答案:0 8.解析:由题意,在平行四边形ABCD 中,因为OA → =a,OB → =b,所以BA → =OA → -OB → =a-b, 所以CD → =BA → =a-b, 所以OD → =OC → +CD → =a-b+c. 答案:a-b+c 9.解析:AB → -AC → =CB →,而|BC → |=1=|CB → |;用向 量加法法则结合有一角为60°的菱形性质,即可 求出|AB → +AC → |的值为 3. 答案:1 3 10.解析:|AB → -AD → |=|DB → |= 2,|AB → +AD → |= |AC → |= 2. 答案:2 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —67—