1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动-2024-2025学年高二物理精剖细解讲义（人教版2019选择性必修第二册）

1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动 ——精剖细解学习讲义 1、掌握带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的计算公式； 2、掌握圆心的确定方法； 3、掌握圆周半径的确定方法； 4、掌握圆周运动的圆心角与时间的确定方法。 考点一：带点粒子在匀强磁场中的运动 1、三种运动规律 带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下（电子等微观粒子的重力通常忽略不计），有三种运动情况： ①若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（v∥B），在匀强磁场中做匀速直线运动；②若带电粒子的速度方向与磁场方向垂直（v⊥B），在垂直于磁感线的平面内以入射 速度v做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力； ③运动方向与磁场方向既不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中做等半径、等螺距的螺 旋线运动。 2、圆周运动的计算公式 ①向心力公式：qvB＝m； ②轨道半径公式：r＝； ③周期公式：T＝＝；f＝＝；ω＝＝2πf＝。T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关； ④运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间； ⑤动能：。 3、圆周运动的圆心的确定方法 ①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如图（a）所示。 ②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示。 ③若已知一个点及运动方向和另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（c）所示，此时要将其中一个速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O，该点就是圆心。 ④轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。某点的速度垂线与切点法线的交点。如图。 如上图（d）所示，有四个角度关系：①速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)；②圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角(弦切角θ)的2倍(φ＝α＝2θ＝ωt)；③相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°；④进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等。 4、圆周运动的半径的确定方法 ①物理方程法：半径R＝。 ②几何法：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。如下图所示，R＝或由R2＝L2＋（R－d）2求得R＝。 5、圆周运动的圆心角与时间的确定方法 圆心角的确定：①φ（速度的偏向角）＝θ（圆弧所对应的圆心角）＝2α（弦切角），即φ＝θ＝2α＝ωt，如图所示；②偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α。 运动时间的计算：①由圆心角求，t＝·T；②由弧长求，t＝。 【注意】当带电体的速度一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；当带电体的速度变化时，圆心角大的运动时间长。 6、带电粒子在磁场做圆周运动的分析方法 画轨迹确定圆心。 确定运动过程的关系：①轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，即；②利用数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定半径；③寻找偏转角度与圆心角、运动时间的关系；④寻找带电粒子在磁场中运动时间与周期（T＝）的关系。 运动牛顿运动定律和圆周运动的规律等，进行分析及计算。 1．如图所示为洛伦兹力演示仪的结构图。励磁线圈产生的匀强磁场方向垂直纸面向外，电子束由电子枪产生，其速度方向与磁场方向垂直。电子速度的大小和磁场强弱可分别由通过电子枪的加速电压和励磁线圈的电流来调节（电流越大，磁场越强）。下列说法中正确的是（　　） A．仅增大励磁线圈中电流，电子束径迹的半径变大 B．仅提高电子枪加速电压，电子束径迹的半径变大 C．仅增大励磁线圈中电流，电子做圆周运动的周期将变大 D．仅提高电子枪加速电压，电子做圆周运动的周期将变大 【答案】B 【详解】A B．根据电子所受洛伦兹力的方向结合右手定则判断励磁线圈中电流方向是逆时针方向，电子在加速电场中加速，由动能定理有 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，有 解得 仅增大励磁线圈中电流，磁感应强度B增大，电子束径迹的半径变小，仅提高电子枪加速电压U，电子束径迹的半径变大，故A错误，B正确； C D．