必刷题三 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词-【玩转假期必刷题】2024年高一数学寒假作业

必刷题三 充分条件与必要条件、 全称量词与存在量词 刷考点·保分 1.AD 由-5x+3≥0,得x≤35 ,选项中x 的范 围使x≤35 成立. 2.B 当c为零时,由ac=bc⇒/a=b. 3.A 因为x∈B 成立的一个充分条件是x∈A, 所以A⊆B,所以3≤m+1,即m≥2. 4.解析:“B 的充分条件是A”,即A 是B 的充分条 件,得A⇒B,即A⊆B,得a>2. 答案:a>2 5.B 对于A,由p⇒/q知,p 不是q 的充要条件. 对于B,由|x|+|y|=|x+y|知x,y要么同为 正数,要么同为负数,要么至少一个为零,能得 到xy≥0,故是充要条件.对于C,方程x2-x- m=0有实数解,判别式Δ=1+4m≥0,即 m≥ -14 ,所以q⇒/p,∴p 是q 的充分不必要条件. 对于D,因为p⇒/q,所以p 不是q 的充要条件. 故选B. 6.A 如图所示,A⫋B⇒(∁UA)∪B =U;但(∁UA)∪B=U⇒/A⫋B, 如A=B,因此 A⫋B 是(∁UA) ∪B=U 的充分不必要条件. 7.0 8.ABC 选项A中,14<x< 3 4 且x∈Z,不成立; 选项B中,x=-15 ,与x∈Z矛盾;选项C中, x≠±1时,x2-1≠0;选项D正确. 9.D 先将条件中的全称量词变为存在量词,存在 量词变为全称量词,再否定结论. 10.B 命题的否定为∀x>0,使2x(x-a)≤1. 11.ABD “有的三角形为正三角形”为存在量词 命题,其否定为全称量词命题:“所有的三角形 都不是正三角形”,故选项C错误. 12.D 命题“存在-1≤x≤1,-x2+3x+a>0” 为真命题,等价于a>x2-3x 在{x|-1≤x≤ 1}上有解,令y=x2-3x(-1≤x≤1),则等价 于a>ymin=-2,所以a>-2. 13.解析:由于命题“∃x<2021,x>a”是假命题, 因此其否定“∀x<2021,x≤a”是真命题,所 以a≥2021. 答案:{a|a≥2021} 刷综合·高分 1.证明:必要性:∵方程ax2+bx+c=0有一个根 为1, ∴x=1满足方程ax2+bx+c=0, a·12+b·1+c=0,即a+b+c=0. 充分性:∵a+b+c=0,∴c=-a-b. 代入方程ax2+bx+c=0中可得ax2+bx-a- b=0. 即(x-1)(ax+a+b)=0. 故方程ax2+bx+c=0有一个根为1. 2.解:若命题“∃x∈R,x2-2x+m≤0”是假命题, 则命题“∀x∈R,x2-2x+m>0”是真命题. ∴∀x∈R,m>-x2+2x恒成立. ∵-x2+2x=-(x-1)2+1≤1, ∴m>1,即实数m 的取值范围是(1,+∞). 刷真题·满分 1.B 通解 因为∀x∈R,|x+1|≥0,所以命题p 为假命题,所以􀱑p为真命题.因为x3=x,所以 x3-x=0,所以x(x2-1)=0,即x(x+1)(x- 1)=0,解得x=-1或x=0或x=1,所以∃x >0,使得x3=x,所以命题q为真命题,所以􀱑q 为假命题,所以􀱑p和q 都是真命题,故选B. 优解(特殊值法) 在命题p 中,当x=-1时, |x+1|=0,所以命题p 为假命题,􀱑p 为真命 题.在命题q中,因为立方根等于本身的实数有 -1,0,1,所以∃x>0,使得x3=x,所以命题q 为真命题,􀱑q为假命题,所以􀱑p 和q 都是真 命题,故选B. 2.B 由a2=b2,则a=±b,当a=-b≠0时a2+ b2=2ab 不 成 立,充 分 性 不 成 立;由a2+b2= 2ab,则(a-b)2=0,即a=b,显然a2=b2 成立, 必要性成立;所以a2=b2 是a2+b2=2ab的必 要不充分条件.故选B. 必刷题四 等式性质与不等式性质、 基本不等式 刷考点·保分 1.D 方法一:因为a>b>c>0,所以y2-x2=b2 +(c+a)2-a2-(b+c)2=2c(a-b)>0,所以 y2>x2,即y>x,z2-y2=c2+(a+b)2-b2-(c +a)2=2a(b-c)>0,故z2>y2,即z>y,故z> y>x. 方法二:特值代换法,令a=3,b=2,c=1,则x = 18,y= 20,z= 26,则x<y<z,故z>y >x. 2.C 用作商法比较,由题意x,y>0, ∵xy= c+1-c c- c-1 =c+ c-1 c+1+c <1,∴x<y. 3.C 当c=0时,A错误;当c<0时,B错误;当a <0,b<0时,D错误,故选C. 4.AC 利用不等式的同向可加性可知①正确;根 据不等式的性质可知ac<bd,故②不正确;根据 不等式性质可知③正确;对④由a>b>0可知 a2>b2>0,所以1 a2 <1 b2 ,所以④不正确. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —95— 必刷题三 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷考点·保分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 充分条件、必要条件的判定 1.(多选)使不等式-5x+3≥0成立的一个充分不必要 条件是 ( ) A.x<0 B.x≤35 C.x<1 D.x< 3 5 2.对于任意的实数a,b,c,在下列命题中,真命题是 ( ) A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件 C.“ac<bc”是“a<b”的充分条件 D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件 由充分条件、必要条件求参数 3.已知集合A={x|-1<x<3},B={x∈R|-1<x<m +1},若x∈B 成立的一个充分条件是x∈A,则实数m 的取值范围是 ( ) A.m≥2 B.m≤2 C.m>2 D.