专题10 二次函数应用分类汇编（七大题型）-2024-2025学年九年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题10二次函数应用分类汇编 【题型01 ：抛物线问题】 【题型02 ：拱桥问题】 【题型03：面积问题】 【题型04：每每问题】 【题型05：利润问题】 【题型06：分配问题】 【题型07：分段函数】 【题型01 ：抛物线问题】 【典例1】某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的解析式； (2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【变式1-1】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系．若小球在第2秒与第4秒高度相等，则下列四个时间中，小球飞行高度最高的时间是（   ） A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒 【变式1-4】某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩(即的长度)是（   ） A． B． C． D． 【变式1-5】汽车刹车后行驶的距离（单位：米）关于行驶时间（单位：秒）的函数关系式是，则汽车从刹车到停止所用时间为（   ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【变式1-6】《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，刹车距离与时间的关系式为，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（　　）． A．13 B．14 C．15 D．16 【题型02 ：拱桥问题】 【典例2】如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)在距离地面高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高m、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【变式2-1】如图为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为米，宽为米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系． (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明． 【变式2-2】图1是合肥逍遥津公园内的一座拱桥，跨度为，拱顶离地面高，拱桥的形状可以近似地看成一条抛物线．    (1)以的中点为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施，禁止游客进入．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施？并说明理由． 【变式2-3】人勤春来早，奋进正当时．眼下正是温室大棚育苗的好时节，大棚种植户开始了新一年的辛勤劳作，在新的一年播下希望的种子．如图是小颖爸爸在屋侧的菜地上搭建的一抛物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离水平地面高3米的墙体A处（墙高大于4米），另一端固定在地面上的C点处，现分别以地面和墙体为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知大棚的高度y（米）与大棚离墙体的水平距离x（米）之间的关系式用表示，抛物线的顶点B的横坐标为2． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)小颖的爸爸准备在抛物线上取一点P（不与A，C重合），安装一直角形钢架对大棚进行加固（点D、E分别在y轴，x轴上，且轴，轴），小颖为爸爸设计了两种方案： 方案一：如图1，将点P设在抛物线的顶点B处，安装直角形钢架对大棚进行加固； 方案二：如图2，将点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上，安装直角形钢架对大棚进行加固． 方案一、二中钢架DPE所需钢材长度分别记为、，请通过计算说明哪种方案更省钢材？（忽略接口处的材料损耗） 【变式2-4】问题背景 某校劳动基地蔬菜大棚由抛物线 和“矩形” 构成，抛物线最高点 到地面 的距离为米，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系，已知米，米．   建立建模 （1）求抛物线的解析式； 问题解决 （2）冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，如图1，准备在大棚抛物线上安装矩形“脚手架”（即三根支架，其中，垂直地面，平行地面），求“脚手架”的最大长度； （3）如图2，在蔬菜大棚上安装照明灯，要求照明灯到地面的垂直距离为米，每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过米，左右外侧的两个照明灯安装在抛物线上，如图所示，直接写出至少需要安装照明灯的个数． 【变式2-5】在山体中修建隧道可以保护生态环境，改善公路技术状态，提高运输效率．某城市道路中一双向行驶隧道（来往方向各一车道，路面用黄色双实线隔开）图片如图所示．隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成。隧道内路面的总宽度为，双向行驶车道宽度为（路面两侧各预留给非机动车），隧道顶部最高处距路面，矩形的高为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求出该段抛物线的解析式； (2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有．问：通过隧道的车辆应限制高度为多少？ 【题型03：面积问题】 【典例3】如图，用长为的铝合金材料做一个如图所示的窗框，其中三个， (1)若，用含有x的式子表示的长，并求出x的取值范围； (2)求窗框的面积y关于x的解析式，并求出面积的最大值． 【变式3-1】如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏． (1)若，所围成的矩形菜园的面积为平方米，求所利用旧墙的长； (2)若，求矩形菜园面积的最大值． 【变式3-2】如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x米． (1)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，诸说明理由； (3)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在请说明理由． 【变式3-3】问题情境 图①是一块三角形形状的边角料，记作，，边上的高．现要从这块边角料上剪出一个矩形，使顶点E，F在边上，顶点D，G分别在，上，设与高交于点M． 初步探究 (1)经测量得，． ①如图②，若四边形是正方形，求边的长． 思考：设，由正方形的性质可知，，．由是边上的高，可知，所以四边形是矩形．所以，．由，可知，由此求得边的长为__________． ②若矩形的面积为，求边的长． 思考：设，由矩形的面积为，得到，再运用①中的思路求解，请写出解题过程．深入探究 (2)按照上述要求，可以剪出无数个矩形，问：是否存在两个不同的矩形，使得这两个矩形的面积之和等于的面积？