必刷题十 任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式-【玩转假期必刷题】2024年高一数学寒假作业

必刷题十 任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷考点·保分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 任意角 1.(多选)下列各角是第二象限角的是 ( ) A.-120° B.-240° C.180° D.495° 2.有小于360°的正角,这个角的5倍角的终边与该角 的终边重合,这个角的大小是 ( ) A.90° B.180° C.270° D.90°,180°或270° 弧度制 3.(多选)下列表示中正确的是 ( ) A.终边在x轴上角的集合是{α|α=kπ,k∈Z} B.终边在y轴上角的集合是 αα=π2+kπ ,k∈Z C.终边在坐标轴上角的集合是 αα=k·π2 ,k∈Z D.终 边 在 直 线 y = x 上 角 的 集 合 是 αα=π4+2kπ ,k∈Z 4.在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角是 弧度,扇形面积是 . 三角函数的概念 5.(多选)若sinθ·cosθ>0,则θ在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.已知点 M 是单位圆上的点,以射线OM 为终边的 角α的正弦值为- 22 ,则tanα= . 类型一 利用基本关系式求值 【例1】 已知在△ABC 中,sinA+ cosA=15. (1)求sinA·cosA 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还 是钝角三角形; (3)求tanA 的值. 【关键技巧】 由某角的一个三角 函数值求它的其余各三角函数值 的依据及种类 (1)依据:cosα=± 1-sin2α或 sinα=± 1-cos2α,要根据角α 所在的象限,恰当选定根号前面 的正负号,而在使用tanα=sinαcosα 时,不存在符号的选取问题. (2)分类: ①如果已知三角函数的值,且角 的象 限 已 被 指 定 时,则 只 有 一 组解; ②如果已知三角函数的值,但没 有指定角在哪个象限,那么由已 知三角函数值确定角可能在的象 限,然后再求解,这种情况一般有 两组解. 【解】 (1)由sinA+cosA=15 , 两边平方,得1+2sinA·cosA =125 , 所以sinA·cosA=-1225. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —23— 同角三角函数的基本关系和诱导公式一 7.已知sinα= 55 ,则sin4α-cos4α的值为 ( ) A.-15 B.- 3 5 C.15 D. 3 5 8.已知sinθ+cosθ=430<θ≤ π 4 ,则sinθ-cosθ= ( ) A.23 B.- 2 3 C.13 D.- 1 3 9.点P(tan2020°,cos2020°)位于第 象限. 诱导公式二、三、四 10.(多选)已知角α和β 的终边关于x 轴对称,则下 列各式中正确的是 ( ) A.sinα=sinβ B.sin(α-2π)=-sinβ C.cosα=cosβ D.cos(2π-α)=-cosβ 11.已知sinα-π4 = 32,则sin5π4-α 的值为 ( ) A.12 B.- 1 2 C. 3 2 D.- 3 2 诱导五、六 12.已知sinα-π4 =13,则cosπ4+α 等于 ( ) A.-13 B. 1 3 C.2 23 D.- 2 2 3 13.化简: sin(θ-5π)cos-π2-θ cos(8π-θ) sinθ-3π2 sin(-θ-4π) = ( ) A.-sinθ B.sinθ C.cosθ D.-cosθ (2)由(1)得sinA·cosA=-1225 <0. 又0<A<π,所以sinA>0,cosA <0,所以A 为钝角. 所以△ABC是钝角三角形. (3)因为sinA·cosA=-1225 , 所以(sinA-cosA)2=1-2sinA· cosA=1+2425= 49 25. 又sinA>0,cosA<0, 所以sinA-cosA>0, 所以sinA-cosA=75. 又sinA+cosA=15 , 所以sinA=45 ,cosA=-35. 所 以 tanA =sinAcosA = 4 5 -35 = -43. 类型二 证明三角恒等式 【例2】 求证: tan(2π-α)sin(-2π-α)cos(6π-α) sinα+3π2 cosα+3π2 =-tanα. 【关键技巧】 证明等式的常用 方法 利用诱导公式证明等式问题,关 键在于公式的灵活应用,其常用 的证明方法有: (1)从等式的一边开始,使得它等 于另一边,一般由繁到简. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —33— 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷综合·高分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.