必刷题九 对数与对数函数、函数的应用(二)-【玩转假期必刷题】2024年高一数学寒假作业

必刷题九 对数与对数函数、函数的应用(二) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷考点·保分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 对数的概念 1.已知f(x3)=logax,且f(8)=1,则a= ( ) A.13 B. 1 2 C.2 D.3 2.(多选)下列各式中正确的是 ( ) ①lg(lg10)=0;②lg(lne)=0;③若10=lgx,则x =10;④若e=lnx,则x=e2. A.① B.② C.③ D.④ 对数的运算 3.设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,则 ( ) A.1c= 1 a+ 1 b B. 2 c= 2 a+ 1 b C.1c= 2 a+ 2 b D. 2 c= 1 a+ 2 b 4.(多选)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等 式中不成立的是 ( ) A.logab·logcb=logca B.logab·logca=logcb C.loga(bc)=logab·logac D.loga(b+c)=logab+logac 对数函数的概念 5.已知函数f(x)= 2x-1-2,x≤1, -log2 x+1 ,x>1, 且f(a)= -3,则f(6-a)= ( ) A.-74 B.- 5 4 C.- 3 4 D.- 1 4 6.已知函数f(x)=ln(1+9x2-3x)+1,则f(lg2) +flg12 = ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 类型一 换底公式的应用 【例1】 计算:(1)(log43-log83) (log32-log92); (2)(log2125+log425+log85)· (log52+log254+log1258). (3)已知log189=a,18b=5,试用 a,b表示log3645. 【关键技巧】 1.换底公式的作用 是将不同底数的对数式转化成同 底数的对数式,将一般对数式转 化成自然对数式或常用对数式来 运算.要注意换底公式的正用、逆 用及变形应用. 2.带有附加条件的代数式求值问 题,需要对已知条件和所求式子 进行化简转化,原则上是化为同 底的对数,以便利用对数的运算 法则.要整体把握代数式的结构 特征,灵活运用指数式与对数式 互化进行解题. 【解】 (1)原式 =lg3lg4- lg3 lg8 lg2lg3-lg2lg9 = lg32lg2- lg3 3lg2 lg2lg3-lg22lg3 =lg36lg2× lg2 2lg3= 1 12. (2)方法一 原式=log253+ log25 log24 + log25 log28 log52+ log54 log525 + log58 log5125 = 3log25+ 2log25 2log2 + log25 3log2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —82— 对数函数的图象和性质 7.若logm3<logn3<0,则m,n应满足的条件是 ( ) A.m>n>1 B.n>m>1 C.1>n>m>0 D.1>m>n>0 8.(多选)对于函数f(x)定义域中任意的x1,x2(x1 ≠x2)有如下结论: ①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2); ②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2); ③f (x1)-f(x2) x1-x2 >0; ④f x1+x2 2 <f(x1)+f(x2)2 .当f(x)=lgx时, 上述结论中正确结论的序号为 ( ) A.① B.② C.③ D.④ 9.若y=loga(ax+3)(a>0,且a≠1)在区间(-1,+∞) 上是增函数,则a的取值范围是 . 函数的应用(二) 10.函数y=x3 与y= 12 x 的图象的交点为(x0, y0),则x0 所在区间为 ( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 11.已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下的 对应值表: x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 f(x)-136 -21 6 19 13 -1 -8 -2 4 29 98 则下列判断正确的是 .(填序号) ①函数f(x)在区间(-1,0)内有零点; ②函数f(x)在区间(2,3)内有零点; ③函数f(x)在区间(5,6)内有零点; ④函数f(x)在区间(-1,7)内有三个零点. 