必刷题八 指数与指数函数-【玩转假期必刷题】2024年高一数学寒假作业

必刷题八 指数与指数函数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷考点·保分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 根式 1.(多选)若 4a2-4a+1= 3(1-2a)3,则实数a的取值 可以是 ( ) A.-32 B.- 1 2 C.12 D. 3 2 2.若n<m<0,则 m2+2mn+n2- m2-2mn+n2等于 ( ) A.2m B.2n C.-2m D.-2n 分数指数幂的运算 3.(多选)下列根式与分数指数幂的互化错误的是 ( ) A.- x=(-x) 1 2(x>0) B. 6 y2=y 1 3(y<0) C.x- 3 4= 4 1 x 3 (x>0) D.x- 3 4=-3x(x≠0) 4.设a>0,将 a 2 a· 3a2 表示成分数指数幂,其结果是 ( ) A.a 1 2 B.a 5 6 C.a 7 6 D.a 3 2 指数函数的概念 5.若函数y=(a2-4a+4)ax 是指数函数,则a的值是 ( ) A.4 B.1或3 C.3 D.1 6.若指数函数f(x)的图象过点(3,8),则f(x)的解析式 为 ( ) A.f(x)=x3 B.f(x)=2x C.f(x)= 12 x D.f(x)=x 1 3 类型一 指数函数的定义域、 值域 【例1】 求下列函数的定义域 和值域: (1)y=2 1 x-4;(2)y= 13 x-2 ; (3)y=4x-4·2x+1. 【关键技巧】 (1)形如y= af(x)的值域,应先求出f(x)的 值域,再由函数的单调性求出 af(x)的值域.若a的取值范围不 确定,则需对a进行分类讨论. (2)形如y=fax 的值域,要先 求出u=ax 的值域,再结合y= fu 确定出y=fax 的值域. 【解】 (1)由x-4≠0,得x≠ 4,所 以 函 数 的 定 义 域 是 xx∈R,且x≠4 . 因 为 1 x-4≠0 ,所以2 1 x-4≠1,故y =2 1 x-4的值域为 yy>0,且y≠1 . (2)由x-2≥0,得x≥2,所以 函数的定义域是 xx≥2 . 当x≥2时,x-2≥0,又0< 1 3<1 ,所以y= 13 x-2 的值 域为 y0<y≤1 . (3)函数的定义域是 R.记t= 2x>0,则 y=t2-4t+1= t-2 2-3,故当t=2即2x =2(解得x=1)时,y 取得最 小 值 -3.所 以 函 数 的 值 域 为 -3,+∞ . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —52— 指数函数的图象 7.若函数y=ax+b的图象如图,则函数y= 1x+a+b+1 的图象为 ( ) 8.函数y=a-|x|(0<a<1)的图象是 ( ) 指数函数的 性质 9.设函数f(x)= 3x-b,x<1, 2x,x≥1, 若ff 56 􀭤􀭥 􀪁 􀪁􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 =4,则b= ( ) A.1 B.78 C. 3 4 D. 1 2 10.已知函数f(x)=m ·2x-1 2x+1 为奇函数,则f(m)= ( ) A.12 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 11.设a=40.9,b=80.48,c= 12 -1.5 ,则 ( ) A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b 指数函数的图像与性质的综合应用 12.(多选)关于函数f(x)=π x-π-x 2 的说法中正确的是 ( ) A.偶函数 B.奇函数 C.在(0,+∞)上是增函数 D.在(0,+∞)上是减函数 13.设函数y= 1+2x+a·4x,若函数在(-∞,1]上有意 义,则实数a的取值范围是 . 类型二 指数函数的综合应用 【例 2】 已 知 f (x)= x 12x-1+ 1 2 . (1)求f(x)的定义域; (2)判断f(x)的奇偶性,并说 明理由; (3)求证:f(x)>0. 【关键技巧】 解决指数函数 性质的综合问题的注意点 (1)注意代数式的变形,如分 式通分、因式分解、配方法、分 母(或 分 子)有 理 化 等 变 形 技巧. (2)解答函数问题注意应在函 数定义域内进行. (3)由于指数函数单调性与底 数有关,因此要注意是否需要 讨论. (4)形如y=af(x)的函数的单 调性,若a>1,y=af(x)的单 调性与u=f(x)的单调性相 同,若0<a<1,y=af(x)的单 调性 与u=f(x)的 单 调 性 相反. 【解】 (1)由2x-1≠0得2x ≠20,故x≠0,∴函数f(x)的 定义域为{x∈R|x≠0}. (2)函数f(x)是偶函数.理由 如下: 由(1)知函数f(x)的定义域 关于原点对称, ∵f(x)=x 1 2x-1 +12 = x 2 ·2 x+1 2x-1 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —62— 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷综合·高分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.(1)若x>0,y>0,且x- xy-2y=0,求2x- xy y+2 xy 的值; (2)已知a>0,b>0,且ab=ba,求证:ab a b =a a-b b . 