由电子做圆周运动的周期 仅增大励磁线圈中电流，磁感应强度B增大，电子做圆周运动的周期将变小，仅提高电子枪加速电压，电子做圆周运动的周期将不变，故CD错误； 故选B。 2．磁控溅射是一种新型溅射技术，如图甲所示，电子在跑道上的运动原理可以近似认为：从水平靶面电离出初速度为零的电子，在阴极暗区只受竖直方向的电场力作用，加速飞向负辉区，阴极暗区上下侧面间的电势差保持不变；电子进入负辉区的运动速度始终与磁场方向垂直，磁感应强度大小处处相等，电子绕行半个圆周之后，重新进入阴极暗区，回到靶面时，速度恰好为零。电子就实现跳跃式地朝右漂移，如图乙所示，简称漂移。则下列说法正确的是（　　）    A．负辉区中的整个磁场为匀强磁场 B．电子每次飞离靶面时，电场和磁场的方向均要与原先反向才能实现漂移 C．其他条件不变的情况下，阴极暗区厚度越大，电子到达负辉区的速度越大 D．在直道区，电子每次跳跃的水平距离相同 【答案】D 【详解】A．电子从阴极暗区进入负辉区的运动速度始终与磁场方向垂直，电子的速度方向时刻改变，所以磁场方向变化，则负辉区中的整个磁场不是匀强磁场，故A错误； B．电子每次飞离靶面时，电子都要加速运动电场方向不变，电子从阴极暗区进入负辉区所受洛伦兹力都是向右，磁场方向不变，故B错误； C．由动能定理可知电子到达负辉区的速度由阴极暗区的电压决定，与阴极暗区厚度无关，故C错误； D．阴极暗区上下侧面间的电势差保持不变，由，可知电子从阴极暗区进入负辉区的运动速度大小不变，磁感应强度大小处处相等，由，可知电子在负辉区做圆周运动的半径相同，所以电子绕行半个圆周之后，电子每次跳跃的水平距离相同，故D正确。 故选D。 3．如图所示，真空中竖直放置一根通电长直金属导线，电流方向向上。是一根水平放置的内壁光滑绝缘管，端点分别在以为轴心、半径为R的圆柱面上。现使一个小球自a端以速度射入管，小球半径略小于绝缘管半径且带正电，小球重力忽略不计，小球向b运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球受到的洛伦兹力始终为零 B．洛伦兹力对小球先做正功，后做负功 C．小球的速率先增大后减少 D．管壁对小球的弹力方向先竖直向上，后竖直向下 【答案】D 【详解】AD．当小球运动到ab中点时，磁感线的切线方向与小球速度方向平行，小球所受洛伦兹力为零；小球自a点到ab中点，所受洛伦兹力竖直向下，绝缘管壁对小球的弹力竖直向上；小球从ab中点至b点，所受洛伦兹力竖直向上，绝缘管壁对小球的弹力竖直向下，故A错误，D正确； BC．如图为俯视图，根据右手螺旋定则，磁感线如图所示 小球在磁场中受到洛伦兹力和弹力作用，洛伦兹力和弹力不做功，小球速率不变，故BC错误。 故选D。 4．如图所示，用绝缘轻丝线吊一质量为的带电塑料小球在竖直平面内摆动，水平磁场垂直于小球摆动的平面，当小球自图示位置摆到最低点时，悬线上的张力恰为零，若不计空气阻力，重力加速度为，则小球自右侧相同摆角处摆到最低点时悬线上的张力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设小球自题图示位置摆到最低点时速度大小为，因洛伦兹力不做功，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律 小球自左方摆到最低点时，悬线上的张力恰为零，可知洛伦兹力方向向上，在最低点合力提供向心力，由牛顿第二定律 当小球自右方相同摆角处摆到最低点时，根据左手定则，洛伦兹力方向向下，摆动过程中洛伦兹力也不做功，机械能守恒，则小球摆到最低点时速度仍为，由牛顿第二定律 联立解得 故选C。 5．2023年4月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装置创造了新的世界纪录。其中磁约束的简化原理如图：在半径为和的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，。假设氘核沿内环切线向左进入磁场，氚核沿内环切线向右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间的相互作用，则和的速度之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，根据左手定则，作图如图所示 由几何关系可知，氘核的半径为，有 则 由几何关系可知，氚核的半径为，有 则 即 由洛伦兹力提供向心力 可得 由题意可知，氘核和氚核的比荷之比为 故和的速度之比为 故选A。 6．如图所示，一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上的P1点以速度v射入第一象限所示的区域，入射方向与x轴正方向成α角。为了使该粒子能从x轴上的P2点射出该区域，且射出方向与x轴正方向也成α角，可在第一象限适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若磁场分布为一个圆形区域，则这一圆形区域的最小面积为（不计粒子的重力）（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 则粒子在磁场中做圆周的半径 由题意可知，粒子在磁场区域中的轨道为半径等于r的圆上的圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切，如图所示： 则到入射方向所在直线和出射方向所在直线相距为R的点就是圆周的圆心。