函数模型的应用 12.在自然界中,某种植物生长发育的数量y与时间 x 的关系如下表所示: x 1 2 3 … y 1 3 5 … log52+ 2log52 2log5 + 3log52 3log5 = 3+1+13 log25·(3log52)= 13log25· log2 log25 =13. 方法二 原式= lg125 lg2 + lg25 lg4+ lg5 lg8 lg2 lg5+ lg4 lg25+ lg8 lg125 = 3lg5lg2+ 2lg5 2lg2+ lg5 3lg2 lg2 lg5+ 2lg2 2lg5+ 3lg2 3lg5 = 13lg53lg2 3lg2lg5 =13. (3)解 方法一 ∵log189=a,18b =5即log185=b, ∴log3645= log1845 log1836 = log18(9×5) log18(18×2) = log189+log185 1+log182 = a+b 1+log18 18 9 =a+b2-a. 方法二 ∵log189=a,18b=5即 log185=b, ∴ log36 45 = log18(9×5) log18 182 9 = log189+log185 2log1818-log189 =a+b2-a. 方法三 ∵log189=a,18b=5, ∴lg9=alg18,lg5=blg18. ∴log3645= lg45 lg36= lg(9×5) lg18 2 9 =lg9+lg52lg18-lg9 =alg18+blg182lg18-alg18= a+b 2-a. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —92— 下面的函数关系式中,能表达这种关系的是 ( ) A.y=2x-1 B.y=x2-1 C.y=2x-1 D.y=1.5x2-2.5x+2 13.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假 设函数t=-144lg1-N90 中,t表示达到某一英文 打字水平所需的学习时间,N 表示每分钟打出的字 数.则当 N=40时,t= .(已知lg2≈ 0.301,lg3≈0.477) 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷综合·高分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.(1)求函数f(x)=loga(2x2-3x-2)的单调区间. (2)若函数f(x)=log2 x2-4x+5 ,x∈ 1,a 的值 域为 0,1 ,求实数a的取值范围. 类型二 对数函数性质的综合 应用 【例2】 已 知 函 数 f(x)=ln 1-mx x-1 是奇函数. (1)求m 的值; (2)判定f(x)在(1,+∞)上的 单调性,并加以证明. 【关键技巧】 “化整为零”求解 对数综合问题 常见的对数函数的综合问题及 解决策略 (1)已知某函数是奇函数或偶 函数,求其中某参数值时,常用 方法有两种: ①由f(-x)=±f(x)直接列 关于参数的方程(组)求解. ②由f(-a)=±f(a)(其中a 是某具体数)得关于参数的方 程(组),求解,但此时需检验. (2)用定义证明y=logaf(x)型 函数的单调性时,应先比较与 x1,x2 对应的两真数间的大小 关系,再利用对数函数的单调 性,比较出两函数值之间的大 小关系. 【解】 (1)f(-x)= ln1+mx-x-1=ln -1-mx 1+x , -f (x)= -ln1-mxx-1 = lnx-11-mx , ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)= -f(x),即ln -1-mx1+x =ln -1+x 1-mx ,∴-1-mx1+x = -1+x 1-mx , 解得m=±1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —03— 2.已知函数f(x)=log3 1-x a+bx (a>0,b>0)在其定义域 内是奇函数. (1)求a,b的值,并判断f(x)的单调性(写简要理由, 不要求用定义证明); (2)解关于x不等式f 4 x-2x 2 +f4 x-2x-1 2 <1. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷真题·满分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.(2024· 新 课 标 Ⅰ 卷)已 知 函 数 为 f(x)= -x2-2ax-a,x<0 ex+ln(x+1),x≥0 ,在R上单调递增,则a的取值 范围是 ( ) A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 2.