若存在，请求出这两个矩形的周长；若不存在，请通过计算说明理由． 【变式3-4】综合与实践： 如图，生活中的很多工艺品，可以看成是由一些简单的平面图形旋转得到的几何体． 【知识背景】把一个平面图形绕着不同的轴旋转，可以得到一个不同形状的几何体．如图，某数学兴趣小组把周长为的矩形绕它的一条边旋转可以形成一个圆柱体． 请完成下列方案设计中的任务 【方案设计】目标：设计一个侧面积最大的圆柱体． 任务一：把圆柱体的侧面沿着其中一条母线EF剪开并展平，研究圆柱体侧面展开图的形状及边长． （1）圆柱体的侧面展开图是一个什么平面图形？的长度与圆柱体的底面周长有什么关系？ （2）如图，设的长度为，请用含有x的代数式分别表示的长度； 任务二：计算圆柱体侧面积，设圆柱体的侧面积为． （3）在（2）的条件下，求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （4）在（3）的条件下，求当x取何值时，圆柱体的侧面积y最大？最大值是多少？ 【题型04：每每问题】 【典例4】秋风起，桂花飘香，到了吃螃蟹的最好季节．某商店销售一种成本为10元千克的大闸蟹，若按15元千克销售，一个月可售出350千克，经调查知销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克，设售价为元千克，月销售量为千克． (1)求出月销售量与售价之间的函数解析式； (2)为了使顾客获得更大的优惠，且月销售利润达到3000元的情况下，售价应为多少元？ (3)当售价为多少元时会获得最大利润，并求出最大利润的值． 【变式4-1】某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支付20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加元（为10的整数倍）， (1)根据题意，填写下表； 每个房间每天定价（元） 180 190 200 … 居住房间数（间） 50 49 … (2)设宾馆一天获得的利润为元，求与之间的函数解析式； (3)每个房间每天的定价增加多少元时，宾馆获得的利润最大？最大利润是多少？ 【变式4-2】某服装商城进了一批羊毛衫，每件进价为元．经市场预测，销售定价为元时，一周可售出件；销售定价每降低元，一周销售量将相应增加件． (1)若商城希望销售量为一周件，则应降价多少元？ (2)假如你是商城销售部经理，进行降价促销，你会把售价降低到多少元，才能使得一周获利最多？最大利润又是多少元？ 【题型05：利润问题】 【典例5】某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于12元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量（万件）与销售价格（元/件）的关系如图所示，设该公司销售这种电子产品的利润为（万元）．    (1)求（万件）与销售价格（元/件）之间的函数关系式； (2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润总售价总成本研发费用）． 【变式5-1】某商店销售一种商品，该商品的进价为40元/件，经市场调查发现：该商品的周销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，部分数据如表： 售价（元/件） 55 65 80 85 周销售量（件） 90 70 40 30 (1)求与之间的函数表达式； (2)当售价定为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少元？ (3)若要利润不低于1600元，则售价范围应该是多少？ 【变式5-2】公司以10元/千克的价格收购一批产品进行销售，经过市场调查获悉，日销售量y（千克）是销售价格x（元/千克）的一次函数，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 10 15 20 25 30 日销售量y（千克） 300 225 150 75 0 (1)直接写出y与x之间的函数解析式； (2)求日销售利润为1500元时的销售价格； (3)若公司每销售1千克产品需另行支出a元的费用，当时，公司的日获利润的最大值为1215元，求a的值． 【变式5-3】超市销售某种儿童玩具，该玩具的进价为100元/件，市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过进价的．现在超市的销售单价为140元，每天可售出50件，根据市场调查发现，如果销售单价每上涨2元，每天销售量会减少1件．设上涨后的销售单价为x元，每天售出y件． (1)请写出y与x之间的函数表达式并写出x的取值范围； (2)当为多少元时超市每天销售这种玩具可获利2250元？ 【变式5-4】某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果． 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为元． (1)分别求出与，与之间的函数解析式； (2)该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价； (3)若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【题型06：分配问题】 【典例6】为增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，某校九年级一班的同学准备到一家植物种植基地购买A，B两种花苗．据了解，若购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需要210元，若购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需要380元． (1)A，B两种花苗每盆的单价分别是多少元？ (2)经九年级一班班委会商定，决定从A，B两种花苗中选购共12盆装扮教室．种植基地的销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠方案：A种花苗按单价出售，B种花苗按购买n盆，B种花苗每盆单价就降n元出售．那么，本次购买最多需要多少元？最少需要多少元？ 【变式6-1】某水果店包装一种果篮需要A，B两种水果，A种水果的单价比B种水果单价少2元，若用600元购进A种水果和用800元购进B种水果数量一样多，包装一盒果篮需要A种水果4斤和B种水果2斤，每盒还需包装费8元．市场调查发现：设每盒果篮的售价是x元（x是整数），该果篮每月的销量y（盒）与售价x（元）的关系式为：． (1)求一盒果篮的成本（成本进价包装费）； (2)若每月的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)若每盒果篮的售价不超过m元（m是大于70的常数，且是整数），直接写出每月的最大利润． 【变式6-2】某体育用品商店销售A、B两种型号的体育器材，两种体育器材的进价均为每件30元，两种体育器材在30天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表： 时间；第x（天） A种体育器材 B种体育器材 日销售价（元/件） 35 日销售量（件） (1)若A种体育器材的日销售利润为元，B种体育器材的日销售利润为元，分别求，与x之间的函数表达式； (2)设该体育用品商店销售这两种体育器材的日销售利润为w元，求w与x之间的函数关系式，并求该体育用品商品在第几天的日销辔利润最大？最大日销售利润是多少？ 