2.已知函数f(x)=2 x-1 2x+1 . (1)求f[f(0)+4]的值; (2)求证:f(x)在R上是增函数; (3)解不等式:0<f(x-2)<1517. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 刷真题·满分 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 1.(2024·天津卷)设a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0, 1)单调递减,则a的取值范围是 ( ) A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) ∴f(-x)=-x2 ·2 -x+1 2-x-1 = -x2 ·(2 -x+1)·2x (2-x-1)·2x =-x2 ·1+2 x 1-2x =x2 ·2 x+1 2x-1 =f(x), ∴f(x)为偶函数. (3)证明:由(2)知f(x)= x 2 ·2 x+1 2x-1 . 对于任意x∈R,都有2x+1> 0, 若x>0,则2x>20, 所 以 2x -1>0,于 是x2 · 2x+1 2x-1 >0,即f(x)>0; 若x<0,则2x<20, 所 以 2x -1<0,于 是x2 · 2x+1 2x-1 >0,即f(x)>0. 综上知,f(x)>0. 【学习笔记】 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —72— ∴f(-x)=-f(x). 任取x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0, f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1). ∵x2-x1>0,依题设x>0时,有f(x)<0, ∴f(x2-x1)<0,即f(x2)-f(x1)<0, ∴f(x2)<f(x1). ∴y=f(x)在R上是减函数. (2)解:∵[-3,3]⫋R,故f(x)max=f(-3), f(x)min=f(3).由(1)可知f(-3)=-f(3). 又f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=f(1+1)+ f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3× -23 =-2, ∴f(-3)=-f(3)=2, ∴f(x)max=f(-3)=2,f(x)min=f(3)=-2. 2.解:(1)函数f(x)=x+kx (k>0)为奇函数,理 由如下:由题意得f(x)的定义域为(-∞,0)∪ (0,+∞),它关于原点对称, 对于任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞), ∵f(-x)=-x-kx=-f (x), ∴f(x)是奇函数. ∵f(-1)=-(k+1),f(1)=k+1,k>0, ∴f(-1)≠f(1),∴f(x)不是偶函数, ∴f(x)是奇函数,不是偶函数. (2)函数f(x)=x+4x 在(0,2]内是减函数. 证明如下:任取x1,x2∈(0,2],且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=x1+ 4 x1 -x2- 4 x2 =(x1-x2) + 4(x2-x1) x1x2 =(x1-x2)1- 4 x1x2 =x1-x2x1x2 (x1x2-4). ∵0<x1<x2≤2,∴x1-x2<0,0<x1x2<4, ∴x1x2-4<0. ∴f(x1)-f(x2)>0. ∴f(x1)>f(x2), 因此,函数f(x)=x+4x 在(0,2]内是减函数. ∵f(2)=4,∴函数的值域为[4,+∞). 刷真题·满分 1.解析:通解:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)= -f(x),即(-x)3+a=-(x3+a),得a=0. 优解:因为f(x)是奇函数,所以f(0)=a=0. 答案:0 2.B 通解:设g(x)=ln2x-12x+1 ,易知g(x)的定义 域为 -∞,-12 ∪ 12,+∞ ,且g(-x)=ln -2x-1 -2x+1=ln 2x+1 2x-1=-ln 2x-1 2x+1=-g (x),所 以g(x)为奇函数.若f(x)=(x+a)ln2x-12x+1 为 偶函数,则y=x+a也应为奇函数,所以a=0, 故选B. 优解:因为f(x)=(x+a)ln2x-12x+1 为偶函数, f(-1)=(a-1)ln3,f(1)=(a+1)ln13= -(a+1)ln3,所以(a-1)ln3=-(a+1)ln3, 解得a=0,故选B. 必刷题八 指数与指数函数 刷考点·保分 1.ABC 因为 4a2-4a+1= 3(1-2a)3,所以|2a -1|=1-2a.则2a-1≤0,解得a≤12. 2.C m2+2mn+n2- m2-2mn+n2 = (m+n)2- (m-n)2 =|m+n|-|m-n|. ∵n<m<0,∴m+n<0,m-n>0, ∴原式=-(m+n)-(m-n)=-m-n-m+n =-2m. 3.ABD - x=-x 1 2(x>0); 6 y2=[(y)2] 1 6 = -y 1 3(y<0);x- 3 4=(x-3) 1 4= 4 1 x 3 (x>0); x- 1 3= 1x 1 3 = 3 1 x (x≠0).故选ABD. 4.C 由题意 a 2 (a· 3 a2) 1 2 =a2- 1 2- 1 3=a 7 6.