必刷题十一 三角函数的图像与性质-【玩转假期必刷题】2024年高一数学寒假作业

必刷题十一 三角函数的图像与性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷考点·保分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 正弦函数、余弦函数的图象 1.函数y=2-sinx,x∈[0,2π]的简图是 ( ) 2.(多选)下列各组函数中,图象不同的是 ( ) A.y=cosx与y=cos(π+x) B.y=sinx-π2 与y=sin π2-x C.y=sinx与y=sin(-x) D.y=sin(2π+x)与y=sinx 正弦函数、余弦函数的周期性 3.函数f(x)=sinωx+π6 的最小正周期为π5,其中ω> 0,则ω等于 ( ) A.5 B.10 C.15 D.20 4.若函数f(x)=2cosωx+π3 的最小正周期为 T,且 T∈(1,4),则正整数ω的最大值为 . 正弦函数、余弦函数的奇偶性 5.(多选)关于x的函数f(x)=sin(x+φ)说法正确的是 ( ) A.对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数 B.存在φ,使f(x)是偶函数 C.存在φ,使f(x)是奇函数 D.对任意的φ,f(x)都不是偶函数 6.下列函数中,是奇函数且最小正周期为π的函数是 ( ) A.y=sinx4 B.y=sin2x+ π 2 C.y=cos2x+π2 D.y=cosx4 类型一 求三角函数的最值 【例1】 求下列函数的最大值 和最小值: (1)y=3+2cos2x+π3 ; (2)y=3-sin2x-4cosx. 【关键技巧】 三角函数最值 问题的常见类型及求解方法 (1)y=asin2x+bsinx+c(a ≠0),利用换元思想设t=sin x,转化为二次函数y=at2+ bt+c求最值,t的范围需要根 据定义域来确定. (2)y=Asin(ωx+φ)+b,可 先由定义域求得ωx+φ的范 围,然后求得sin(ωx+φ)的范 围,最后得最值. (3)y=loga(Asin(ωx+φ)), 设t=Asin(ωx+φ),由定义 域求t的范围,然后求值域. 【解】 (1)因 为 -1≤cos 2x+π3 ≤1, 所以 当cos2x+π3 =1时, ymax=5; 当cos2x+π3 =-1时,ymin =1. (2)因 为 y=3-sin2x- 4cosx =3-(1-cos2x)-4cosx= cos2x-4cosx+2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —53— 正弦函数、余弦函数的单调性 7.已知函数f(x)=2sinωx-π6 (ω>0)的最小正周期为 π,则f(x)的单调递增区间为 ( ) A.kπ+π3 ,kπ+5π6 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 (k∈Z) B.2kπ-π6 ,2kπ+π3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 (k∈Z) C.kπ-π3 ,kπ+π6 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 (k∈Z) D.kπ-π6 ,kπ+π3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 (k∈Z) 8.下列关系式正确的是 ( ) A.sin11°<cos10°<sin168° B.sin168°<sin11°<cos10° C.sin11°<sin168°<cos10° D.sin168°<cos10°<sin11° 正弦函数、余弦函数的最值 9.函数y=sin2x+sinx-1的值域为 ( ) A.[-1,1] B.-54 ,-1􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 C.-54 ,1􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 D.-1,54 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 10.函数f(x)=3sin2x-π6 在区间 0,π2􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上的值域 为 . 正切函数的性质与图象 11.若函数f(x)=tanωx-π4 与函数g(x)= sin π4-2x 的最小正周期相同,则ω= ( ) A.±1 B.1 C.±2 D.2 12.函数y=tanx+π5 的一个对称中心是 ( ) A.(0,0) B.π5 ,0 C.4π5 ,0 D.(π,0) =(cosx-2)2-2, 又-1≤cosx≤1, 所以ymin=(1-2)2-2= -1,ymax=(-1-2)2-2=7. 类型二 求正弦函数、余弦函 数的单调区间 【例 2】 (1)求 函 数 y=sin 1 2x+ π 3 ,x ∈ R 的 单 调 区间. (2)求函数y=2sin π4-x 的 单调递增区间. 