必刷题六 函数的概念及其表示-【玩转假期必刷题】2024年高一数学寒假作业

必刷题六 函数的概念及其表示 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷考点·保分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 函数概念的理解 1.(多选)下列各图中,可能表示函数y=f(x)的图象的 是 ( ) 2.如图所示,函数f(x)的图象是折 线段ABC,其中A,B,C 的坐标 分别为(0,4),(2,0),(6,4),则 f(3)= ,f(f(4))= .(用数字作答) 求函数的定义域 3.函数y= 1-x2x2-3x-2 的定义域为 ( ) A.xx≤1 B.xx≤2 C.x|x<-12 或-12<x<1 D.x|x<-12 或-12<x≤1 4.函数f(x)= (x-3)0 x-2 的定义域为 ( ) A.{x|x≥2} B.{x|x>2} C.{x|x>2且x≠3} D.{x|x≥2且x≠3} 相等函数的判定 5.下列各组函数中是同一个函数的是 ( ) A.y=x+1与y=x 2-1 x-1 B.y=x2+1与s=t2+1 C.y=2x与y=2x(x≥0) D.y=(x+1)2 与y=x2 类型一 函数解析式的求法 【例1】 求函数的解析式: (1)已知f(x)是一次函数,且 f(f(x))=16x-25,求f(x)的 解析式; (2)已知f(x+1)=x+2 x, 求f(x)的解析式; (3)已知f(x)+2f(-x)=x2 +2x,求f(x)的解析式. 【关键技巧】 求函数解析式, 关键是对基本方法的掌握,常 用方法有配凑法、换元法、待定 系数法、解 方 程(组)法、赋 值 法等. (1)配凑法:将形如f(g(x))的 函数的表达式配凑为关于g(x) 的表达式,并整体将g(x)用x 代换,即可求出函数f(x)的解 析式.如由f(x+1)=(x+1)2 可得f(x)=x2. (2)换元法:将函数f(g(x))中 的g(x)用t表示,则可求得x 关于t的表达式,并将最终结果 中的t用x 代换,即可求得函数 f(x)的解析式. (3)待定系数法:将已知类型的 函数以确定的形式表达,并利 用已知条件求出其中的参数, 从而得到函数的解析式. 一次函数解析式为y=ax+b (a≠0),二次函数解析式为y= ax2+bx+c(a≠0). (4)解方程(组)法:采用解方程 或方程组的方法,消去不需要 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —71— 6.下列四组函数,表示同一函数的是 ( ) A.f(x)= x2,g(x)=x B.f(x)=x,g(x)=x 2 x C.f(x)= x2-4,g(x)= x+2x-2 D.f(x)=|x+1|,g(x)= x+1,x≥-1, -x-1,x<-1 求函数值与函数值域 7.函数y= 5+4x-x2的值域为 ( ) A.(-∞,3) B.[3,+∞) C.[0,9] D.[0,3] 8.(多选)给出定义:若m-12<x≤m+ 1 2 (其中m 为整 数),则m 叫做离实数x 最近的整数,记作{x},即{x} =m.在此基础上给出下列关于函数f(x)=|x-{x} |的四个结论,其中正确的是 ( ) A.f -12 =12 B.f(3.4)=-0.4 C.f -14 =f 14 D.y=f(x)的定义域为R,值域是 -12 ,1 2 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 求函数解析式 9.若f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)- f(-1)=1,则f(x)= ( ) A.3x+2 B.3x-2 C.2x+3 D.2x-3 10.(多选)已知f(x)=1+x 2 1-x2 ,则f(x)满足的关系有 ( ) A.f(-x)=f(x) B.f 1x =-f(x) C.f 1x =f(x) D.f -1x =-f(x) 的函数式子,得到f(x)的表达 式,这种方法也称为消去法. (5)赋值法:利用恒等式将特殊值 代入,求出特定函数的解析式.这 种方法灵活性强,必须针对不同 的类型选取不同的特殊值. 【解】 (1)(待 定 系 数 法)设 f(x)=kx+b(k≠0), 则f(f(x))=k(kx+b)+b= k2x+kb+b, ∴k2x+kb+b=16x-25. ∴ k2=16, kb+b=-25, ∴ k=4, b=-5 或 k=-4, b=253. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴f(x)=4x-5或f(x)= -4x+253. (2)(换元法或配凑法) 方法一 (换元法)令t= x+ 1,则x=(t-1)2,t≥1, f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2- 1(t≥1), ∴f(x)的解析式为f(x)=x2 -1(x≥1). 