粒子在磁场区域中的轨道就是以为圆心、R为半径的圆上的圆弧ef，而e点和f点应在所求圆形磁场区域的边界上，在通过e、f两点的不同的圆周中，最小的一个是以ef连线为直径的圆周，即得圆形区域的最小半径 则这个圆形区域磁场的最小面积 故选D。 7．如图所示，某真空室内充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够长的平面感光板MN，点a为MN与水平直线ab的交点，MN与直线ab的夹角为，ab间的距离为。在b点的点状的电子源向纸面内各个方向发射电子，电子做圆周运动的半径为，不计电子间的相互作用和重力，，则MN上被电子打中的区域的长度为（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【答案】C 【详解】电子从b点射出后，在磁场中沿顺时针方向做圆周运动， 如图所示的两个圆分别表示电子打在板上的两个临界情况，一个打在a点，一个打在C点，打在C点的电子轨迹恰好与板相切，过b点做MN的垂线bD，过O1做bD垂线O1E，由几何知识可得 又因 所以 可得 所以MN上被电子打中的区域的长度为 故选C。 8．长度为L的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，从距水平板中心正上方的P点处以水平向右的速度释放一个质量为m、电荷量为e的电子，若电子能打在水平板上，速度应满足（　　） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 根据分析，当半径很小或者半径很大时，电子均不能够到达水平板上，两个临界点轨迹分别与水平板相切、轨迹恰好经过水平板两端点，如图所示 根据几何关系可知 ， 解得 或 则有 故选C。 多选题 9．如图所示，以O点为原点建立空间直角坐标系，空间存在匀强磁场，一带负电的粒子由O点沿y轴正方向射出，粒子在yOz平面做圆周运动，且沿x轴正方向观察粒子为逆时针转动，则以下正确的是（　　） A．匀强磁场的方向指向x轴负方向 B．匀强磁场的方向指向x轴正方向 C．若仅增大磁场的磁感应强度，粒子转动周期将减小 D．若仅增大粒子由O点射出的速度，粒子转动的加速度将减小 【答案】AC 【详解】AB．根据题意，粒子的速度方向沿y轴正方向，粒子在yOz平面做圆周运动，且沿x轴正方向观察粒子为逆时针转动，则粒子在O点所受洛伦兹力的方向沿z轴负方向，所以根据左手定则可知，匀强磁场的方向指向x轴负方向，故A正确，B错误； C．根据洛伦兹力提供向心力有 所以 由此可知，若仅增大磁场的磁感应强度，粒子转动周期将减小，故C正确； D．粒子转动的加速度大小为 若仅增大粒子由O点射出的速度，粒子转动的加速度将增大，故D错误。 故选AC。 10．某兴趣小组在利用洛伦兹力演示仪（图甲）探究带电粒子在匀强磁场中运动的规律时，发现有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象简化成如图乙所示的情景来讨论：在空间存在平行于y轴的匀强磁场，由坐标原点在xOy平面内以初速度以沿与x轴正方向成角的方向射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于y轴，螺旋半径为R，螺距为，螺旋周期为T，则下列说法中正确的是 A．匀强磁场的方向为沿y轴负方向 B．若仅增大励磁线圈中的电流，则螺旋半径R减小 C．若仅增大电子的加速电压，则螺距将增大 D．若仅增大角，则螺旋周期T将减小 【答案】ABC 【详解】A．将电子的速度沿着x轴和y轴分解，如图所示 ， 电子沿着y轴正方向做匀速直线运动，在xOz面内做匀速圆周运动，根据图乙可知电子从O点开始向上偏转，电子在O点受到的洛伦兹力沿着z轴正方向，且电子带负电，利用左手定则可知匀强磁场的方向为沿y轴负方向，故A正确； B．由洛伦兹力提供向心力 得 若仅增大励磁线圈中的电流，则磁感应强度增大，根据半径表达式可知，电子做运动圆周运动的半径变小，故B正确； CD．电子在电场中加速，根据动能定理有 解得 根据运动学公式有，螺距为 电子做匀速圆周运动的周期为 可知，周期与角无关，若仅增大角，T不变，若仅增大电子的加速电压，由螺距表达式可知，螺距会更大，故C正确，D错误。 故选ABC。 11．如图，粗糙水平面上三点A、O、B共线，，在O点正上方距离为d处放置一根通电直导线P，电流方向水平向外。一质量为m的带正电小滑块Q从A点以初速度开始运动，同时给Q一水平外力使其沿直线由A到B，到达B点速度大小为，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则Q运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．A、B两点磁感应强度相同 B．Q做匀减速直线运动 C．外力先垂直纸面向里后垂直纸面向外 D．Q与水平面间的动摩擦因数为 【答案】BD 【详解】A．通电直导线周围产生的是环形磁场，距通电直导线距离相同的点其磁感应强度大小相等，根据安培定则可知，A点处的磁场垂直于AP斜向右下方，B点处的磁场垂直于BP斜向右上方，由此可知，A、B两点磁感应强度大小相等，方向不同，故A错误； C．小滑块Q受重力、支持力、洛伦兹力、摩擦力和水平外力，由A向B运动过程中，在垂直纸面方向小滑块合外力为零，分析可知，小滑块Q在垂直纸面的方向上所受洛伦兹力由垂直纸面向里变为垂直纸面向外，此过程中小滑块Q在垂直纸面的方向上还受水平外力和静摩擦力，因静摩擦力大小和方向不确定，所以水平外力方向不确定，故C错误； B．