【关键技巧】 求函数 y= Asin(ωx+φ)(A>0,ω≠0)的 单调区间的一般步骤 (1)当ω>0时,把“ωx+φ”看 成一个整体,由2kπ-π2≤ωx +φ≤2kπ+ π 2 ,k∈Z解出x 的范围,即为函数的单调递增 区间;由2kπ+π2≤ωx+φ≤ 2kπ+3π2 ,k∈Z 解出x 的范 围,即 为 函 数 的 单 调 递 减 区间. (2)当ω<0时,可先用诱导公式 转化为y=-Asin(-ωx-φ), 则y=Asin(-ωx-φ)的单调 递增区间即为原函数的单调 递减区间,单调递减区间即为 原函数的单调递增区间.余弦 函数y=Acos(ωx+φ)(A> 0,ω≠0)的单调性讨论同上. 另外值得注意的是,k∈Z这 一条件不能省略. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —63— 13.(多选)下列关于函数f(x)=tan2x+π4 的相关性质 的命题,正确的有 ( ) A.f(x)的定义域是 xx≠π8+ kπ 2 ,k∈Z B.f(x)的最小正周期是π C.f(x)的单调递增区间是 kπ2- 3π 8 ,kπ 2+ π 8 (k∈Z) D.f(x)的对称中心是 kπ2- π 8 ,0 (k∈Z) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷综合·高分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.设函数f(x)=asin2x+π3 +b. (1)若a>0,求f(x)的单调递增区间; (2)当x∈ 0,π4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 时,f(x)的值域为[1,3],求a,b的值. 【解】 (1)设z=12x+ π 3 ,则y =sinz. 当z∈ 2kπ-π2 ,2kπ+π2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 , k∈Z时,y=sinz为增. ∴2kπ-π2≤ 1 2x+ π 3≤2kπ +π2 得4kπ-53π≤x≤4kπ+ π 3 ,k∈Z. 当z∈ 2kπ+π2 ,2kπ+32π 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 时,y=sinz为减. ∴2kπ+π2≤ 1 2x+ π 3≤2kπ +32π 得4kπ+π3≤x≤4kπ +73π ,k∈Z. 故y=sin 12x+ π 3 的 增 区 间为 4kπ-53π ,4kπ+π3 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 , k∈Z, 减区间为 4kπ+π3 ,4kπ+73π 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ,k∈Z. (2)y=2sin π4-x = -2sinx-π4 . 令z=x-π4 ,则y=-2sin z,求y=-2sinz的增区间, 即求sinz的减区间. ∴π2+2kπ≤z≤ 3π 2+2kπ , k∈Z. 即π 2+2kπ≤x- π 4≤ 3π 2+ 2kπ,k∈Z. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —73— 2.设函数f(x)=tan(ωx+φ)ω>0,0<φ< π 2 ,已知函数 y=f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为π2 ,且图 象关于点 M -π8 ,0 对称. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)的单调区间; (3)求不等式-1≤f(x)≤ 3的解集. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷真题·满分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和 g(x)=sin(2x-π4 ),下列说法中正确的有 ( ) A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值 C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴 2.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sinx与 y=2sin 3x-π6 的交点个数为 ( ) A.3 B.4 C.6 D.8 ∴3π4+2kπ≤x≤ 7π 4+2kπ , k∈Z. ∴函数y=2sin π4-x 的单 调递增区间是 3π 4+2kπ ,7π 4+2kπ 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 , k∈Z. 【学习笔记】 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —83— 当α是第二象限角时,sinα>0,tanα<0, ∴sinα= 1-cos2α= 1- -817 2 =1517 , tanα=sinαcosα= 15 17 -817 =-158. 当α是第三象限角时,sinα<0,tanα>0, ∴sinα= - 1-cos2α= - 1- -817 2 = -1517 , tanα=sinαcosα= 15 8. (2)解 方法一 ∵tanα=-2<0, ∴α为第二或第四象限角,且sinα=-2cosα.