(1)已知cosα=-817 ,求sinα,tanα的值. (2)已知tanα=-2,求sinα,cosα的值. 2.是否存在角α,β,α∈ - π 2 ,π 2 ,β∈(0,π),使得 等式sin(3π-α)=- 2cos π2+β 与 3cos(- α)=- 2sin 3π2-β 同时成立? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷真题·满分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.(2023·全国甲卷理)设甲:sin2α+sin2β=1,乙: sinα+cosβ=0,则 ( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2.(2023·全国乙卷文)若θ∈ 0,π2 ,tanθ=12, 则sinθ-cosθ= . (2)“左右归一法”:即证明等式左、右 两边都等于同一个式子. (3)针对题设与结论间的差异,有针 对性地进行变形,以消除其差异,简 言之,即化异为同. 【证明】 左边= tan(-α)·sin(-α)·cos(-α) sin2π- π2-α 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ·cos2π- π2-α 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 = (-tanα)·(-sinα)·cosα sin - π2-α 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 cos- π2-α 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 = sin 2α -sin π2-α cosπ2-a = sin 2α -cosα·sinα =-sinαcosα =-tanα=右边.∴原等式成立. 【学习笔记】 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —43— ∴0<t<1,即0<4 x-2x 2 <1 ,∴0<4x-2x<2. 令 m = 2x > 0, 则 m2-m>0, m2-m<2, 解 得 m>1或m<0, -1<m<2, 故1<m<2, 即1<2x<2.∴0<x<1. 因此,不等式的解集为(0,1). 刷真题·满分 1.B 逻辑分析法+数形结合法.因为函数f(x) 在R上单调递增,且当x<0时,f(x)=-x2- 2ax-a,所以f(x)=-x2-2ax-a 在(-∞, 0)上单调递增,所以-a≥0,即a≤0;当x≥0 时,f(x)=ex+ln(x+1),所以函数f(x)在[0, +∞)上单调递增.若函数f(x)在 R上单调递 增,则-a≤f(0)=1,即a≥-1.综上,实数a的 取值范围是[-1,0].故选B. 2.C 等价转化法 由f(x)≥0及y=x+a,y= ln(x+b)单调递增,可得x+a 与ln(x+b)同 正、同负或同为零,所以当ln(x+b)=0时,x+ a=0,即 x+b=1 x+a=0 ,所以b=a+1,则a2+b2=a2 +(a+1)2=2 a+12 2 +12≥ 1 2 ,故选C. 必刷题十 任意角与弧度制、三角函数的 概念、诱导公式 刷考点·保分 1.BD -120°是第三象限角;-240°是第二象限 角;180°角不在任何一个象限内;495°=360°+ 135°,所以495°是第二象限角. 2.D 设这个角为α,则5α=k·360°+α,k∈Z,α =k·90°,k∈Z,又因为0°<α<360°,所以α= 90°,180°或270°. 3.ABC 对于A,终边在x 轴上角的集合是{α|α =kπ,k∈Z},故A正确; 对 于 B,终 边 在 y 轴 上 的 角 的 集 合 是 αα=π2+kπ ,k∈Z ,故B正确; 对 于 C,终 边 在 x 轴 上 的 角 的 集 合 为 αα=kπ,k∈Z ,终 边 在 y 轴 上 的 角 的 集 合 为 αα=π2+kπ ,k∈Z , 故 合 在 一 起 即 为 αα=kπ,k∈Z ∪ αα=π2+kπ ,k∈Z = αα=kπ2,k∈Z ,故C 正确; 对于 D,终 边 在 直 线 y=x 上 的 角 的 集 合 是 αα=π4+kπ ,k∈Z ,故D错误. 4.解析:α=lr= 12 8= 3 2 , S=12l ·r=12×12×8=48. 答案:3 2 48 5.AC 由题意可知sinθ与cosθ同号,故θ在第 一或第三象限,故选AC. 6.解析:设点 M 的坐标为(x,y),易知x2+y2=1 且sinα=y=- 22 , 所以x2=1-y2=1-12= 1 2 ,即x=± 22 , 所以tanα=yx=±1. 答案:±1 7.B sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α- cos2α)=sin2α-cos2α=2sin2α-1=-35. 