第6章 第1课时 平面向量的概念-【玩转假期必刷题】2024年高一数学寒假作业

第六章 平面向量及其应用 第一课时 平面向量的概念 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 课标要求 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.了解向量的实际背景,通过位移、力等物 理背景引入向量的概念. 2.理解向量的概念,掌握向量的表示法,了 解生活中的向量. 3.掌握并能判断相等向量和平行向量. 知识点一 向量的概念及表示 1.向量的概念 (1)向量:既有大小,又有方向的量叫做 向量,如力、位移、速度等. (2)数 量:只 有 大 小, 没有方向的量称为数 量,如 年 龄、身 高、长 度、面积、体积、质量等. 2.向量的表示 (1)有向线段:具有方向的线段叫做有向线 段.通常在有向线段的终点处画上箭头表示 它的方向,以A为起点、B为终点的有向线 段记作AB →(如上图所示),线段AB的长度也 叫做有向线段AB → 的长度,记作|AB → |. (2)有向线段的三个要素:起点、方向、长 度.知道了有向线段的起点、方向、长度, 它的终点就唯一确定. (3)向量的几何表示:用有向线段表示, 此时有向线段的方向就是向量的方向, 有向线段的长度就是向量的大小. (4)向量的字母表示:通常在印刷时,用 黑体小写字母a,b,c,…表示向量,书写 时,可写成带箭头的小写字母􀭸a,􀭸b,􀭳c,…. 【例1】 下列说法不正确的是 ( ) A.向量的模是一个非负实数 B.任何一个非零向量都可以平行移动 C.长度不相等而方向相反的两个向量一 定是共线向量 D.两个有共同起点且共线的向量终点也 必相同 【解析】 根据向量的有关概念易判断,D 项错误. 【答案】 D 【例2】 下列说法中正确的是 ( ) A.数量可以比较大小,向量也可以比较 大小 B.方向不同的向量不能比较大小,但同 向的向量可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 【解析】 不管向量的方向如何,它们都 不能比较大小,故A,B不正确;向量的大 小即为向量的模,指的是有向线段的长 度,与方向无关,故C不正确;向量的模 是一个数量,可以比较大小,故D正确. 【答案】 D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —84— 知识点二 向量的有关概念 1.向量的模(长度):向量AB → 的大小,称为向 量AB → 的长度(或称模),记作|AB → |. 2.零向量:长度为0的向量,记作0. 3.单 位 向 量:长 度 等 于1个 单 位 长 度 的 向量. 【例3】 (多选)下列说法错误的是 ( ) A.向量AB → 与CD → 共线是A,B,C,D 四点 共线的必要不充分条件 B.若向量AB →,CD → 满足|AB → |>|CD → |,且 AB → 与CD → 同向,则AB → >CD → C.若a≠b,则a与b可能是共线向量 D.若非零向量AB → 与CD → 平行,则AB → =CD → 【解析】 对于A选项,A,B,C,D 四点共 线⇒向量AB → 与CD → 共线,反之不成立,所 以A说法正确;对于B选项,向量不能比 较大小,向量的模可以比较大小,故B说 法错误;对于C选项,不相等的向量可能 共线,故C说法正确;对于D选项,平行 向量不一定是相等向量,故D说法错误. 综上所述,故选BD. 【答案】 BD 【例4】 已知D 为平行四边形ABPC 两条 对角 线 的 交 点,则|PD → | |AD → | 的 值 为 . 【解析】 因为四边形ABPC 是平行四边 形,D 为对角线BC 与AP 的交点,所以 D 为PA 的中点,所以|PD → | |AD → | 的值为1. 【答案】 1 知识点三 两个向量间的关系 1.平行向量:方向相同或相反的非零向量, 也叫做共线向量.若a,b是平行向量,记 作a∥b. 规定:零向量与任意向量平行,即对任意 向量a,都有0∥a. 2.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 若a,b是相等向量,则记作a=b. 【例5】 设在平面上给定了一个四边形 ABCD,点 K,L,M,N 分别是AB,BC, CD,DA 的中点,在以已知各点为起点和 终点的向量中,与向量KL → 相等的向量是 . 【解析】 如图,因为点 K,L 分别是AB, BC的中点,所以KL∥AC,KL=12AC. 因为点 M,N 分别是CD,DA 的中点, 所以 MN∥AC,MN=12AC. 所 以 KL∥MN,KL=MN.所 以KL → =NM → . 【答案】 NM → 【例6】 四边形ABCD,CEFG,CGHD 都 是全等的菱形,HE 与CG 相交于点M, 则下列关系不一定成立的是 ( ) A.|AB → |=|EF → | B.AB → 与FH → 共线 C.BD → 与EH → 共线 D.DC → 与EC → 共线 【解析】 ∵三个四边形都是菱形,∴|AB → | =|EF → |,AB∥CD∥FH,故AB → 与FH → 共 线.又三点 D,C,E 共线,∴DC → 与EC → 共 线,故A,B,D都正确.故选C. 【答案】 C 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —94— 1.(多选)在△ABC中,AB=AC,D,E 分别 是AB,AC的中点,则 ( ) A.AB → 与AC → 共线 B.DE → 与CB → 共线 C.AD → 与AE → 共线 D.AD → 与BD → 共线 2.