【变式6-3】某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元． (1)求两种商品的销售单价． (2)经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？ 【变式6-4】某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同． (1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表， 售价x（元/件） 销售量（件） 100 ①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ ②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值． 【题型07：分段函数】 【典例7】某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． (1)小强第几天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 【变式7-1】某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，售后经过统计得到此商品单价与第x天(x为正整数)的销售量的相关信息，如下表所示． 销售量n(件) 销售单价m(元) 当时， 当时， (1)请计算第几天该商品的单价为25元？ (2)求网店销售该商品30天里每天所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式． (3)这30天中，第几天获得的利润最大？ 最大利润是多少？ 【变式7-2】国家为支持大学生创业，提供小额无息贷款，学生王芳享受政策无息贷款元用来代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件元，日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示，每天付员工的工资每人每天元，每天应支付其他费用元． (1)求日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式； (2)若该店只有2名员工，则该店至少需要多少天才能还清贷款，此时，每件服装的价格应定为多少元？ 【变式7-3】某商品在销售的30天中，第一天卖出14件，为了增加销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出2件．第x天的售价为y元/件，y关于x的函数解析式为，且第14天的售价为35元/件，第26天的售价为28元/件．已知该商品的成本是20元/件，每天的利润是W元（利润=销售收入-成本）． (1)填空：_______，_______． (2)求销售该商品第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ (3)在销售该商品的30天中，当天利润不低于576元的共有多少天？ 【变式7-4】某镇发展农业经济产业，种植多品种的葡萄，已知某葡萄种植户李大爷的葡萄成本为10元，如果在未来40天葡萄的销售单价与时间之间的函数关系式为：，且葡萄的日销量（千克）与时间（天）的关系如下表： 时间天 1 3 6 10 20 40 日销售量千克 118 114 108 100 80 40 (1)请直接写出符合与之间的函数关系式（不要求写出的取值范围）． (2)在后20天（即为整数），请求出哪一天的日销售利润最大？日销售利润最大为多少？ (3)在实际销售的前20天中，李大爷决定每销售1千克水果就捐赠元利润给留守儿童作为助学金，前20天销售完后李大爷发现，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，请求出的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10二次函数应用分类汇编 【题型01 ：抛物线问题】 【题型02 ：拱桥问题】 【题型03：面积问题】 【题型04：每每问题】 【题型05：利润问题】 【题型06：分配问题】 【题型07：分段函数】 【题型01 ：抛物线问题】 【典例1】某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的解析式； (2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】(1)； (2)此球一定能投中． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【详解】（1）解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 【变式1-1】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用．先将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数性质即可求解． 【详解】解：， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为45． 故选：A． 【变式1-2】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，成绩就是当高度时x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：当时，， 解之得（不合题意，舍去）， 所以推铅球的距离是10米． 故选：D． 【变式1-3】以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系．若小球在第2秒与第4秒高度相等，则下列四个时间中，小球飞行高度最高的时间是（   ） A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大，由小球在第2秒与第4秒高度相等，可知抛物线的对称轴为直线，由，可知小球飞行高度最高的时间是第秒，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大， ∵小球在第2秒与第4秒高度相等， ∴小球在第2秒与第4秒对应的点坐标关于抛物线的对称轴直线对称， ∵， ∴小球飞行高度最高的时间是第秒， 故选：C． 【变式1-4】某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩(即的长度)是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用，令，则，求出的值，即可得出点的坐标，从而得解，求出点的坐标是解此题的关键． 【详解】解：在中，令，则， 解得：，（不符合题，舍去）， ∴， ∴， 故选：D． 【变式1-5】汽车刹车后行驶的距离（单位：米）关于行驶时间（单位：秒）的函数关系式是，则汽车从刹车到停止所用时间为（   ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，当汽车停下来时，最大，故将二次函数解析式转化成顶点式，则顶点横坐标值即为所求，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当秒时，取得最大值，即汽车停下来， 故选：． 【变式1-6】《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，刹车距离与时间的关系式为，当遇到紧急情况刹车时，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为（　　）． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，即考查二次函数的最值问题，解答关键是弄懂题意，熟练对函数式变形，从而取得最值．由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴当时，s最大． ∴后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为， 故选：D． 【题型02 ：拱桥问题】 【典例2】如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)在距离地面高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高m、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2)m (3)这辆货车能通过该隧道，理由见解析 【分析】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． （1）根据题意可以设出抛物线的顶点式，根据题中信息可知点，代入即可求得抛物线的解析式； （2）把代入解析式，即可得解； （3）根据题意可以求得当时的得值，然后与比较，即可解答本题； 【详解】（1）解：根据题意，得点，，， 设抛物线的解析式为：， 将点代入， 得到， 解得：； ∴抛物线的解析式为：． （2）在中，令， 得到， 解得：， ， 故在距离地面高处，隧道的宽度是； （3）这辆货车能通过该隧道，理由如下： ， 将代入， 得到：， ， 故这辆货车能通过该隧道． 【变式2-1】如图为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为米，宽为米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系． (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明． 【答案】(1)； (2)不能，理由见解析； 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用． （1）根据所建坐标系知顶点和与轴交点的坐标，可设解析式为顶点式形式求解，x的取值范围是； （2）根据对称性当车宽米时，或，求此时对应的纵坐标的值，与车高米进行比较得出结论． 【详解】（1）解：∵，． ∴设这条抛物线的函数解析式为， ∵抛物线过， ∴，解得， ∴这条抛物线的函数解析式为， 即. （2）当时，， 故不能行驶宽2.5米、高米的消防车辆． 【变式2-2】图1是合肥逍遥津公园内的一座拱桥，跨度为，拱顶离地面高，拱桥的形状可以近似地看成一条抛物线．    (1)以的中点为坐标原点建立如图2所示的平面直角坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； (2)当水面宽度小于或等于时，需要采取紧急措施，禁止游客进入．现在水面距离拱顶为，是否需要采取紧急措施？并说明理由． 【答案】(1) (2)需要，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）计算出时对应的x的值，进而计算出水面宽度，即可判断． 【详解】（1）解：由题意知，，， ，，顶点， 设抛物线解析式为， 将代入，得：， 解得， 拱桥所在抛物线的表达式为； （2）解：需要，理由如下： ， 将代入，得：， 解得， 水面宽度为， 需要采取紧急措施． 【变式2-3】人勤春来早，奋进正当时．眼下正是温室大棚育苗的好时节，大棚种植户开始了新一年的辛勤劳作，在新的一年播下希望的种子．如图是小颖爸爸在屋侧的菜地上搭建的一抛物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离水平地面高3米的墙体A处（墙高大于4米），另一端固定在地面上的C点处，现分别以地面和墙体为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知大棚的高度y（米）与大棚离墙体的水平距离x（米）之间的关系式用表示，抛物线的顶点B的横坐标为2． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求抛物线的函数表达式； (2)小颖的爸爸准备在抛物线上取一点P（不与A，C重合），安装一直角形钢架对大棚进行加固（点D、E分别在y轴，x轴上，且轴，轴），小颖为爸爸设计了两种方案： 方案一：如图1，将点P设在抛物线的顶点B处，安装直角形钢架对大棚进行加固； 方案二：如图2，将点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上，安装直角形钢架对大棚进行加固． 方案一、二中钢架DPE所需钢材长度分别记为、，请通过计算说明哪种方案更省钢材？（忽略接口处的材料损耗） 【答案】(1) (2)方案一更省钢材，见解析 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． （1）由题意可得，将其代入表达式结合抛物线对称轴联立方程组即可 （2）分别将点p在顶点上时和横坐标为5时，代入解析式，求出纵坐标，根据轴，轴，即可得出答案． 【详解】（1）由题知， 将代入，得， 抛物线的顶点B的横坐标为2． ，即， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）方案一：抛物线的顶点B的横坐标为2． ， 将点P设在抛物线的顶点B处， 轴，轴， ， （米）． 方案二：点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上， 即当时，， ， 轴，轴， ， （米）． ． 综上可知，方案一更省钢材． 【变式2-4】问题背景 某校劳动基地蔬菜大棚由抛物线 和“矩形” 构成，抛物线最高点 到地面 的距离为米，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系，已知米，米．   建立建模 （1）求抛物线的解析式； 问题解决 （2）冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，如图1，准备在大棚抛物线上安装矩形“脚手架”（即三根支架，其中，垂直地面，平行地面），求“脚手架”的最大长度； （3）如图2，在蔬菜大棚上安装照明灯，要求照明灯到地面的垂直距离为米，每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过米，左右外侧的两个照明灯安装在抛物线上，如图所示，直接写出至少需要安装照明灯的个数． 【答案】（1）；（2）米；（3）个 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）顶点的坐标为，设抛物线的解析式，根据题意得，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设点的坐标为，的长度之和为米，进而列出关于的二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （3）令得出距离地面4米的大棚的水平宽度为米，结合题意，即可求解． 【详解】解：（1）依题意，顶点的坐标为 设抛物线的解析式 ∵米，米． ∴ 代入，得 解得： ∴抛物线解析式为 （2）设点的坐标为，的长度之和为米， ∴ ∴ ∵ ∴当时， 答：“脚手架”的最大长度为米； （3）依题意，当时， 解得： 则距离地面4米的大棚的水平宽度为米 ∵米 每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过米， ∴直接写出至少需要安装照明灯的个数为个． 【变式2-5】在山体中修建隧道可以保护生态环境，改善公路技术状态，提高运输效率．