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=(x+a)ln(x+ b).若f(x)≥0,则a2+b2 的最小值为 ( ) A.18 B. 1 4 C. 1 2 D.1 当m=1时,1-mxx-1=-1 ,函数 无意义,∴m=-1. (2)f(x)在(1,+∞)上是减函 数,证明如下:由(1)知f(x)= lnx+1x-1=ln1+ 2 x-1 . 任取x1,x2 满足1<x1<x2,则 1+ 2x1-1 - 1+ 2x2-1 = 2x1-1 - 2x2-1 = 2(x2-x1) (x1-1)(x2-1) . ∵x2-x1>0,x1-1>0,x2-1 >0, ∴ 2(x2-x1) (x2-1)(x1-1) >0, ∴1+ 2x1-1 >1+ 2x2-1 , ∴ln1+ 2x1-1 > ln1+ 2x2-1 ,即f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(1,+ ∞)上 为 减 函数. 【学习笔记】 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —13— ∴52-b≥1 ,∴f f 56 =252-b=4,∴52-b =2, 即b=12. 10.B 因为f(x)是奇函数且在x=0处有意义, 所以 f(0)=0,即m-12 =0 ,所 以 m=1,故 f(m)=f(1)=2 1-1 21+1 =13. 11.D a=40.9=21.8,b=80.48=21.44,c= 12 -1.5 =21.5,因为函数y=2x 在R上是增函数,且1. 8>1.5>1.44,所以21.8>21.5>21.44,即a>c >b. 12.BC ∵f(-x)=π -x-πx 2 =- πx-π-x 2 = -f(x), ∴f(x)为奇函数. 又y=πx 在(0,+∞)上单调递增,y=π-x 在 (0,+∞)上单调递减,∴y=πx-π-x在(0,+∞) 上单调递增,故f(x)在(0,+∞)上单调递增. 故选BC. 13.解析:由题意可知1+2x+a·4x≥0在(-∞, 1]上恒成立, 即a≥- 14 x - 12 x 在(-∞,1]上恒成立. 又y=- 14 x - 12 x =- 12 2x - 12 x 在 (-∞,1]上的最大值为-34 ,∴a≥-34. 答案:-34 ,+∞ 刷综合·高分 1.(1)解:∵x- xy-2y=0,x>0,y>0, ∴(x)2- xy-2(y)2=0, ∴(x+ y)(x-2 y)=0. 由x>0,y>0得 x+ y>0,∴ x-2 y=0, ∴x=4y, ∴2x- xy y+2 xy =8y-2yy+4y= 6 5. (2)证明:由ab=ba 知,b=a b a, 则左边=a a b b a b = a a b a b a a b =a a b -1=a a-b b =右边.即 所证等式成立. 2.(1)解:∵f(0)=2 0-1 20+1 =0, ∴f[f(0)+4]=f(0+4)=f(4)=2 4-1 24+1 =1517. (2)证明:设x1,x2∈R且x1<x2, 则2x 2 >2x 1 >0,2x 2 -2x 1 >0, ∴f (x2)-f (x1)= 2x 2 -1 2x 2 +1 -2 x1-1 2x 1 +1 = 2(2x 2 -2x 1 ) (2x 2 +1)(2x 1 +1) >0, 即f(x1)<f(x2),故f(x)在R上是增函数. (3)解:由0<f(x-2)<1517 得f(0)<f(x-2) <f(4), 又f(x)在R上是增函数,∴0<x-2<4, 即2<x<6,故不等式的解集是{x|2<x<6}. 刷真题·满分 1.C 由函数y=x3 单调递增可知,若a3=b3,则a =b;由函数y=3x 单调递增可知,若3a=3b,则 a=b.故“a3=b3”是“3a=3b”的 充 要 条 件,故 选C. 2.D 通解(复合函数法):由题意得y=x(x-a) 在区间(0,1)单调递减,所以x=a2≥1 ,解得a ≥2.故选D. 光速解(特值法):取a=3,则y=x(x-3)= x-32 2 -94 在(0,1)单调递减,所以f(x)= 2x(x-3)在(0,1)单调递减,所以a=3符合题意, 排除A,B,C,故选D. 必刷题九 对数与对数函数、函数的应用(二) 刷考点·保分 1.C f(8)=f(23)=loga2=1,∴a=2. 2.AB 根据对数的概念及一些特殊值的对数进 行判断.①中lg10=1,所以lg(lg10)=0正确; ②中lne=1,所以lg(lne)=0正确;③中10= lgx,则x=1010,故③不正确;④中e=lnx,则x =ee,故④不正确. 3.B 设3a=4b=6c=t,则a=log3t,b=log4t,c= log6t.所以 1 a=logt3 ,1 b=logt4 ,1 c=logt6. 