-2<m<2 4.已知A={x|1≤x≤2},B={x|x<a},如果B 的充分 条件是A,则实数a的取值范围是 . 充要条件的判断 5.给出下列各组条件,其中p是q的充要条件的是 ( ) A.p:ab=0,q:a2+b2=0 B.p:xy≥0,q:|x|+|y|=|x+y| C.p:m>0,q:方程x2-x-m=0有实根 D.p:x>2或x<-1,q:x<-1 6.设集合A,B 是全集U 的两个子集,则A⫋B 是(∁UA) ∪B=U 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 类型一 证明充要条件 【例1】 已知ab≠0.求证:a+b =1的充要条件是a3+b3+ ab-a2-b2=0. 【关键技巧】 充要条件的证 明策略 (1)要证明p 是q 的充要条 件,需要从充分性和必要性两 个方向进行,即证明两个命题 为真:“若p,则q”为真,且“若 q,则p”为真. (2)在证明的过程中也可以转 化为集合的思想来证明,证明 p与q 的解集是相同的,证明 前必须分清楚充分性和必要 性,即搞清楚由哪些条件推证 出哪些结论. 【证明】 先证必要性:因为a +b=1, 所以a3+b3+ab-a2-b2= (a+b)(a2-ab+b2)+ab-a2 -b2=a2-ab+b2+ab-a2- b2=0. 所以必要性成立. 再证充分性:因为a3+b3+ab -a2-b2=0, 即(a+b)(a2-ab+b2)-(a2 -ab+b2)=0, 所以(a+b-1)(a2-ab+b2) =0. 又因为ab≠0,所以a≠0且b ≠0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —7— 全称量词命题、存在量词命题的判断 7.下列命题中是假命题的个数为 . ①每一个末位是0的整数都是5的倍数; ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等; ③有些实数是无限不循环小数; ④存在一个三角形不是等腰三角形. 8.(多选)下列四个命题中是假命题的为 ( ) A.存在x∈Z,1<4x<3 B.存在x∈Z,5x+1=0 C.对任意x∈R,x2-1=0 D.对任意x∈R,x2+x+2>0 含有量词的命题的否定 9.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定是 ( ) A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 10.命题“∃x>0,使2x(x-a)>1”的否定是 ( ) A.∀x>0,使2x(x-a)>1 B.∀x>0,使2x(x-a)≤1 C.∀x≤0,使2x(x-a)≤1 D.∀x≤0,使2x(x-a)>1 11.(多选)对下列命题的否定说法正确的是 ( ) A.p:能被2整除的数是偶数;p的否定:存在一个能 被2整除的数不是偶数 B.p:有些矩形是正方形;p 的否定:所有的矩形都不 是正方形 C.p:有的三角形为正三角形;p 的否定:所有的三角 形不都是正三角形 D.p:∀n∈N,2n≤100;p的否定:∃n∈N,2n>100 利用命题的否定求参数的取值范围 12.已知命题“存在-1≤x≤1,-x2+3x+a>0”为真命 题,则实数a的取值范围是 ( ) A.aa>-94 B.a|a>4 C.a|-2<a<4 D.a|a>-2 从而a2-ab+b2= a-b2 2 +3b 2 4≠0. 所以a+b-1=0,即a+b= 1.故充分性成立. 所以a+b=1的充要条件是 a3+b3+ab-a2-b2=0. 类型二 含有量词的命题的否定 【例2】 写出下列命题的否定, 并判断真假: (1)p:∃x>1,使x2-2x-3 =0; (2)p:有些素数是奇数; (3)可以被5整除的整数,末 位是0. 【关键技巧】 对含有一个量 词的命题的否定要注意以下 问题 (1)确定命题类型,是全称量 词命题还是存在量词命题. (2)改变量词:把全称量词改 为恰当的存在量词;把存在量 词改为恰当的全称量词. (3)否 定 结 论:原 命 题 中 的 “是”“有”“存在”“成立”等改 为“不是”“没有”“不存在”“不 成立”等. (4)无量词的全称命题要先补 回量词再否定. 【解】 (1)􀱑p:∀x>1,x2- 2x-3≠0.假 命 题,如x=3 时,x2-2x-3=0. (2)􀱑p:任意素数不是奇数. 假命题,如素数3为奇数. (3)是全称命题,其否定:存在 被5整 除 的 整 数,末 位 不 是 0.真命题,如15. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —8— 13.若命题“∃x<2021,x>a”是假命题,则实数a的取值范 围是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷综合·高分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要 条件是a+b+c=0. 2.已知命题“∃x∈R,x2-2x+m≤0”是假命题,求实数m 的 取值范围. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷真题·满分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命 题q:∃x>0,x3=x.则 ( ) A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和􀱑q都是真命题 2.(2023·天津卷)已知a,b∈R,“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 【学习笔记】 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —9—