某城市道路中一双向行驶隧道（来往方向各一车道，路面用黄色双实线隔开）图片如图所示．隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成。隧道内路面的总宽度为，双向行驶车道宽度为（路面两侧各预留给非机动车），隧道顶部最高处距路面，矩形的高为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求出该段抛物线的解析式； (2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有．问：通过隧道的车辆应限制高度为多少？ 【答案】(1) (2)通过隧道的车辆应限制高度为 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）根据题意建立平面直角坐标系，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入解析式，求得的值，根据交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 隧道顶部最高处距路面6m，矩形的高为2m． ∴顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：依题意，当时，， ∵交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有． ∴通过隧道的车辆应限制高度为， 答：通过隧道的车辆应限制高度为 【题型03：面积问题】 【典例3】如图，用长为的铝合金材料做一个如图所示的窗框，其中三个， (1)若，用含有x的式子表示的长，并求出x的取值范围； (2)求窗框的面积y关于x的解析式，并求出面积的最大值． 【答案】(1)， (2)，最大面积为 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，二次函数的应用； （1）设，根据得出，，进而得出，根据窗框的周长为得出，进而求得的取值范围； （2）根据题意列出函数关系式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设， ∵ ∴， ∵ 则，即 ∴ ∴， ∵窗框的周长为 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， （2）解：依题意， ∴当时，取得最大值 【变式3-1】如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏． (1)若，所围成的矩形菜园的面积为平方米，求所利用旧墙的长； (2)若，求矩形菜园面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程、二次函数的性质等知识，解题的关键根据旧墙的长度判断函数最值． （1）设，则，根据矩形的面积列方程即可解决问题； （2）根据矩形面积列出二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）设，则， 根据题意得， 解得，， 当时，，不合题意舍去； 当时，， 答：的长为； （2）设，矩形菜园面积为 ， ∴对称轴为直线， ，， S随x的增大而增大， 当时，S的最大值为． 答：矩形菜园面积的最大值为． 【变式3-2】如图，利用一面墙（墙长28米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x米． (1)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； (2)矩形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，诸说明理由； (3)矩形围栏面积是否存在最大面积？若存在，求出矩形围栏的长；不存在请说明理由． 【答案】(1)10米 (2)不可能，理由见解析 (3)存在， 【分析】（1）先表示出的长，再根据矩形围栏面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （2）根据矩形围栏面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏面积不可能达到240平方米； （3）设矩形围栏面积为S，首先得到，然后表示出S，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵设栅栏长为x米 ∴， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为10米； （2）解：不可能，理由如下： 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏面积不可能达到240平方米； （3）解：设矩形围栏面积为S 根据题意得， ∴ ∴ ∵ ∴当时，即米时，S有最大值． 【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式3-3】问题情境 图①是一块三角形形状的边角料，记作，，边上的高．现要从这块边角料上剪出一个矩形，使顶点E，F在边上，顶点D，G分别在，上，设与高交于点M． 初步探究 (1)经测量得，． ①如图②，若四边形是正方形，求边的长． 思考：设，由正方形的性质可知，，．由是边上的高，可知，所以四边形是矩形．所以，．由，可知，由此求得边的长为__________． ②若矩形的面积为，求边的长． 思考：设，由矩形的面积为，得到，再运用①中的思路求解，请写出解题过程．深入探究 (2)按照上述要求，可以剪出无数个矩形，问：是否存在两个不同的矩形，使得这两个矩形的面积之和等于的面积？若存在，请求出这两个矩形的周长；若不存在，请通过计算说明理由． 【答案】(1)①；②或，过程见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，矩形的性质，以及二次函数最值问题等知识．a （1）①根据题意以及相似三角形的性质可得出，代入求解即可． ②同①过程一致，利用矩形的性质得出，．证明，有相似三角形的性质得出，，代入求解即可． （2）由矩形的性质可设，则．证明，由相似三角形的性质可得出，求出，再利用矩形的面积公式可得出，再利用二次函数的性质可得出当时，有最大值，即可得出答案． 【详解】（1）解：①根据题意可得出：， 即， 解得 ∴． ②设． ∵矩形的面积为9， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，． ∵是边上的高， ∴． ∵四边形是矩形． ∴，． ∵， ∴． ∴．所以， 解得，． ∴边的长为或． （2）不存在．理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，． ∵是边上的高， ∴． ∴四边形是矩形． ∴． 设，则． ∵， ∴． ∴． ∴， 解得． ∴． ∴当时，有最大值． ∴不存在两个不同的矩形，满足这两个矩形的面积之和等于的面积． 【变式3-4】综合与实践： 如图，生活中的很多工艺品，可以看成是由一些简单的平面图形旋转得到的几何体． 【知识背景】把一个平面图形绕着不同的轴旋转，可以得到一个不同形状的几何体．如图，某数学兴趣小组把周长为的矩形绕它的一条边旋转可以形成一个圆柱体． 请完成下列方案设计中的任务 【方案设计】目标：设计一个侧面积最大的圆柱体． 任务一：把圆柱体的侧面沿着其中一条母线EF剪开并展平，研究圆柱体侧面展开图的形状及边长． （1）圆柱体的侧面展开图是一个什么平面图形？的长度与圆柱体的底面周长有什么关系？ （2）如图，设的长度为，请用含有x的代数式分别表示的长度； 任务二：计算圆柱体侧面积，设圆柱体的侧面积为． （3）在（2）的条件下，求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （4）在（3）的条件下，求当x取何值时，圆柱体的侧面积y最大？最大值是多少？ 【答案】（1）圆柱体的侧面展开图是一个矩形，的长度等于圆柱体的底面周长；（2）见解析；（3）；（4）当时，圆柱体的侧面积y最大，最大值是 【分析】本题考查二次函数的应用、列代数式、圆柱的侧面展开图，根据矩形的面积公式列方程是解题的关键． （1）根据图形求解即可； （2）根据矩形的周长公式和圆的周长公式求解即可； （3）根据矩形的面积公式列函数解析式，再根据矩形的周长确定x的取值范围即可； （4）把（3）中的解析式转化为顶点式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）由图可得，圆柱体的侧面展开图是一个矩形，的长度与圆柱体的底面周长相等； （2）； （3） ， 即； （4）由知， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，圆柱体的侧面积最大， 最大面积为：， 所以，当的值为时，圆柱体的侧面积最大，最大面积为． 【题型04：每每问题】 【典例4】秋风起，桂花飘香，到了吃螃蟹的最好季节．某商店销售一种成本为10元千克的大闸蟹，若按15元千克销售，一个月可售出350千克，经调查知销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克，设售价为元千克，月销售量为千克． (1)求出月销售量与售价之间的函数解析式； (2)为了使顾客获得更大的优惠，且月销售利润达到3000元的情况下，售价应为多少元？ (3)当售价为多少元时会获得最大利润，并求出最大利润的值． 【答案】(1) (2)为了使顾客获得更大的优惠，且月销售利润达到3000元的情况下，售价应为20元 (3)售价为30元时会获得最大利润，最大利润为9000元 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程，求出相应的函数解析式，利用二次函数的顶点式求函数的最值． （1）根据销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克，列出函数关系式即可； （2）设月销售利润为，根据月销售利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，当时，列出二次方程求解即可； （3）根据（2）中的函数解析式，化为顶点式，再根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ； （2）解：设月销售利润为W元，由题意得， ， 当时，， ，， ∵顾客获得更大的优惠 ∴应舍去 ∴ ∴为了使顾客获得更大的优惠，且月销售利润达到3000元的情况下，售价应为20元 （3）解：， ∵ ∴ ， 当时，W有最大值，最大值为4000； 所以售价为30元时会获得最大利润，最大利润为4000元． 【变式4-1】某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支付20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加元（为10的整数倍）， (1)根据题意，填写下表； 每个房间每天定价（元） 180 190 200 … 居住房间数（间） 50 49 … (2)设宾馆一天获得的利润为元，求与之间的函数解析式； (3)每个房间每天的定价增加多少元时，宾馆获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)每个房间每天的定价增加元时，宾馆获得的利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查二次函数的实际应用、二次函数最值，一般式化顶点式，以及代数式表示，解题的关键是构建二次函数解决实际问题中的最值问题． （1）根据题干所给信息直接求解，即可解题； （2）根据“利润房间收入房间支出”建立与之间的函数关系式，即可解题； （3）将（2）中与之间的函数解析式化为顶点式，并结合二次函数最值情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题知，（间）， 当每个房间每天定价为元时，其居住房间数为间， 故答案为：，． （2）解：由题知，， 整理得， 即有； （3）解：将化为顶点式有： ， ，函数开口向下， 当时，有最大值为， 即每个房间每天的定价增加元时，宾馆获得的利润最大，最大利润是元． 【变式4-2】某服装商城进了一批羊毛衫，每件进价为元．经市场预测，销售定价为元时，一周可售出件；销售定价每降低元，一周销售量将相应增加件． (1)若商城希望销售量为一周件，则应降价多少元？ (2)假如你是商城销售部经理，进行降价促销，你会把售价降低到多少元，才能使得一周获利最多？最大利润又是多少元？ 【答案】(1)元 (2)售价为元时，一周销售利润最大，为元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二次函数的应用； （1）设每件羊毛衫降价元，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设售价为元，一周利润为元，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每件羊毛衫降价元． 则， 解得， 答：应降价10元． （2）解：设售价为元，一周利润为元，由题意，得， 整理得： 解得， 当时，． 答：售价为130元时，一周销售利润最大，为9800元． 【题型05：利润问题】 【典例5】某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于12元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量（万件）与销售价格（元/件）的关系如图所示，设该公司销售这种电子产品的利润为（万元）．    (1)求（万件）与销售价格（元/件）之间的函数关系式； (2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润总售价总成本研发费用）． 【答案】(1)； (2)销售这种电子产品利润的最大值时101万元． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求一次函数解析式，解二元一次方程组等知识点， （1）设与之间的函数关系式是，将，代入得方程组，解方程组即可得解； （2）根据题意得列出二次函数解析式，利用二次函数的性质求解即可； 熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键． 【详解】（1）设与之间的函数关系式是， 将，代入得： ，解得， ∴； （2）根据题意得： ， ∵，抛物线开口向下， ∴时，取最大值，最大值为101， 答：销售这种电子产品利润的最大值时101万元． 【变式5-1】某商店销售一种商品，该商品的进价为40元/件，经市场调查发现：该商品的周销售量（件）是售价（元/件）的一次函数，部分数据如表： 售价（元/件） 55 65 80 85 周销售量（件） 90 70 40 30 (1)求与之间的函数表达式； (2)当售价定为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少元？ (3)若要利润不低于1600元，则售价范围应该是多少？ 