下列说法正确的是 ( ) A.零向量没有方向 B.向量就是有向线段 C.只有零向量的模等于0 D.单位向量都相等 3.下面几个命题: ①若a=b,则|a|=|b|; ②若|a|=0,则a=0; ③若|a|=|b|,则a=b; ④若向量a,b满足 |a|=|b|; a∥b, 则a=b. 其中正确命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4.在同一平面内,把所有长度为1的向量 的始点固定在同一点,这些向量的终点 形成的轨迹是 ( ) A.单位圆 B.一段弧 C.线段 D.直线 5.如图所示,C,D 是线段AB 的三等分点, 分别以图中各点作为起点和终点的非零 且不相等的向量有 ( ) A.3个 B.6个 C.8个 D.12个 6.若|AB → |=|AD → |且BA → =CD →,则四边形 ABCD 的形状为 ( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 7.给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|; ③a与b方向相反;④|a|=0或|b|=0. 其中能使a∥b成立的条件是 . (填序号) 8.将向量用具有同一起点 M 的有向线段表 示,当ME → 与EF → 是平行向量,且|ME → |= 2|EF → |=2时,|MF → |= . 9.如图,四边形ABCD 和BCED 都是平行 四边形,则与BC → 相等的向量有 . 10.给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a=b; ②若A,B,C,D 是不共线的四点,则AB → =DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的 充要条件; ③若a=b,b=c,则a=c; ④a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b; ⑤若a∥b,b∥c,则a∥c. 其中正确命题的序号是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —05— 因为x∈ -π4 ,3π 4 , 所以x-π12∈ - π 3 ,2π 3 , 当x-π12=- π 3 ,即x=-π4 时,g(x)取得最小 值-32. 刷真题·满分 1.解析:对比正弦函数y=sinx 的图象易知,点 2π3,0 为“五点(画图)法”中的第五点,所以2π3 ω+φ=2π ①. 由题知|AB|=xB-xA = π 6 , ωxA+φ= π 6 ωxB+φ= 5π 6 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,两 式相减,得ω(xB-xA)= 4π 6 ,即π 6ω= 4π 6 ,解得ω =4. 代入①,得φ=- 2π 3 , 所以f(π)=sin4π-2π3 =-sin2π3=- 32. 答案:- 32 2.C 图象法:把函数y=cos 2x+π6 的图象向 左平移π 6 个单位长度后得到函数f(x)=cos 2 x+π6 +π6 =cos 2x+π2 =-sin2x 的图 象.作出函数f(x)的部分图象和直线y=12x- 1 2 如图 所 示.观 察 图 象 知,共 有3个 交 点.故 选C. 第2部分 旗开得胜 预习下学期新课 第六章 平面向量及其应用 第一课时 平面向量的概念 1.BD 如图,因为D,E 分别是AB,AC 的中点, 所以由三角形的中位线定理得 DE∥BC,所以 DE → 与CB → 共线.AD → 与BD → 方向相反,它们也共线. 2.C 零向量的方向是任意的,故A选项错误;有 向线段只是向量的一种表示形式,两者不等同, 故B选项错误;只有零向量的模等于0,故C选 项正确;单位向量的模相等,对于任意两个单位 向量若方向不同,则不是相等向量,故D选项错 误.故选C. 3.B ①正确;②错误.|a|=0,则a=0;③错误.a 与b 的方向不一定相同;④错误.a与b 的方向 有可能相反. 4.A 平面 内 到 定 点 距 离 等 于 定 长 的 点 的 轨 迹 是圆. 5.B 1个单位长度的向量有AC →,CA →,CD →,DC →, DB →,BD → .2个单位长度的向量有AD →,DA →,CB →, BC → .3个单位长度的向量有AB →,BA → .因此,共6 +4+2=12个,但其中AC → =CD → =DB →,BD → = DC → =CA →,AD → =CB →,BC → =DA →,因此互不相等的 向量只有6个. 6.C 由BA → =CD → 知AB=CD 且AB∥CD,则四边 形ABCD为平行四边形.又因为|AB → |=|AD → |,所 以四边形ABCD 为菱形. 7.解析:因为a与b 为相等向量,所以a∥b,即① 能够使a∥b成立;由于|a|=|b|并没有确定a 与b 的方向,即②不能够使a∥b 成立;因为a 与b 方向相反时,a∥b,即③能够使a∥b成立; 因为零向量与任意向量共线,所以|a|=0或|b| =0时,a∥b能够成立.故使a∥b成立的条件 是①③④. 答案:①③④ 8.解析:当ME → 与EF → 同向时,|MF → |=|ME → |+|EF → | =3; 当ME → 与EF → 反向时,|MF → |=|ME → |-|EF → |=1. 答案:3或1 9.解析:由平行四边形的性质和相等向量的定义 得BC → =AD →,BC → =DE → . 答案:AD →,DE → 10.