所 以2 a+ 1 b=logt9+logt4=2logt6= 2 c. 4.ACD 由对数的运算公式loga(bc)=logab+ logac可判断选项C,D不成立.选项A,由对数 的换底公式知logab·logcb=logca⇒ lgb lga ·lgb lgc =lgalgc⇒ (lgb)2=(lga)2,此式不成立.选项B, 由对数的换底公式知logab·logca= lgb lga ·lga lgc =lgblgc=logcb, 故恒成立. 5.A 因为f(x)= 2x-1-2,x≤1, -log2 x+1 ,x>1, f(a)=-3, 所以 a>1 -log2 a+1 =-3 或 a≤12a-1-2=-3 , 解得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2(-1-1)-2 =-74. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —66— 6.D f(x)+f(-x)=ln(1+9x2 -3x)+ ln(1+9x2+3x)+2=ln(1+9x2-9x2)+2= ln1+2=2,由上式关系知f(lg2)+flg12 =f(lg2)+f(-lg2)=2. 7.D 因为logm3<logn3<0,所以0<n<1,0<m <1且lg3lgm< lg3 lgn<0 ,即lg3 1lgm- 1 lgn <0 ⇔lg3lgn-lgmlgm·lgn <0. 因为lg3>0,lgm<0,lgn<0,所以lgn-lgm <0,即lgn<lgm⇔n<m,所以1>m>n>0. 8.BC ∵f(x)=lgx,则f(x1·x2)=lg(x1·x2) =lgx1+lgx2=f(x1)+f(x2),∴②正确①不 正确;又f (x1)-f(x2) x1-x2 = lgx1-lgx2 x1-x2 ,∵f(x) =lgx为(0,+∞)上的增函数,不妨设x1<x2, 则lgx1-lgx2<0,x1-x2<0,可得③正确.由 函数的图象可知④不正确. 9.解析:因为y=loga(ax+3)(a>0且a≠1)在区 间(-1,+∞)上是增函数, 所以 -a+3≥0, a>1, a>0且a≠1, 解得1<a≤3.故a的取值 范围是(1,3]. 答案:(1,3] 10.C 设f(x)=x3- 12 x ,显然f(x)为单调递 增函数,又f(0)=-1,f(1)=12 ,∴f(x)的零 点在(0,1)内,又y=x3 与y= 12 x 的交点为 (x0,y0),则x0∈(0,1). 11.解析:f(-1)·f(0)<0,f(2)·f(3)<0, f(5)·f(6)<0,又f(x)的图象连续不断,所 以函数f(x)在(-1,0),(2,3),(5,6)三个区 间上均有零点,但不能断定有几个零点,故① ②③正确,④不正确. 答案:①②③ 12.A 由表格知,选项B,当x=1时,y=0≠1;选 项C,当x=3时,y=7≠5;选项 D,当x=3 时,y=8≠5;选项A,将已知数据代入均满足. 13.解析:当 N=40时,t= -144lg 1-4090 = -144lg59=-144 (lg5-2lg3)=-144(1- lg2-2lg3)=36.72. 答案:36.72 刷综合·高分 1.解:(1)由2x2-3x-2>0,得函数f(x)的定义 域为 -∞,-12 ∪(2,+∞). ①当a>1时,t=2x2-3x-2在(2,+∞)上为 增函数,在 -∞,-12 上为减函数, ∴f (x)在 (2,+ ∞)上 为 增 函 数,在 -∞,-12 上为减函数. ②当0<a<1时,t=2x2-3x-2在(2,+∞)上 为增函数,在 -∞,-12 上为减函数, ∴f (x)在 (2,+ ∞)上 为 减 函 数,在 -∞,-12 上为增函数. 综上,由①②可知,当a>1时,f(x)的单调增区 间为(2,+∞),单调减区间为 -∞,-12 ;当 0<a <1 时,f (x)的 单 调 增 区 间 为 -∞,-12 ,单调减区间为(2,+∞). (2)解 ∵f(x)=log2(x2-4x+5)的值域为 [0,1],∴1≤x2-4x+5≤2.由y=x2-4x+5 的图象可知,当x=1或x=3时,log2(x2-4x +5)=1,当x=2时,log2(x2-4x+5)=0,又x ∈[1,a],∴2≤a≤3,故实数a 的取值范围是 [2,3]. 2.解:(1)依题意,f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-f(-x),即 log3 1-x a+bx= -log3 1+x a-bx=log3 a-bx 1+x ,则 1-x a+bx= a-bx 1+x ,显然a=1,b=1,经验证,当a= b=1时,函数f(x)=log3 1-x 1+x 在其定义域内是 奇函数,满足题设. 