① 又sin2α+cos2α=1,② 由①②消去sinα,得(-2cosα)2+cos2α=1, 即cos2α=15. 当α为第二象限角时,cosα=- 55 ,代入①得 sinα=2 55 ; 当α为第四象限角时,cosα= 55 ,代入①得sinα =-2 55 . 方法二 ∵tanα=-2<0, ∴α为第二或第四象限角. 由tanα=sinαcosα , 两边分别平方,得tan2α=sin 2α cos2α . 又sin2α+cos2α=1, ∴tan2α+1=sin 2α cos2α +1=sin 2α+cos2α cos2α = 1 cos2α , 即cos2α= 1 1+tan2α . 当α为第二象限角时,cosα<0, ∴cosα= - 1 1+tan2α = - 1 1+(-2)2 = - 55 , ∴sinα=tanα·cosα=(-2)× - 55 =2 55 . 当α为第四象限角时,cosα>0, ∴cosα= 1 1+tan2α = 1 1+(-2)2 = 55 , ∴sinα=tanα·cosα=(-2)× 55=- 2 5 5 . 2.解:存在.理由如下:所需成立的两个等式可化 为sinα= 2sinβ,3cosα= 2cosβ, 两个等式两边分别平方相加, 得sin2α+3cos2α=2, 得2cos2α=1,所以cos2α=12. 又因为α∈ -π2 ,π 2 , 所以α=π4 或-π4. 当α=π4 时,由 3cosα= 2cosβ,得cosβ= 3 2. 又β∈(0,π),所以β= π 6. 当α=-π4 时,由sinα= 2sinβ,得sinβ= -12. 而β∈(0,π),所以无解. 刷真题·满分 1.B 甲等价于sin2α=1-sin2β=cos 2 β,等价于 sinα=±cosβ,所以由甲不能推导出sinα+cosβ= 0,所以甲不是乙的充分条件;由sinα+cosβ= 0,得sinα=-cosβ,平方可得sin 2α=cos2β=1 -sin2β,即sin 2α+sin2β=1,所以由乙可以推导 出甲,则甲是乙的必要条件.综上,选B. 2.解析:由 tanθ=sinθcosθ= 1 2 sin2θ+cos2θ=1 ,且θ∈(0,π2),解得 sinθ= 55 cosθ=2 55 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,故sinθ-cosθ=- 55. 答案:- 55 必刷题十一 三角函数的图像与性质 刷考点·保分 1.A y=2-sinx,x∈[0,2π]的图象可由y= -sinx向上平移2个单位得到.故选A. 2.ABC 本题所有函数的定义域都是R.cos(π+x) =-cosx,则 A 不 同;sin x-π2 = -sin π 2-x =-cosx,sin π2-x =cosx,则B不 同;sin(-x)=-sinx,则C不同;sin(2π+x)= sinx,则D相同. 3.B 由已知得2π|ω|= π 5 ,又ω>0, 所以2π ω= π 5 ,ω=10. 4.解析:T=2πω ,1<2πω<4 ,则π 2<ω<2π , ∴ω的最大值是6. 答案:6 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —96— 5.BC 当φ=0时,f(x)=sinx是奇函数.当φ= π 2 时,f(x)=cosx 是偶函数.故B、C正确,A、 D错误. 6.C 因为y=cos 2x+π2 =-sin2x, 所以y=cos 2x+π2 是奇函数,且T=2π2=π. 7.D 根据已知得2πω =π ,得ω=2.由不等式2kπ -π2≤2x- π 6≤2kπ+ π 2 (k∈Z),解得kπ-π6 ≤x≤kπ+π3 (k∈Z),所以函数f(x)的单调递 增区间是 kπ-π6 ,kπ+π3 (k∈Z). 8.C ∵sin168°=sin(180°-168°)=sin12°, cos10°=sin80°,sin11°<sin12°<sin80°, ∴sin11°<sin168°<cos10°. 9.C 令sinx=t,则t∈[-1,1],∴f(t)=t2+t- 1= t+12 2 -54 , ∴当t=-12 时,f(t)min=- 5 4 ;当t=1时, f(t)max=1.故选C. 10.解析:由0≤x≤π2 ,得0≤2x≤π,于是-π6≤ 2x-π6≤ 5π 6 ,所以-12≤sin2x- π 6 ≤1,即 -32≤3sin2x- π 6 ≤3. 答案:-32 ,3 11.A ∵函数g(x)的周期为2π2=π ,∴ π|ω|=π , ∴ω=±1. 12.C 令x+π5= kπ 2 ,k∈Z,得x=kπ2- π 5 ,k∈Z, 所以 函 数 y=tan x+π5 的 对 称 中 心 是 kπ 2- π 5 ,0 ,k∈Z. 令k=2,可得函数的一个对称中心为 4π5 ,0 . 13.AC 对A,令2x+π4≠ π 2+kπ (k∈Z),解得x ≠kπ2+ π 8 (k∈Z), 则 函 数 y = f (x) 的 定 义 域 是 x x≠π8+ kπ 2 ,k∈Z ,A选项正确; 对B,函数y=f(x)的最小正周期为π2 ,B选项 错误; 对C,令kπ-π2<2x+ π 4<kπ+ π 2 (k∈Z),解 得kπ 2- 3π 8<x< kπ 2+ π 8 (k∈Z), 则 函 数 y =f (x)的 单 调 递 增 区 间 是 kπ 2- 3π 8 ,kπ 2+ π 8 (k∈Z),C选项正确; 对D,令2x+π4= kπ 2 (k∈Z),解得x=kπ4- π 8 (k∈Z), 则函数y=f(x)的对称中心为 kπ4- π 8 ,0 (k∈Z),D选项错误. 