解析:①不正确,两个向量的长度相等,但它们 的方向不一定相同. ②正确,∵AB → =DC →,∴AB → =DC → 且AB → ∥DC →, 又A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形ABCD 为平行四边形; 反之,若四边形ABCD 为平行四边形, 则AB → ∥DC → 且|AB → |=|DC → |,因此,AB → =DC → . ③正 确.∵a=b,∴a,b 的 长 度 相 等 且 方 向 相同, 又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同, ∴a,c的长度相等且方向相同,a=c ④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|= |b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不 是a=b的充要条件,而是必要不充分条件. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —57— ⑤不正确.考虑b=0这种特殊情况. 综上所述,正确命题的序号是②③. 答案:②③ 第二课时 向量的加法运算 1.C 因为AO → +OD → =AD →,AC → +CD → =AD →, 所以AO → +OD → =AC → +CD → . 2.B 对于②,向量a+b与b 的方向相同,故②说 法不正确.分析知①③说法正确. 3.AC 因为四边形ABCD 是菱形,所以AB → +AD → =AC →,AC → +BA → =BC → =AD →,故A,C项正确. 4.C 在 A中,BA → +AD → +DC → =BD → +DC → =BC →; 在B中,BD → +DA → +AC → =BA → +AC → =BC →;在C 中,AB → +BD → +DC → =AD → +DC → =AC →;在D中, DC → +BA → +AD → =DC → +BD → =BD → +DC → =BC → . 5.B OA → +BC → +AB → +DO → =DO → +OA → +AB → +BC → =DA → +AB → +BC → =DB → +BC → =DC → . 6.解析:由平行四边形法则可知DA → +DC → =DB → . 答案:DB → 7.解析:如图所示, 连接AG 并延长交BC 于点E,点E 为BC 的中 点,延长AE 到点D,使GE=ED,则GB → +GC → = GD →,GD → +GA → =0, ∴GA → +GB → +GC → =0. 答案:0 8.解析:(1)a+b+c=DC → +CO → +OB → =DB → . (2)b+d+c=CO → +BA → +OB → =CA → . 答案:(1)DB →(2)CA → 9.解析:以OA,OB 为邻边作平行四边形BOAC, 则F1+F2=F, 即OA → +OB → =OC →, 则∠OAC=60°, |OA → |=24,|AC → |=|OB → |=12, ∴∠ACO=90°,∴|OC → |=12 3. ∴F1 与F2 的合力大小为12 3N,方向为竖直 向上. 答案:12 3 竖直向上 第三课时 向量的减法运算 1.A a+b=AB → +AD → =AC → =c. 2.D 如图,作菱形 ABCD,则|AB → -BC → |=|AB → -AD → |=|DB → |= 3. 3.C ①式的等价式是AB → -BC → =DA → -CD →,左边 =AB → +CB →,右边=DA → +DC →,不一定相等;②式 的等价式 是AC → -BC → =AD → -BD →,AC → +CB → = AD → +DB → =AB → 成立;③式的等价式是AC → -DC → =AB → +BD →,AD → =AD → 成立. 4.C BD → =BC → +CD → =AC → -AB → +CD → =b-a+c. 5.ACD AB → +BC → +CA → =AC → +CA → =0.OA → +OC → +BO → +CO → =BO → +OA → =BA → ≠0.AB → -AC → +BD → -CD → =AB → +BD → -(AC → +CD →)=AD → -AD → =0. NQ → +QP → +MN → -MP → =NP → +MN → +PM → =NP → +PN → =0. 6.ABD 当a,b方向相同时,有|a|+|b|=|a+b|, ||a|-|b||=|a-b|;当a,b方向相反时,有|a |+|b|=|a-b|,||a|-|b||=|a+b|,故A, B,D均正确. 7.解析:BA → -CA → +DB → -DC → =(BA → +AC →)+(DB → -DC →)=BC → +CB → =0. 答案:0 8.解析:由题意,在平行四边形ABCD 中,因为OA → =a,OB → =b,所以BA → =OA → -OB → =a-b, 所以CD → =BA → =a-b, 所以OD → =OC → +CD → =a-b+c. 答案:a-b+c 9.解析:AB → -AC → =CB →,而|BC → |=1=|CB → |;用向 量加法法则结合有一角为60°的菱形性质,即可 求出|AB → +AC → |的值为 3. 答案:1 3 10.解析:|AB → -AD → |=|DB → |= 2,|AB → +AD → |= |AC → |= 2. 答案:2 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —67—