【答案】(1) (2)当每件售价为70元时，周销售利润最大，最大利润为1800元 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数，正确得出函数解析式是解题的关键． （1）设与之间的函数表达式为，待定系数法即可得出； （2）设每周可获得利润为元，由题意得：，根据二次函数的性质即可得出答案； （3）求得当时的售价的值，结合当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，即可求解． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 根据题意，得，解得：， ∴与的函数表达式为； （2）设每周可获得利润为元， 由题意得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为1800， ∴当每件售价为70元时，周销售利润最大，最大利润为1800元． （3）由（2）可知， 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， 当时，即：， 解得：，， 则要使得利润不低于1600元，售价范围应该是． 【变式5-2】公司以10元/千克的价格收购一批产品进行销售，经过市场调查获悉，日销售量y（千克）是销售价格x（元/千克）的一次函数，部分数据如表： 销售价格x（元/千克） 10 15 20 25 30 日销售量y（千克） 300 225 150 75 0 (1)直接写出y与x之间的函数解析式； (2)求日销售利润为1500元时的销售价格； (3)若公司每销售1千克产品需另行支出a元的费用，当时，公司的日获利润的最大值为1215元，求a的值． 【答案】(1) (2)日销售利润为1500元时的销售价格为20元/千克 (3)a的值为2 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合应用，一元二次方程，解题时要利用图表中的信息，学会用待定系数法求解一次函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题． （1）设一次函数解析式为，任选两点求表达式，求得k便可； （2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可； （3）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，依据二次函数的最大值列出a的一元二次方程求得a的值． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 则， 解得：， ； （2）解：设日销售利润为w元， 则， 当时，， 解得：． 答：日销售利润为1500元时的销售价格为20元/千克； （3）解：日获利 ， 对称轴为， ， ， ∴当时， w有最大值为， 解得：（舍去）， 综上所述，a的值为2． 【变式5-3】超市销售某种儿童玩具，该玩具的进价为100元/件，市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过进价的．现在超市的销售单价为140元，每天可售出50件，根据市场调查发现，如果销售单价每上涨2元，每天销售量会减少1件．设上涨后的销售单价为x元，每天售出y件． (1)请写出y与x之间的函数表达式并写出x的取值范围； (2)当为多少元时超市每天销售这种玩具可获利2250元？ 【答案】(1) (2)当时，超市每天销售这种玩具可获利2250元． 【分析】本题主要考查列函数关系式、二次函数的应用、解不等式等知识点，正确求出函数解析式成为解题的关键． （1）根据“销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”表示出减少的件数，销量y等于50减去减少的件数即可； （2）先根据获利、单利润、销量的关系可列出函数关系式，再根据二次函数的性质结合自变量x的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：设上涨后的销售单价为x元，则上涨的单价为元． 所以每天售出，即． （2）解：根据题意得，超市每天销售这种玩具可获利， 令，解得：或190， ∵该种玩具每件利润不能超过进价的 ∴，解得：． ∴当时，超市每天销售这种玩具可获利2250元． 答：当时，超市每天销售这种玩具可获利2250元． 【变式5-4】某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果． 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为元． (1)分别求出与，与之间的函数解析式； (2)该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价； (3)若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【答案】(1)； (2)该食品的售价为30元/千克 (3)售价为35元时，每天获利最大为1350元 【分析】（1）设与的函数关系式为：，代入，，可求得和；根据利润（售价进价）销量，可表示出； （2）根据利润（售价进价）销量，列出一元二次方程，然后解方程即可求得答案，注意售价的范围是否满足要求； （3）根据该水果的日销量不低于90千克，可求得，由可知，该图象开口向下，对称轴为直线，从而判断出时，有最大值，将代入，可求得答案． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为：， 把，代入得， 解得， 与的函数关系式为： 即 （2）解：由题意得，， 整理得， 解得， 答：此时水果的售价为30元/千克； （3）解：， 解得， ， ，对称轴为直线， ∴该图象开口向下， 在时，随的增大而增大， 时，取最大值，此时（元）， 答：售价为35元时，每天获利最大为1350元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与利润问题，二次函数的最值问题，一元二次方程与利润问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【题型06：分配问题】 【典例6】为增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，某校九年级一班的同学准备到一家植物种植基地购买A，B两种花苗．据了解，若购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需要210元，若购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需要380元． (1)A，B两种花苗每盆的单价分别是多少元？ (2)经九年级一班班委会商定，决定从A，B两种花苗中选购共12盆装扮教室．种植基地的销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠方案：A种花苗按单价出售，B种花苗按购买n盆，B种花苗每盆单价就降n元出售．那么，本次购买最多需要多少元？最少需要多少元？ 【答案】(1)甲每盆20元，乙每盆30元 (2)最多265元，最少216元 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意准确找到等量关系，建立函数模型是解题的关键． （1）设两种花苗的单价分别是元和元，列出方程组，即可求解； （2）设购买花苗盆，则购买花苗为盆，设总费用为元，由题意得： ，即可求解． 【详解】（1）解：设两种花苗的单价分别是元和元， 则， 解得：， 答：两种花苗的单价分别是20元和30元； （2）解：设购买花苗盆，则购买花苗为盆，设总费用为元， 由题意得：为整数， ∵． 故有最大值，当时，的最大值为265， 当时，的最小值为216， 故本次购买至少准备216元，最多准备265元． 