在运动方向上， 解得 Q做匀减速直线运动，故B正确； D．根据动能定理，有 解得 故D正确。 故选BD。 12．如图所示，P、Q、S是三个带同种电荷完全相同的带电小球，现将P、Q、S三小球从同一水平面上静止释放，P小球经过有界的匀强电场落到地面上，Q小球经过有界的匀强磁场落到地面上，S小球直接落到地面上，O点是它们释放点在地面上的投影点，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．只有S小球能落在O点上，且P、Q小球可以落在O点的异侧 B．只有S小球能落在O点上，且P、Q小球一定落在O点的同侧 C．三小球落地时，动能大小关系为EkP>EkQ=EkS D．三小球所用的时间关系为tP=tS>tQ 【答案】BC 【详解】AB．假设P、Q、S三个小球都带正电，则P小球进入电场受到水平向右的电场力，故P小球不能落到O点，降落到O点的右侧；Q小球由左手定则可知，将受到向右的洛伦兹力，向右发生偏转，故Q小球不能落到O点，降落到O点的右侧；S小球做自由落体运动，能落到O点上，故A错误，B正确； C．三个小球下落过程重力做功相同，而P小球有电场力做正功，Q小球洛伦兹力不做功，由动能定理可知，合外力对P小球做功最多，Q、S小球做功相同，故动能大小关系为 故C正确； D．P、S小球竖直方向均做自由落体运动，故时间相同，Q小球受洛伦兹力发生偏转，偏转过程中受到洛伦兹力竖直向上的分力，故下落的加速度变小，时间变大，故三小球所用的时间关系为 故D错误。 故选D。 13．如图所示，半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，方向垂直于纸面向里。边界上C点有一粒子源，可平行于纸面向磁场内任意方向发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子速度大小均为v0.不计粒子重力以及粒子间的相互作用，所有粒子运动半径均为R且离开磁场时速度方向均与AB平行，AB、CD为互相垂直的直径，则（　　） A．粒子离开磁场时速度方向平行AB向下 B．磁感应强度大小为 C．经过圆心O的粒子在磁场中运动的时间为 D．沿着CO方向射入的粒子在磁场中运动的时间为 【答案】BC 【详解】A．由于粒子做圆周运动的半径等于磁场圆的半径，根据磁发散原理可知，带正电的粒子从C点射入磁场中均平行于AB向上射出，故A错误； B．根据洛伦兹力提供向心力有 所以 故B正确； C．若粒子经过圆心O，则其圆心角等于120°，则 所以粒子在磁场中运动的时间为 故C正确； D．若粒子沿着CO方向射入磁场，其圆心角等于90°，所以粒子在磁场中运动的时间为 故D错误。 故选BC。 14．如图所示，用边长为a的六块荧光屏组成的正六边形ABCDEF区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一束比荷（电荷量与质量之比）为k的带电粒子从A点沿AE方向射入磁场区域。粒子打在荧光屏上会使其感光且粒子被吸收并导走。粒子速率均匀分布在范围之内。若不计粒子重力及粒子间相互作用力，则（    ） A．若粒子带正电，DE屏（除D点外）会发光 B．若粒子带正电，磁场中有粒子经过的区域的面积为 C．若粒子带负电，AF屏上会发光的长度为 D．若粒子带负电，在磁场中运动时间相等的粒子数目占总粒子数的一半 【答案】BC 【详解】A．若粒子带正电，粒子在磁场中做圆周运动，由左手定则可以判断，粒子向右偏转，洛伦兹力提供向心力，由牛顿定律可知 而粒子速率的分布为，代入可得粒子的半径 由几何关系可知粒子轨迹如图 由图可知速度最大时，从点射出，DE屏（除D点外）不会发光，故A错误； B．由图可知，粒子经过的区域的面积为，故B正确； C．若粒子带负电荷，粒子将向左偏，最小速度轨迹如图中在六边形中部分 由几何关系可知，AF屏上会发光的长度为，故C正确； D．由几何关系可知，在磁场中运动时间相等的粒子为半径在范围内，其数目占总数目的，故D错误。 故选BC。 15．如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回（水平速度不变，竖直方向速度等大反向）。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子一定带负电荷 B．带电粒子的速度最小值为 C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量可能为 D．带电粒子在磁场中运动时间可能为 【答案】CD 【详解】AC．若粒子带正电，根据题意粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回，当粒子到挡板的速度刚好垂直于挡板时，粒子与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出，粒子运动轨迹如图所示 由几何知识得 解得 根据牛顿第二定律得 解得 根据动量定理得 同理，当粒子带负电时，如图 此时粒子通过MN的中点时也能恰好从Q点射出，故粒子可能带负电，此时粒子的运动轨迹半径不一定为，结合前面分析可知受到挡板作用力的冲量可能为，故A错误，C正确； B．若粒子的运动轨迹如图所示 由左手定则可知粒子带负电，粒子做圆周运动的半径最小为 由牛顿第二定律得 解得 故B错误； D．若粒子带负电，粒子在磁场中的运动轨迹半径为L时，此时对应的圆心角为，如图所示 粒子在磁场中的运动时间为 故D正确。 