方法二 (配凑法)f(x+1)= x+2 x=x+2 x+1-1= (x+1)2-1. ∵ x+1≥1,∴f(x)的解析式 为f(x)=x2-1(x≥1). (3)(方程组法) ∵f(x)+2f(-x)=x2 + 2x,① ∴将x 换成-x,得f(-x)+ 2f(x)=x2-2x.② ∴②×2-①,得3f(x)=x2- 6x,∴f(x)=13x 2-2x. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —81— 分段函数 11.函数f(x)= 2x,0≤x≤1, 2,1<x<2, 3,x≥2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 的值域是 ( ) A.R B.[0,2]∪{3} C.[0,+∞) D.[0,3] 12.已知函数f(x)= x+2,x≤0, x2,0<x≤3, 若f(x)=3,则x 的 值是 ( ) A.3 B.9 C.-1或1 D.- 3或 3 13.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析 式是 . 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷综合·高分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.(1)若函数f(x)为二次函数,且f(2-x)=f(x+2), f(2)=-4,f(0)=0,求函数f(x)的解析式. (2)已知f(x+1)=x2+4x+1,求f(x)的解析式. (3)已知f(x)满足2f(x)+f 1x =3x,求f(x)的解析式. (4)已知对任意实数x,y,都有f(x+y)-2f(y)=x2 +2xy-y2+3x-3y,求f(x)的解析式. 类型二 分段函数的求值问题 【例2】 (多空题)已知实数a≠0, 函数f(x)= 2x+a,x<1, -x-2a,x>1, 若 f(1-a)=f(1+a),则a的 值为 ,f(f(2))= . 【关键技巧】 分段函数求值 问题的注意事项 (1)分段函数求值问题的关键 是看所给自变量的取值属于 哪一段,代入该段解析式求解 即可. (2)已知函数值求自变量的值 时,应分别代入各段解析式中 求解,以免丢解.要根据每段 解析式中自变量本身的限制 条件进行验证取舍. (3)已知f(x),解关于f(x) 的不等式时,要先在每一段内 求交集,最后求并集. (4)求解形如f(f(a))的函数 值问题,按从里到外的原则, 先求f(a),再求f(f(a)). 【解析】 当a<0时,1-a> 1,1+a<1,所以f(1-a)= -(1-a)-2a=-a-1,f(1 +a)=2(1+a)+a=3a+2. 因为f(1-a)=f(1+a),所 以-a-1=3a+2,所以a= -34. 当a>0时,1-a<1,1+a> 1,所以f(1-a)=2(1-a)+ a=2-a,f(1+a)=-(1+ a)-2a=-3a-1. 因为f(1-a)=f(1+a),所 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —91— 2.等腰梯形 ABCD 的两底分别为AD =2a,BC=a, ∠BAD=45°,作直线 MN⊥AD 交AD 于点M,交折 线ABCD 于点N.设AM=x,试将梯形ABCD 位于直 线MN 左侧点的面积y 表示为x 的函数. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷真题·满分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为 R, f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时f(x)=x,则 下列结论中一定正确的是 ( ) A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)<1000 D.f(20)<10000 2.(2024·上海卷)已知函数f(x)= x,x>0 1,x≤0 ,则f(3) = . 以2-a=-3a-1,所以a= -32 (舍去). 综上所述,a=-34. 所以f(x) = 2x-34 ,x<1, -x+32 ,x>1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 所 以 f f2 =f -12 = -74. 【答案】 -34 - 7 4 【学习笔记】 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —02— ∴由二次函数图象得 Δ=(m-1)2-32(m-7)≥0, m-1 16 >1 , f(1)>0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 m≥25或m≤9, m>17, m∈R, ∴m 的取值范围是{m| m≥25}. 