8.B 由(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=169 ,得 2sinθcosθ=79 ,则(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ =29 ,由0<θ≤π4 ,知sinθ-cosθ≤0,所以sinθ- cosθ=- 23. 9.解析:因为2020°=5×360°+220°, 所以2020°与220°终边相同,是第三象限角, 所以tan2020°>0,cos2020°<0, 答案:四 10.BC 由题意可知α=-β,∴sinα=sin(-β)= -sinβ;sin(α-2π)=sinα=-sinβ;cosα= cos(-β)=cosβ;cos(2π-α)=cos(-α)=cosα= cosβ,故选BC. 11.C sin5π4-α =sinπ+π4-α =-sin π4-α =sinα-π4 = 32. 12.A cos π4+α =cosα-π4+π2 =-sinα-π4 =-13.故选A. 13.A 原 式 = sin(θ-π)cos π2+θ cosθ cosθsin(-θ) = (-sinθ)(-sinθ)cosθ cosθ(-sinθ) =-sinθ. 刷综合·高分 1.解:(1)∵cosα=-817<0 , ∴α是第二或第三象限角. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —86— 当α是第二象限角时,sinα>0,tanα<0, ∴sinα= 1-cos2α= 1- -817 2 =1517 , tanα=sinαcosα= 15 17 -817 =-158. 当α是第三象限角时,sinα<0,tanα>0, ∴sinα= - 1-cos2α= - 1- -817 2 = -1517 , tanα=sinαcosα= 15 8. (2)解 方法一 ∵tanα=-2<0, ∴α为第二或第四象限角,且sinα=-2cosα.① 又sin2α+cos2α=1,② 由①②消去sinα,得(-2cosα)2+cos2α=1, 即cos2α=15. 当α为第二象限角时,cosα=- 55 ,代入①得 sinα=2 55 ; 当α为第四象限角时,cosα= 55 ,代入①得sinα =-2 55 . 方法二 ∵tanα=-2<0, ∴α为第二或第四象限角. 由tanα=sinαcosα , 两边分别平方,得tan2α=sin 2α cos2α . 又sin2α+cos2α=1, ∴tan2α+1=sin 2α cos2α +1=sin 2α+cos2α cos2α = 1 cos2α , 即cos2α= 1 1+tan2α . 当α为第二象限角时,cosα<0, ∴cosα= - 1 1+tan2α = - 1 1+(-2)2 = - 55 , ∴sinα=tanα·cosα=(-2)× - 55 =2 55 . 当α为第四象限角时,cosα>0, ∴cosα= 1 1+tan2α = 1 1+(-2)2 = 55 , ∴sinα=tanα·cosα=(-2)× 55=- 2 5 5 . 2.解:存在.理由如下:所需成立的两个等式可化 为sinα= 2sinβ,3cosα= 2cosβ, 两个等式两边分别平方相加, 得sin2α+3cos2α=2, 得2cos2α=1,所以cos2α=12. 又因为α∈ -π2 ,π 2 , 所以α=π4 或-π4. 当α=π4 时,由 3cosα= 2cosβ,得cosβ= 3 2. 又β∈(0,π),所以β= π 6. 当α=-π4 时,由sinα= 2sinβ,得sinβ= -12. 而β∈(0,π),所以无解. 刷真题·满分 1.B 甲等价于sin2α=1-sin2β=cos 2 β,等价于 sinα=±cosβ,所以由甲不能推导出sinα+cosβ= 0,所以甲不是乙的充分条件;由sinα+cosβ= 0,得sinα=-cosβ,平方可得sin 2α=cos2β=1 -sin2β,即sin 2α+sin2β=1,所以由乙可以推导 出甲,则甲是乙的必要条件.综上,选B. 2.解析:由 tanθ=sinθcosθ= 1 2 sin2θ+cos2θ=1 ,且θ∈(0,π2),解得 sinθ= 55 cosθ=2 55 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ,故sinθ-cosθ=- 55. 答案:- 55 必刷题十一 三角函数的图像与性质 刷考点·保分 1.A y=2-sinx,x∈[0,2π]的图象可由y= -sinx向上平移2个单位得到.故选A. 2.ABC 本题所有函数的定义域都是R.cos(π+x) =-cosx,则 A 不 同;sin x-π2 = -sin π 2-x =-cosx,sin π2-x =cosx,则B不 同;sin(-x)=-sinx,则C不同;sin(2π+x)= sinx,则D相同. 3.B 由已知得2π|ω|= π 5 ,又ω>0, 所以2π ω= π 5 ,ω=10. 4.解析:T=2πω ,1<2πω<4 ,则π 2<ω<2π , ∴ω的最大值是6. 答案:6 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —96—