故选CD。 16．小明同学对正、负电子对撞产生了浓厚的兴趣，他根据所学知识设计了正、负电子对撞装置，通过电子在匀强磁场中的运动来实现正、负电子在不同位置能发生正碰。如图所示，ab和cd是关于y轴对称、间距为2l的直线磁场边界，在两边界之间有两个有界匀强磁场。两磁场的边界MN位于x轴上方且平行于x轴，MN与x轴的距离h可调。MN下方的磁场垂直纸面向里，上方的磁场垂直纸面向外，磁感应强度大小均为B。若将质量为m、电荷量为e的正、负电子分别从ab和cd磁场边界上沿x轴同时以相同速率进入强磁场，使正、负电子能在y轴的不同位置垂直于y轴方向发生正碰，则MN与x轴的距离h的大小可能是（不计粒子间的相互作用力和粒子重力）（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】设正、负电子以速度v在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为r，根据牛顿第二定律有 解得 当粒子运动到MN上方磁场且恰好与ab边界相切，此时粒子在磁场中圆心角最大。根据几何关系有 当h＞r时 所以求得 当n=1时，无解； 当n=2时 当n＞3时 不成立。 所以 当h＜r时，如图所示，正、负电子在两磁场中存在往复运动的情况，根据几何关系有 解得 ，（n=2、3、4...） 当n=2时 当n=4时 但是不可能为 故选ABC。 17．如图所示，边长为3L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，粒子源能沿的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、电荷量均为+q不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则发射速度v0为哪些值时粒子能通过B点（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】粒子可能的轨迹如图所示 由几何关系得 （n=1,2,3） 由牛顿第二定律得 解得 （n=1,2,3） n=1时 n=3时 粒子可以通过B点，故AC符合题意，BD不符合题意。 故选AC。 解答题 18．如图所示，空间中存在垂直于平面向里的匀强磁场。轴正方向竖直向上，轴正方向水平向右。轴上有一厚度不计的薄板，垂直于平面固定，薄板长度为，中点位于点。一质量为、电荷量为的带正电粒子，可从轴上处的点以速率沿平面向不同方向发射。若粒子打到薄板下表面会被吸收，打到薄板上表面会被反弹，粒子与薄板间的碰撞为弹性碰撞，碰撞前后速度大小不变，方向遵循光的反射定律，不计粒子重力。 （1）求粒子从发射到被吸收经历的最短时间。 （2）粒子发射后能否与薄板碰撞一次就返回点？若能，求粒子发射方向与轴负方向的夹角，若不能，请说明理由。 （3）粒子发射后与薄板碰撞次（）后能返回点，求粒子发射方向与轴负方向夹角α正弦值的表达式。 【答案】（1）（2）见解析；（3） 【详解】（1）粒子在磁场中做完整圆周运动的周期 设粒子做圆周运动的轨迹半径为R，有 可得 当粒子发射后直接打到薄板下表面的O点，用时最短，如图甲所示 设粒子发射方向与y轴正方向的夹角为θ，偏向右侧，由几何关系有 粒子从发射到吸收经历的最短时间 联立解得 （2）由对称性分析可知，当粒子发射后直接打到薄板上表面的O点，一次反射后恰好能回到P点，粒子轨迹如图乙所示，设粒子发射方向与y轴负方向间的夹角为，偏向右侧。 由几何关系有 得 此时轨迹圆弧与x轴的交点到O点的距离为 有 说明此种情况成立 （3）设粒子发射方向与y轴负方向间的夹角为α，偏向右侧。轨迹如图丙所示 圆心C到x轴的距离 第一次反射点为E，轨迹圆弧在x轴上弦长的一半为，有 第一次反射点E到O的距离 与薄板碰撞n次（）后能返回P点，由对称性分析可知 联立可得 解得 （另一解不符题意，舍去） 19．如图所示，P点距坐标原点的距离为L，坐标平面内的第一象限内有方向垂直坐标平面向外的匀强磁场(图中未画出），磁感应强度大小为B。有一质量为m、电荷量为q的带电粒子从P点以与y轴正方向夹角为θ =的速度垂直磁场方向射入磁场区域，在磁场中运动，不计粒子重力。求： （1）若粒子垂直于x轴离开磁场，则粒子进入磁场时的初速度大小； （2）若粒子从y轴离开磁场，求粒子在磁场中运动的时间。 【答案】（1）；（2）或 【详解】（1）若粒子垂直于x轴离开磁场，粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力得 联立方程，解得 （2）粒子在磁场中做圆周运动的周期为 若粒子从y轴离开磁场，如果粒子带正电，粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系可和，粒子在磁场中的偏转角为 所以运动时间为 联立解得 如果粒子带负电，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示 根据几何关系可知，粒子在磁场中的偏转角为 α2=90° 所以粒子在磁场中运动的时间为 20．如图所示，在平面内，圆心在点、半径为的圆形区域内有垂直纸面向里匀强磁场，一个电量为q、质量为m的带正电的粒子从点以速率沿与轴正方向射入磁场区域，从D点沿轴正方向离开磁场，粒子在运动过程中只受磁场力作用。 （1）求匀强磁场磁感应强度B的大小； （2）若粒子从点以速率沿与轴正方向成=30°角的方向射入x轴上方磁场区域，从点沿轴正方向离开磁场。