答案:{m|m≥25} 11.解析:m≠0,方程化为x2+mx+m(m-1)= 0,则m(m-1)<0,解得0<m<1.而不等式 x2-4mx-5m2<0可转化为(x+m)(x-5m) <0,所以解得-m<x<5m. 答案:(0,1) {x|-m<x<5m} 12.解:①若m=0,则问题等价于-6<0对x∈R 恒成立,显然成立. ②若m≠0,则有 m<0 , Δ<0, 即 m<0, (-m)2-4m(m-6)<0. 解得m<0. 综上所述,所求m 的取值范围是(-∞,0]. 13.解析:由题意,得3860+500+[500(1+x%) +500(1+x%)2]×2≥7000,化简得(x%)2+ 3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤ -3.2(舍 去),所 以 x≥20,即 x 的 最 小 值 为20. 答案:20 14.解析:设按销售收入的t%征收木材税时,税金 收入为y万元,则y=2400× 20-52t ×t% =60(8t-t2). 令y≥900,即60(8t-t2)≥900,解得3≤t≤5. 答案:3≤t≤5 刷综合·高分 1.解:(1)由题意知,不等式对应的方程ax2+5x+ c=0的两个实数根为13 和1 2 , 由根与系数的关系,得 -5a= 1 3+ 1 2 , c a= 1 2× 1 3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得a=-6,c=-1. (2)由a=-6,c=-1知不等式ax2+(ac+2)x +2c≥0可化为-6x2+8x-2≥0, 即3x2-4x+1≤0,解得13≤x≤1 , 所以不等式的解集为 x 13≤x≤1 . 2.解:假设存在这样的m, 使不 等 式 x 2-8x+20 (m2-1)x2+2(m+1)x-1 <0对 于 一切实数x恒成立. ∵x2-8x+20=(x-4)2+4>0, 则由 x 2-8x+20 (m2-1)x2+2(m+1)x-1 <0恒成立, 可得(m2-1)x2+2(m+1)x-1<0①恒成立. (1)当m2-1=0,即m=±1时, 若m=1,则不等式①为4x-1<0,不恒成立; 若m=-1,则不等式①为-1<0,恒成立. ∴m=-1可使不等式①恒成立. (2)当m2-1≠0,则m≠±1时,要使不等式① 恒成立,则其对应二次函数f(x)=(m2-1)x2 +2(m+1)x-1图象开口应向下,且与x 轴没 有交点. ∴只需要满足 m2-1<0, [2(m+1)]2-4(m2-1)(-1)<0. 解得-1<m<0. 综合(1)(2)可得存在这样的m, 使不等式 x 2-8x+20 (m2-1)x2+2(m+1)x-1 <0对于一 切实数x恒成立,且m的取值范围为[-1,0). 刷真题·满分 1.解析:方程x2-2x-3=0的解为x=-1或x =3,故不等式x2-2x-3<0的解集为{x|-1 <x<3},故答案为:{x|-1<x<3}. 答案:{x|-1<x<3} 2.A 因为B={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1},又 A={-1,0,1,2},所以A∩B={-1,0,1}.故 选A. 必刷题六 函数的概念及其表示 刷考点·保分 1.ACD 结合函数的定义可知,ACD均可能,只 有B是1个x对应2个y,不满足函数的定义, 故选ACD. 2.解析:由题可知f(3)=1,f(4)=2,则f(f(4)) =f(2)=0. 答案:1 0 3.D 由 1-x≥0, 2x2-3x-2≠0, 解得x≤1且x≠-12. 所 以 函 数 y = 1-x2x2-3x-2 的 定 义 域 为 x x<-12 或-12<x≤1 . 4.C 由题意可知 x-3≠0, x-2≥0, x-2≠0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ x≠3, x≥2, x≠2, ∴x>2 且x≠3,故选C. 5.B A,C选项中两函数的定义域不同,D选项中 两函数的对应关系不同,故A,C,D错误,选B. 6.D A选项两者的定义域相同,但是f(x)=|x|, 对应关系不同;B选项两个函数的定义域不同, f(x)的定义域是 R,g(x)的定义域是{x|x≠ 0};C选项两个函数的定义域不同,f(x)的定义 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —26— 域是(-∞,-2]∪[2,+∞),g(x)的定义域是 [2,+∞);D选项根据绝对值的意义,把函数 f(x)整理 成 g(x),两 个 函 数 的 三 个 要 素 都 相同. 7.D 由函数性质可得5+4x-x2≥0的值域开方 即可.