由f(x)=log3 2-(x+1) 1+x =log3 21+x-1 , 得其定义域为(-1,1), 由复合函数的单调性可知,函数f(x)在(-1,1)上 单调递减. (2)令t=4 x-2x 2 ∈ (-1,1),且t-12∈ (-1, 1),则-12<t<1 ,即-1<4x-2x<2,解得x< 1,∴ 原 不 等 式 等 价 为 f(t)+f t-12 = log3 1-t 1+t+log3 3 2-t 1 2+t =log3 (1-t)(3-2t) (1+t)(1+2t)<1=log3 , ∴ (1-t)(3-2t) (1+t)(1+2t)<3 ,解得t>0或t<-72 (舍), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —76— ∴0<t<1,即0<4 x-2x 2 <1 ,∴0<4x-2x<2. 令 m = 2x > 0, 则 m2-m>0, m2-m<2, 解 得 m>1或m<0, -1<m<2, 故1<m<2, 即1<2x<2.∴0<x<1. 因此,不等式的解集为(0,1). 刷真题·满分 1.B 逻辑分析法+数形结合法.因为函数f(x) 在R上单调递增,且当x<0时,f(x)=-x2- 2ax-a,所以f(x)=-x2-2ax-a 在(-∞, 0)上单调递增,所以-a≥0,即a≤0;当x≥0 时,f(x)=ex+ln(x+1),所以函数f(x)在[0, +∞)上单调递增.若函数f(x)在 R上单调递 增,则-a≤f(0)=1,即a≥-1.综上,实数a的 取值范围是[-1,0].故选B. 2.C 等价转化法 由f(x)≥0及y=x+a,y= ln(x+b)单调递增,可得x+a 与ln(x+b)同 正、同负或同为零,所以当ln(x+b)=0时,x+ a=0,即 x+b=1 x+a=0 ,所以b=a+1,则a2+b2=a2 +(a+1)2=2 a+12 2 +12≥ 1 2 ,故选C. 必刷题十 任意角与弧度制、三角函数的 概念、诱导公式 刷考点·保分 1.BD -120°是第三象限角;-240°是第二象限 角;180°角不在任何一个象限内;495°=360°+ 135°,所以495°是第二象限角. 2.D 设这个角为α,则5α=k·360°+α,k∈Z,α =k·90°,k∈Z,又因为0°<α<360°,所以α= 90°,180°或270°. 3.ABC 对于A,终边在x 轴上角的集合是{α|α =kπ,k∈Z},故A正确; 对 于 B,终 边 在 y 轴 上 的 角 的 集 合 是 αα=π2+kπ ,k∈Z ,故B正确; 对 于 C,终 边 在 x 轴 上 的 角 的 集 合 为 αα=kπ,k∈Z ,终 边 在 y 轴 上 的 角 的 集 合 为 αα=π2+kπ ,k∈Z , 故 合 在 一 起 即 为 αα=kπ,k∈Z ∪ αα=π2+kπ ,k∈Z = αα=kπ2,k∈Z ,故C 正确; 对于 D,终 边 在 直 线 y=x 上 的 角 的 集 合 是 αα=π4+kπ ,k∈Z ,故D错误. 4.解析:α=lr= 12 8= 3 2 , S=12l ·r=12×12×8=48. 答案:3 2 48 5.AC 由题意可知sinθ与cosθ同号,故θ在第 一或第三象限,故选AC. 6.解析:设点 M 的坐标为(x,y),易知x2+y2=1 且sinα=y=- 22 , 所以x2=1-y2=1-12= 1 2 ,即x=± 22 , 所以tanα=yx=±1. 答案:±1 7.B sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α- cos2α)=sin2α-cos2α=2sin2α-1=-35. 8.B 由(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=169 ,得 2sinθcosθ=79 ,则(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ =29 ,由0<θ≤π4 ,知sinθ-cosθ≤0,所以sinθ- cosθ=- 23. 9.解析:因为2020°=5×360°+220°, 所以2020°与220°终边相同,是第三象限角, 所以tan2020°>0,cos2020°<0, 答案:四 10.BC 由题意可知α=-β,∴sinα=sin(-β)= -sinβ;sin(α-2π)=sinα=-sinβ;cosα= cos(-β)=cosβ;cos(2π-α)=cos(-α)=cosα= cosβ,故选BC. 11.C sin5π4-α =sinπ+π4-α =-sin π4-α =sinα-π4 = 32. 12.A cos π4+α =cosα-π4+π2 =-sinα-π4 =-13.故选A. 13.A 原 式 = sin(θ-π)cos π2+θ cosθ cosθsin(-θ) = (-sinθ)(-sinθ)cosθ cosθ(-sinθ) =-sinθ. 刷综合·高分 1.解:(1)∵cosα=-817<0 , ∴α是第二或第三象限角. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —86—