求从C点、D点离开磁场的粒子在磁场中运动时间比值； （3）若粒子从点A以速率沿任意方向射入磁场，出磁场后再经过一个磁感应强度为的圆形磁场区域，粒子均能到达点P(3R，4R)，求可能的取值范围。 【答案】（1）；（2）：（3） 【详解】（1）如图由几何关系可知粒子在磁场中运动的半径 向心力 解得 （2）由几何关系可知： 粒子从D点离开，转过圆心角θ1=90° 在磁场中运动的时间 粒子从C点离开，转过圆心角 θ2=60° 运动时间 粒子在磁场中运动周期 运动时间之比 = （3）粒子以v0的速率沿任意方向射入磁场，将以平行于y轴的方向射出磁场，如图所示 粒子能再次会聚到P点，所对应圆形磁场区域的最小半径 r1=2R 最大半径 r1=3R 由 解得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 带电粒子在匀强磁场中的运动 ——精剖细解学习讲义 1、掌握带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的计算公式； 2、掌握圆心的确定方法； 3、掌握圆周半径的确定方法； 4、掌握圆周运动的圆心角与时间的确定方法。 考点一：带点粒子在匀强磁场中的运动 1、三种运动规律 带电粒子在只受洛伦兹力作用的条件下（电子等微观粒子的重力通常忽略不计），有三种运动情况： ①若带电粒子的速度方向与磁场方向平行（v∥B），在匀强磁场中做匀速直线运动；②若带电粒子的速度方向与磁场方向垂直（v⊥B），在垂直于磁感线的平面内以入射 速度v做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力； ③运动方向与磁场方向既不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中做等半径、等螺距的螺 旋线运动。 2、圆周运动的计算公式 ①向心力公式：qvB＝m； ②轨道半径公式：r＝； ③周期公式：T＝＝；f＝＝；ω＝＝2πf＝。T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关； ④运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间； ⑤动能：。 3、圆周运动的圆心的确定方法 ①由两点和两线确定圆心，画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹。确定带电粒子运动轨迹上的两个特殊点（一般是射入和射出磁场时的两点），过这两点作带电粒子运动方向的垂线（这两垂线即为粒子在这两点所受洛伦兹力的方向），则两垂线的交点就是圆心，如图（a）所示。 ②若只已知过其中一个点的粒子运动方向，则除过已知运动方向的该点作垂线外，还要将这两点相连作弦，再作弦的中垂线，两垂线交点就是圆心，如图（b）所示。 ③若已知一个点及运动方向和另外某时刻的速度方向，但不确定该速度方向所在的点，如图（c）所示，此时要将其中一个速度的延长线与另一速度的反向延长线相交成一角（∠PAM），画出该角的角平分线，它与已知点的速度的垂线交于一点O，该点就是圆心。 ④轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心。某点的速度垂线与切点法线的交点。如图。 如上图（d）所示，有四个角度关系：①速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)；②圆心角α等于AB弦与速度方向的夹角(弦切角θ)的2倍(φ＝α＝2θ＝ωt)；③相对的弦切角(θ)相等，与相邻的弦切角(θ′)互补，即θ＋θ′＝180°；④进出同一直线边界时速度方向与该直线边界的夹角相等。 4、圆周运动的半径的确定方法 ①物理方程法：半径R＝。 ②几何法：一般由数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定。如下图所示，R＝或由R2＝L2＋（R－d）2求得R＝。 5、圆周运动的圆心角与时间的确定方法 圆心角的确定：①φ（速度的偏向角）＝θ（圆弧所对应的圆心角）＝2α（弦切角），即φ＝θ＝2α＝ωt，如图所示；②偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α。 运动时间的计算：①由圆心角求，t＝·T；②由弧长求，t＝。 【注意】当带电体的速度一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；当带电体的速度变化时，圆心角大的运动时间长。 6、带电粒子在磁场做圆周运动的分析方法 画轨迹确定圆心。 确定运动过程的关系：①轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，即；②利用数学知识（勾股定理、三角函数等）计算来确定半径；③寻找偏转角度与圆心角、运动时间的关系；④寻找带电粒子在磁场中运动时间与周期（T＝）的关系。 运动牛顿运动定律和圆周运动的规律等，进行分析及计算。 1．如图所示为洛伦兹力演示仪的结构图。励磁线圈产生的匀强磁场方向垂直纸面向外，电子束由电子枪产生，其速度方向与磁场方向垂直。电子速度的大小和磁场强弱可分别由通过电子枪的加速电压和励磁线圈的电流来调节（电流越大，磁场越强）。下列说法中正确的是（　　） A．仅增大励磁线圈中电流，电子束径迹的半径变大 B．仅提高电子枪加速电压，电子束径迹的半径变大 C．仅增大励磁线圈中电流，电子做圆周运动的周期将变大 D．仅提高电子枪加速电压，电子做圆周运动的周期将变大 2．