结合函数图象(图略)可得y∈[0,3]. 8.AC 由题意得f -12 = -12- -12 = -12- (-1)=12 ,A正确;f(3.4)=|3.4- {3.4}|=|3.4-3|=0.4,B错误;f -14 = -14- - 1 4 = -14-0 =14,f 14 = 1 4-0 = 1 4 ,∴f -14 =f 14 ,C正确;y= f(x)的定义域为R,值域为 0,12 ,D错误. 9.B 设f(x)=ax+b(a≠0),由题设有 2(2a+b)-3(a+b)=5, 2(0·a+b)-(-a+b)=1. 解得 a=3, b=-2. 所以选B. 10.ABD f(-x)=1+ (-x)2 1-(-x)2 =1+x 2 1-x2 =f(x), 故A正确; f 1x = 1+ 1x 2 1- 1x 2= x2+1 x2-1 =-f(x),故 B 正确; f -1x = 1+ -1x 2 1- -1x 2= 1+1 x2 1-1 x2 =x 2+1 x2-1 = -f(x),故D正确,故选ABD. 11.B 当0≤x≤1时,0≤2x≤2,即0≤f(x)≤2; 当1<x<2时,f(x)=2;当x≥2时,f(x)= 3.综上可知f(x)的值域为[0,2]∪{3}. 12.A 依题意,若x≤0,则x+2=3,解得x=1, 不合题意,舍去.若0<x≤3,则x2=3,解得x =- 3(舍去)或x= 3.故选A. 13.解析:由题图可知,图象是由两条线段组成, 当-1≤x<0时,设f(x)=ax+b,将(-1,0), (0,1)代入解析式,则 -a+b=0 , b=1, ∴ a=1,b=1, 即 f(x)=x+1. 当0≤x≤1时,设f(x)=kx,将(1,-1)代入, 则k=-1,即f(x)=-x. 综上,f(x)= x+1,-1≤x<0, -x,0≤x≤1. 答案:f(x)= x+1,-1≤x<0, -x,0≤x≤1 刷综合·高分 1.解:(1)由f(2-x)=f(x+2)知,函数f(x)关 于直线 x=2对 称,因 此,根 据 题 意 可 设 函 数 f(x)=a(x-2)2+k(a≠0),则f(2)=k=-4, f(0)=4a+k=0,解得a=1,故f(x)=x2-4x. (2)方法一 (换元法)设x+1=t,则x=t-1, 所以f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1,即f(t)=t2 +2t-2. 所以所求函数解析式为f(x)=x2+2x-2. 方法二 (配凑法)f(x+1)=x2+4x+1= (x+1)2+2(x+1)-2,所以所求函数解析式为 f(x)=x2+2x-2. (3)2f(x)+f 1x =3x,① 将①中x换成1x ,得2f 1x +f(x)=3x,② ①×2-②,得3f(x)=6x-3x , 所以f(x)=2x-1x (x≠0). (4)方法一 因为f(x+y)-2f(y)=x2+2xy -y2+3x-3y对任意x,y∈R都成立, 故可令x=y=0,得f(0)-2f(0)=0,即f(0) =0. 再令y=0,得f(x)-2f(0)=x2+3x, 所以f(x)=x2+3x. 方法二 令 x=0,得 f y -2f y =-y2 -3y, 即-f y =-y2-3y.因此f y =y2+3y. 故f(x)=x2+3x. 2.解:作BH⊥AD,H 为垂足,CG⊥AD,G 为垂 足,依题意,则有AH=a2 ,AG=32a ,∠A=∠D =45°. (1)当点 M 位于点H 的左侧时,N∈AB, 由于AM=x,∠A=45°, ∴MN=x. ∴y=S△AMN = 1 2x 2 0≤x≤a2 . (2)当点 M 位于点H,G 之间时,由于AM=x, AH=a2 , BN=x-a2 , ∴y=S直角梯形AMNB= 1 2 ·a 2 x+ x- a 2 =12ax- a2 8 a 2<x≤ 3 2a . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —36— (3)当点 M 位于点G 的右侧时, 由于AM=x,DM=MN=2a-x, ∴y=S梯形ABCD -S△MDN = 1 2 ·a 2 (2a+a)-12 (2a-x)2=3a 2 4 - 1 2 (4a2-4ax+x2)=-12x 2 +2ax-5a 2 4 3 2a<x≤2a . 综上,y= 1 2x 2,0≤x≤a2 , 1 2ax- a2 8 ,a 2<x≤ 3 2a , -12x 2+2ax-5a 2 4 ,3 2a<x≤2a. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 刷真题·满分 1.B 赋值法 因为当x<3时,f(x)=x,所以 f(1)=1,f(2)=2.