刷综合·高分 1.解:(1)由于a>0,令2kπ-π2≤2x+ π 3≤2kπ+ π 2 ,k∈Z,得kπ-5π12≤x≤kπ+ π 12 ,k∈Z. 所 以 f (x) 的 单 调 递 增 区 间 是 kπ-5π12 ,kπ+π12 ,k∈Z. (2)当x∈ 0,π4 时,π3≤2x+π3≤5π6, 则1 2≤sin2x+ π 3 ≤1, 由f(x)的值域为[1,3]知, a>0, a+b=3, 1 2a+b=1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ⇔ a=4, b=-1, 或 a<0, a+b=1, 1 2a+b=3 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ⇔ a=-4, b=5. 综上得 a=4, b=-1 或 a=-4,b=5. 2.解:(1)由题意知,函数f(x)的最小正周期为T =π2 ,即 π |ω|= π 2. 因为ω>0,所以ω=2,从而f(x)=tan(2x+φ). 因 为 函 数 y =f (x)的 图 象 关 于 点 M -π8 ,0 对称, 所以2× -π8 +φ=kπ2,k∈Z,即φ=kπ2+π4, k∈Z. 因 为 0<φ< π 2 ,所 以 φ= π 4 ,故 f(x)= tan2x+π4 . (2)令-π2+kπ<2x+ π 4< π 2+kπ ,k∈Z, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —07— 得-3π4+kπ<2x< π 4+kπ ,k∈Z, 即-3π8+ kπ 2<x< π 8+ kπ 2 ,k∈Z. 所 以 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 -3π8+ kπ 2 ,π 8+ kπ 2 ,k∈Z,无单调递减区间. (3)由(1)知,f(x)=tan2x+π4 . 由-1≤tan2x+π4 ≤ 3, 得-π4+kπ≤2x+ π 4≤ π 3+kπ ,k∈Z, 即-π4+ kπ 2≤x≤ π 24+ kπ 2 ,k∈Z. 所以不等式-1≤f(x)≤ 3的解集为 x|-π4+ kπ 2≤x≤ π 24+ kπ 2 ,k∈Z . 刷真题·满分 1.BC 直接法 对于A,令f(x)=0,则x=kπ2 ,k ∈Z,又g kπ2 ≠0,故A错误; 对于B,f(x)与 g(x)的 最 大 值 都 为1,故 B 正确; 对于C,f(x)与g(x)的最小正周期都为π,故C 正确; 对于D,f(x)图象的对称轴方程为2x=π2+ kπ,k∈Z,即x=π4+ kπ 2 ,k∈Z,g(x)图象的对 称轴方程为2x-π4= π 2+kπ ,k∈Z,即x=3π8 +kπ2 ,k∈Z,故f(x)与g(x)的图象的对称轴不 相同,故D错误.故选BC. 2.C 数形结合法 因为函数y=2sin(3x-π6 )的 最小正周期T=2π3 ,所以函数y=2sin(3x-π6 ) 在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象,所 以作出函数y=2sin(3x-π6 )与y=sinx在[0, 2π]上的图象如图所示. 由图可知,这两个图象共有6个交点,故选C. 必刷题十二 三角恒等变换 刷考点·保分 1.A ∵α,β都是锐角,且cosα= 5 5< 1 2 , ∴π3<α< π 2. 又sin(α+β)= 3 5> 1 2 , ∴π2<α+β<π , ∴cos(α+β)=- 1-sin 2(α+β)=- 4 5. 又sinα= 1-cos2α=2 55 , 则cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+ sin(α+β)sinα=- 4 5× 5 5+ 3 5× 2 5 5 = 2 5 25. 2.解析:cos105°+sin195°=cos105°+sin(105° +90°) =cos105°+cos105°=2cos(135°-30°) =2(cos135°cos30°+sin135°sin30°) =2 - 22× 3 2+ 2 2× 1 2 = 2- 62 . 答案:2- 6 2 3.B 因为sinα=13 ,α是第二象限角,所以cosα =-223 ,故cos(α-60°)=cosαcos60°+sinαsin60° = -223 ×12+13×32=-22+36 . 4.C ∵0<β<α< π 2 , ∴0<α-β< π 2 , 由cosα=35 得sinα=45 , 由cos(α-β)= 7 2 10 得sin(α-β)= 2 10 , ∴sinβ=sin[α-(α-β)] =sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β) =45× 7 2 10- 3 5× 2 10 =25 250 = 2 2 , ∴β= π 4. 5.BD cosα- 3sinα=2 1 2cosα- 3 2sinα =2cosπ3cosα-sin π 3sinα 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —17—