磁控溅射是一种新型溅射技术，如图甲所示，电子在跑道上的运动原理可以近似认为：从水平靶面电离出初速度为零的电子，在阴极暗区只受竖直方向的电场力作用，加速飞向负辉区，阴极暗区上下侧面间的电势差保持不变；电子进入负辉区的运动速度始终与磁场方向垂直，磁感应强度大小处处相等，电子绕行半个圆周之后，重新进入阴极暗区，回到靶面时，速度恰好为零。电子就实现跳跃式地朝右漂移，如图乙所示，简称漂移。则下列说法正确的是（　　）    A．负辉区中的整个磁场为匀强磁场 B．电子每次飞离靶面时，电场和磁场的方向均要与原先反向才能实现漂移 C．其他条件不变的情况下，阴极暗区厚度越大，电子到达负辉区的速度越大 D．在直道区，电子每次跳跃的水平距离相同 3．如图所示，真空中竖直放置一根通电长直金属导线，电流方向向上。是一根水平放置的内壁光滑绝缘管，端点分别在以为轴心、半径为R的圆柱面上。现使一个小球自a端以速度射入管，小球半径略小于绝缘管半径且带正电，小球重力忽略不计，小球向b运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球受到的洛伦兹力始终为零 B．洛伦兹力对小球先做正功，后做负功 C．小球的速率先增大后减少 D．管壁对小球的弹力方向先竖直向上，后竖直向下 4．如图所示，用绝缘轻丝线吊一质量为的带电塑料小球在竖直平面内摆动，水平磁场垂直于小球摆动的平面，当小球自图示位置摆到最低点时，悬线上的张力恰为零，若不计空气阻力，重力加速度为，则小球自右侧相同摆角处摆到最低点时悬线上的张力大小为（　　） A． B． C． D． 5．2023年4月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装置创造了新的世界纪录。其中磁约束的简化原理如图：在半径为和的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，。假设氘核沿内环切线向左进入磁场，氚核沿内环切线向右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间的相互作用，则和的速度之比为（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，一质量为m、电荷量为q的带电粒子，从y轴上的P1点以速度v射入第一象限所示的区域，入射方向与x轴正方向成α角。为了使该粒子能从x轴上的P2点射出该区域，且射出方向与x轴正方向也成α角，可在第一象限适当的地方加一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若磁场分布为一个圆形区域，则这一圆形区域的最小面积为（不计粒子的重力）（　　） A． B． C． D． 7．如图所示，某真空室内充满匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场内有一块足够长的平面感光板MN，点a为MN与水平直线ab的交点，MN与直线ab的夹角为，ab间的距离为。在b点的点状的电子源向纸面内各个方向发射电子，电子做圆周运动的半径为，不计电子间的相互作用和重力，，则MN上被电子打中的区域的长度为（　　） A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 8．长度为L的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，从距水平板中心正上方的P点处以水平向右的速度释放一个质量为m、电荷量为e的电子，若电子能打在水平板上，速度应满足（　　） A． B． C． D．或 多选题 9．如图所示，以O点为原点建立空间直角坐标系，空间存在匀强磁场，一带负电的粒子由O点沿y轴正方向射出，粒子在yOz平面做圆周运动，且沿x轴正方向观察粒子为逆时针转动，则以下正确的是（　　） A．匀强磁场的方向指向x轴负方向 B．匀强磁场的方向指向x轴正方向 C．若仅增大磁场的磁感应强度，粒子转动周期将减小 D．若仅增大粒子由O点射出的速度，粒子转动的加速度将减小 10．某兴趣小组在利用洛伦兹力演示仪（图甲）探究带电粒子在匀强磁场中运动的规律时，发现有时玻璃泡中的电子束在匀强磁场中的运动轨迹呈“螺旋”状。现将这一现象简化成如图乙所示的情景来讨论：在空间存在平行于y轴的匀强磁场，由坐标原点在xOy平面内以初速度以沿与x轴正方向成角的方向射入磁场的电子运动轨迹为螺旋线，其轴线平行于y轴，螺旋半径为R，螺距为，螺旋周期为T，则下列说法中正确的是 A．匀强磁场的方向为沿y轴负方向 B．若仅增大励磁线圈中的电流，则螺旋半径R减小 C．若仅增大电子的加速电压，则螺距将增大 D．若仅增大角，则螺旋周期T将减小 11．如图，粗糙水平面上三点A、O、B共线，，在O点正上方距离为d处放置一根通电直导线P，电流方向水平向外。一质量为m的带正电小滑块Q从A点以初速度开始运动，同时给Q一水平外力使其沿直线由A到B，到达B点速度大小为，不计空气阻力，重力加速度大小为g，则Q运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．A、B两点磁感应强度相同 B．Q做匀减速直线运动 C．外力先垂直纸面向里后垂直纸面向外 D．Q与水平面间的动摩擦因数为 12．如图所示，P、Q、S是三个带同种电荷完全相同的带电小球，现将P、Q、S三小球从同一水平面上静止释放，P小球经过有界的匀强电场落到地面上，Q小球经过有界的匀强磁场落到地面上，S小球直接落到地面上，O点是它们释放点在地面上的投影点，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．