对于f(x)>f(x-1)+f(x -2),令x=3,得f(3)>f(2)+f(1)=2+1= 3;令x=4,得f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5;依 次类推,得f(5)>f(4)+f(3)>5+3=8;f(6) >f(5)+f(4)>8+5=13;f(7)>f(6)+f(5) >13+8=21;f(8)>f(7)+f(6)>21+13= 34;f(9)>f(8)+f(7)>34+21=55;f(10)> f(9)+f(8)>55+34=89;f(11)>f(10)+ f(9)>89+55=144;f(12)>f(11)+f(10)> 144+89=233;f(13)>f(12)+f(11)>233+ 144=377;f(14)>f(13)+f(12)>377+233= 610;f(15)>f(14)+f(13)>610+377=987; ….显然f(16)>1000,所以f(20)>1000,故 选B. 2.解析: 因为f(x)= x ,x>0 1,x≤0 ,故f(x)= 3. 故答案为:3. 答案:3 必刷题七 函数的基本性质、幂函数、 函数的应用(一) 刷考点·保分 1.B A中函数在区间(0,+∞)上是减函数;B中 函数在区间(0,+∞)上是增函数;C中函数在 区间(0,+∞)上是减函数;D中函数对称轴是x = 32 ,所 以 函 数 在 0,32 上 为 减 函 数,在 3 2 ,+∞ 上为增函数. 2.ABD 若一个函数出现两个或两个以上的单调 区间时,不能用“∪”连接.故C错误. 3.D 由题意知,f(x)在 R 上为减函数.由题意 知,a≤-b,b≤-a,∴f(a)≥f(-b),f(b)≥ f(-a),∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). 4.解析:3a-1<0 , (3a-1)+4a≥-1+1, 得17≤a<13. 答案:1 7 ,1 3 5.D 函数y=x2+2x+2=(x+1)2+1,所以图 象开口向上,对称轴是x=-1,最小值为1,要 使函数值为5,需x=1或x=-3,所以m 的取 值范围是[-3,-1]. 6.D ∵f(x)=x2+bx+4,且f(1+x)=f(1-x), ∴f(x)图象开口向上且关于x=1对称, ∴f(x)在[1,+∞)上递增,而f(-2)=f(1- 3)=f(1+3)=f(4), ∴f(2)<f(3)<f(4)=f(-2). 7.ACD 本 题 考 查 函 数 奇 偶 性 的 定 义 及 图 象 特征. 8.A 由f(-5)=a(-5)7-b(-5)5+c(-5)3+ 2=-a·57+b·55-c·53+2=m,得a·57- b·55+c·53=2-m,则f(5)=a·57-b·55 +c·53+2=2-m+2=4-m.所以f(5)+ f(-5)=4-m+m=4. 9.C 因为对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2), 都有(x2-x1)·[f(x2)-f(x1)]>0,故f(x) 在x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2)上单调递增.又因 为f(x)是偶函数,所以f(x)在[0,+∞)上单调 递减,且满足n∈N*时,f(-2)=f(2),由3>2 >1>0,得f(3)<f(-2)<f(1). 10.AD 本题既可用定义来判断,也可由函数的 图象直接求解,得(1)(4)满足定义. 11.解析:因为y=x 1 2在定义域[0,+∞)上是增函 数,所以 3-2m≥0, m+1≥0, 3-2m>m+1. 解得-1≤m<23. 故m 的取值范围是 -1,23 . 答案:-1,23 12.ABD 依题意可设SA(t)=20+kt,SB(t)= mt.又SA(100)=SB(100), ∴100k+20=100m,得k-m=-0.2,∴SA(t) -SB(t)=20+(k-m)t=-0.2t+20, ∴t<100时,SA(t)>SB(t),易选择 B 种方 式;t>100时,SA(t)<SB(t),易 选 择 A 种 方式; t=150时,SA(150)-SB(150)=20+150k- 150m=20+150×(-0.2)=-10,即选择 A 种方式比选择B 种方式少花10元. 13.B 已知x=at-4.9t2,由条件t=5s时,x= 245m,得a=73.5,所以x=73.5t-4.9t2,子 弹保持在245m以上(含245m),即x≥245, 所以73.5t-4.9t2≥245,解得5≤t≤10.因此, 子弹保持在245m以上的高度有5s. 刷综合·高分 1.(1)证明:令x=y=0,得f(0)+f(0)=f(0), ∴f(0)=0. 又令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(x-x)= f(0)=0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —46—