故选C. 5.C 由题意得 a>0, a≠1, a2-4a+4=1, 解得a=3, 故选C. 6.B 设f(x)=ax(a>0,且a≠1),则由f(3)= 8,得a3=8,∴a=2,∴f(x)=2x. 7.C 由y=ax+b的图象知,0<a<1,-2<b< -1,y= 1x+a+b+1 的图象可看作由y=1x 先 向左平移a 个单位,再向下平移-(b+1)个单 位得到. 8.A y=a-|x|= 1a |x| ,易知函数为偶函数, ∵0<a<1,∴1a>1 ,故当x>0时,函数为增函 数,当x<0时,函数为减函数,当x=0时,函数 有最小值,最小值为1,且指数函数为凹函数,故 选A. 9.D ∵f 56 =3×56-b=52-b,若52-b<1, 则3 52-b -b=4,得b=78与52-b<1即b> 3 2 矛盾, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —56— ∴52-b≥1 ,∴f f 56 =252-b=4,∴52-b =2, 即b=12. 10.B 因为f(x)是奇函数且在x=0处有意义, 所以 f(0)=0,即m-12 =0 ,所 以 m=1,故 f(m)=f(1)=2 1-1 21+1 =13. 11.D a=40.9=21.8,b=80.48=21.44,c= 12 -1.5 =21.5,因为函数y=2x 在R上是增函数,且1. 8>1.5>1.44,所以21.8>21.5>21.44,即a>c >b. 12.BC ∵f(-x)=π -x-πx 2 =- πx-π-x 2 = -f(x), ∴f(x)为奇函数. 又y=πx 在(0,+∞)上单调递增,y=π-x 在 (0,+∞)上单调递减,∴y=πx-π-x在(0,+∞) 上单调递增,故f(x)在(0,+∞)上单调递增. 故选BC. 13.解析:由题意可知1+2x+a·4x≥0在(-∞, 1]上恒成立, 即a≥- 14 x - 12 x 在(-∞,1]上恒成立. 又y=- 14 x - 12 x =- 12 2x - 12 x 在 (-∞,1]上的最大值为-34 ,∴a≥-34. 答案:-34 ,+∞ 刷综合·高分 1.(1)解:∵x- xy-2y=0,x>0,y>0, ∴(x)2- xy-2(y)2=0, ∴(x+ y)(x-2 y)=0. 由x>0,y>0得 x+ y>0,∴ x-2 y=0, ∴x=4y, ∴2x- xy y+2 xy =8y-2yy+4y= 6 5. (2)证明:由ab=ba 知,b=a b a, 则左边=a a b b a b = a a b a b a a b =a a b -1=a a-b b =右边.即 所证等式成立. 2.(1)解:∵f(0)=2 0-1 20+1 =0, ∴f[f(0)+4]=f(0+4)=f(4)=2 4-1 24+1 =1517. (2)证明:设x1,x2∈R且x1<x2, 则2x 2 >2x 1 >0,2x 2 -2x 1 >0, ∴f (x2)-f (x1)= 2x 2 -1 2x 2 +1 -2 x1-1 2x 1 +1 = 2(2x 2 -2x 1 ) (2x 2 +1)(2x 1 +1) >0, 即f(x1)<f(x2),故f(x)在R上是增函数. (3)解:由0<f(x-2)<1517 得f(0)<f(x-2) <f(4), 又f(x)在R上是增函数,∴0<x-2<4, 即2<x<6,故不等式的解集是{x|2<x<6}. 刷真题·满分 1.C 由函数y=x3 单调递增可知,若a3=b3,则a =b;由函数y=3x 单调递增可知,若3a=3b,则 a=b.故“a3=b3”是“3a=3b”的 充 要 条 件,故 选C. 2.D 通解(复合函数法):由题意得y=x(x-a) 在区间(0,1)单调递减,所以x=a2≥1 ,解得a ≥2.故选D. 光速解(特值法):取a=3,则y=x(x-3)= x-32 2 -94 在(0,1)单调递减,所以f(x)= 2x(x-3)在(0,1)单调递减,所以a=3符合题意, 排除A,B,C,故选D. 必刷题九 对数与对数函数、函数的应用(二) 刷考点·保分 1.C f(8)=f(23)=loga2=1,∴a=2. 2.AB 根据对数的概念及一些特殊值的对数进 行判断.①中lg10=1,所以lg(lg10)=0正确; ②中lne=1,所以lg(lne)=0正确;③中10= lgx,则x=1010,故③不正确;④中e=lnx,则x =ee,故④不正确. 3.B 设3a=4b=6c=t,则a=log3t,b=log4t,c= log6t.所以 1 a=logt3 ,1 b=logt4 ,1 c=logt6. 所 以2 a+ 1 b=logt9+logt4=2logt6= 2 c. 4.ACD 由对数的运算公式loga(bc)=logab+ logac可判断选项C,D不成立.选项A,由对数 的换底公式知logab·logcb=logca⇒ lgb lga ·lgb lgc =lgalgc⇒ (lgb)2=(lga)2,此式不成立.选项B, 由对数的换底公式知logab·logca= lgb lga ·lga lgc =lgblgc=logcb, 故恒成立. 5.A 因为f(x)= 2x-1-2,x≤1, -log2 x+1 ,x>1, f(a)=-3, 所以 a>1 -log2 a+1 =-3 或 a≤12a-1-2=-3 , 解得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2(-1-1)-2 =-74. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —66—