只有S小球能落在O点上，且P、Q小球可以落在O点的异侧 B．只有S小球能落在O点上，且P、Q小球一定落在O点的同侧 C．三小球落地时，动能大小关系为EkP>EkQ=EkS D．三小球所用的时间关系为tP=tS>tQ 13．如图所示，半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，方向垂直于纸面向里。边界上C点有一粒子源，可平行于纸面向磁场内任意方向发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子速度大小均为v0.不计粒子重力以及粒子间的相互作用，所有粒子运动半径均为R且离开磁场时速度方向均与AB平行，AB、CD为互相垂直的直径，则（　　） A．粒子离开磁场时速度方向平行AB向下 B．磁感应强度大小为 C．经过圆心O的粒子在磁场中运动的时间为 D．沿着CO方向射入的粒子在磁场中运动的时间为 14．如图所示，用边长为a的六块荧光屏组成的正六边形ABCDEF区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一束比荷（电荷量与质量之比）为k的带电粒子从A点沿AE方向射入磁场区域。粒子打在荧光屏上会使其感光且粒子被吸收并导走。粒子速率均匀分布在范围之内。若不计粒子重力及粒子间相互作用力，则（    ） A．若粒子带正电，DE屏（除D点外）会发光 B．若粒子带正电，磁场中有粒子经过的区域的面积为 C．若粒子带负电，AF屏上会发光的长度为 D．若粒子带负电，在磁场中运动时间相等的粒子数目占总粒子数的一半 15．如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子能碰到挡板则能够以原速率弹回（水平速度不变，竖直方向速度等大反向）。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度从P点射入，恰好从Q点射出。下列说法正确的是（　　） A．带电粒子一定带负电荷 B．带电粒子的速度最小值为 C．若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量可能为 D．带电粒子在磁场中运动时间可能为 16．小明同学对正、负电子对撞产生了浓厚的兴趣，他根据所学知识设计了正、负电子对撞装置，通过电子在匀强磁场中的运动来实现正、负电子在不同位置能发生正碰。如图所示，ab和cd是关于y轴对称、间距为2l的直线磁场边界，在两边界之间有两个有界匀强磁场。两磁场的边界MN位于x轴上方且平行于x轴，MN与x轴的距离h可调。MN下方的磁场垂直纸面向里，上方的磁场垂直纸面向外，磁感应强度大小均为B。若将质量为m、电荷量为e的正、负电子分别从ab和cd磁场边界上沿x轴同时以相同速率进入强磁场，使正、负电子能在y轴的不同位置垂直于y轴方向发生正碰，则MN与x轴的距离h的大小可能是（不计粒子间的相互作用力和粒子重力）（　　） A． B． C． D． 17．如图所示，边长为3L的等边三角形ABC内、外分布着两方向相反的匀强磁场，三角形内磁场方向垂直纸面向外，两磁场的磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，粒子源能沿的角平分线发射不同速率的粒子，粒子质量均为m、电荷量均为+q不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则发射速度v0为哪些值时粒子能通过B点（　　） A． B． C． D． 解答题 18．如图所示，空间中存在垂直于平面向里的匀强磁场。轴正方向竖直向上，轴正方向水平向右。轴上有一厚度不计的薄板，垂直于平面固定，薄板长度为，中点位于点。一质量为、电荷量为的带正电粒子，可从轴上处的点以速率沿平面向不同方向发射。若粒子打到薄板下表面会被吸收，打到薄板上表面会被反弹，粒子与薄板间的碰撞为弹性碰撞，碰撞前后速度大小不变，方向遵循光的反射定律，不计粒子重力。 （1）求粒子从发射到被吸收经历的最短时间。 （2）粒子发射后能否与薄板碰撞一次就返回点？若能，求粒子发射方向与轴负方向的夹角，若不能，请说明理由。 （3）粒子发射后与薄板碰撞次（）后能返回点，求粒子发射方向与轴负方向夹角α正弦值的表达式。 19．如图所示，P点距坐标原点的距离为L，坐标平面内的第一象限内有方向垂直坐标平面向外的匀强磁场(图中未画出），磁感应强度大小为B。有一质量为m、电荷量为q的带电粒子从P点以与y轴正方向夹角为θ =的速度垂直磁场方向射入磁场区域，在磁场中运动，不计粒子重力。求： （1）若粒子垂直于x轴离开磁场，则粒子进入磁场时的初速度大小； （2）若粒子从y轴离开磁场，求粒子在磁场中运动的时间。 20．如图所示，在平面内，圆心在点、半径为的圆形区域内有垂直纸面向里匀强磁场，一个电量为q、质量为m的带正电的粒子从点以速率沿与轴正方向射入磁场区域，从D点沿轴正方向离开磁场，粒子在运动过程中只受磁场力作用。 （1）求匀强磁场磁感应强度B的大小； （2）若粒子从点以速率沿与轴正方向成=30°角的方向射入x轴上方磁场区域，从点沿轴正方向离开磁场。求从C点、D点离开磁场的粒子在磁场中运动时间比值； （3）若粒子从点A以速率沿任意方向射入磁场，出磁场后再经过一个磁感应强度为的圆形磁场区域，粒子均能到达点P(3R，4R)，求可能的取值范围。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$