【变式6-1】某水果店包装一种果篮需要A，B两种水果，A种水果的单价比B种水果单价少2元，若用600元购进A种水果和用800元购进B种水果数量一样多，包装一盒果篮需要A种水果4斤和B种水果2斤，每盒还需包装费8元．市场调查发现：设每盒果篮的售价是x元（x是整数），该果篮每月的销量y（盒）与售价x（元）的关系式为：． (1)求一盒果篮的成本（成本进价包装费）； (2)若每月的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)若每盒果篮的售价不超过m元（m是大于70的常数，且是整数），直接写出每月的最大利润． 【答案】(1)一盒果篮的成本为48元 (2) (3)每月的最大利润为12960元 【分析】此题考查了分式方程的应用，二次函数的应用，二次函数的性质，正确理解题意列得方程及函数关系式是解题的关键． （1）设A种水果的单价为a元，则B种水果的单价为元，根据用600元购进A种水果和用800元购进B种水果数量一样多列分式方程解答； （2）根据利润=每盒果篮的利润×销量得到函数解析式； （3）当且m为整数时，根据函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A种水果的单价为a元，则B种水果的单价为元． 依题意，得， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，， ∴一盒果篮的成本为：（元）； （2）解：依题意，得； （3）解：由（2）可知每月的利润， 可化简为， 当且m为整数时， ∵， ∴当时w最大，此时：， ∴每月的最大利润为12960元． 【变式6-2】某体育用品商店销售A、B两种型号的体育器材，两种体育器材的进价均为每件30元，两种体育器材在30天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表： 时间；第x（天） A种体育器材 B种体育器材 日销售价（元/件） 35 日销售量（件） (1)若A种体育器材的日销售利润为元，B种体育器材的日销售利润为元，分别求，与x之间的函数表达式； (2)设该体育用品商店销售这两种体育器材的日销售利润为w元，求w与x之间的函数关系式，并求该体育用品商品在第几天的日销辔利润最大？最大日销售利润是多少？ 【答案】(1)，； (2)，该体育用品商店在第10天的日销售利润最大，最大日销售利润是1600元． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数解析式是关键； （1）根据利润=每件利润×销售量，例出函数解析式即可； （2）由（1）可得总利润关于x的函数解析式，再利用二次函数的性质求出最值即可 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 当时，有最大值，最大值为1600； 该体育用品商店在第10天的日销售利润最大，最大日销售利润是1600元． 【变式6-3】某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元． (1)求两种商品的销售单价． (2)经市场调研，种商品按原售价销售，可售出40件，原售价每降价1元，销售量可增加10件；种商品的售价不变，种商品售价不低于种商品售价．设种商品降价元，如果两种商品销售量相同，求取何值时，商场销售两种商品可获得总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)的销售单价为元、的销售单价为元 (2)当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元． 【分析】（1）设的销售单价为元、的销售单价为元，根据题中售出种20件，种10件，销售总额为840元；售出种10件，种15件，销售总额为660元列方程组求解即可得到答案； （2）设利润为，根据题意，得到，结合二次函数性质及题中限制条件分析求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设的销售单价为元、的销售单价为元，则 ，解得， 答：的销售单价为元、的销售单价为元； （2）解： 种商品售价不低于种商品售价， ，解得，即， 设利润为，则 ， ， 在时能取到最大值，最大值为， 当时，商场销售两种商品可获得总利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查二元一次方程组及二次函数解实际应用题，读懂题意，根据等量关系列出方程组，根据函数关系找到函数关系式分析是解决问题的关键． 【变式6-4】某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同． (1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表， 售价x（元/件） 销售量（件） 100 ①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ ②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值． 【答案】(1)，两种纪念品每件的进价分别是元和元 (2)①当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元；②32 【分析】（1）设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元，根据用1000元购进种纪念品的数量和用400元购进种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可； （2）①设利润为，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；②根据题意可得，此时该商场购进型纪念品为件，再由A型纪念品的件数不小于50件，可得，设总利润为，求出函数关系式，根据二次函数函数的性质，即可求出的值． 【详解】（1）解：设纪念品每件的进价是元，则纪念品每件的进价是元， 由题意，得：， 解得：， 经检验：是原方程的解； 当时：； ∴，两种纪念品每件的进价分别是元和元； （2）解：①设利润为，由表格，得： 当时，， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当售价为元时，利润最大为：元； 当，， ∵， ∴当时，利润最大为元； 综上：当时，售出纪念品所获利润最大，最大利润为元． ②∵商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数， ∴A型纪念品的件数小于100件， ∴，此时该商场购进型纪念品为件， ∴购进型纪念品为件， ∵A型纪念品的件数不小于50件， ∴， ∴， 设总利润为y元，根据题意得： ， ∴ ， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴当时，y有最大值， ∵将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值是解题的关键． 【题型07：分段函数】 【典例7】某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． (1)小强第几天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 【答案】(1)小强第10天生产的产品数量为200件 (2)与之间的函数关系式为： (3)①第14天时，利润最大，最大值为576元；②第15天每件产品至少应提价0.5元 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式． （1）把代入，解方程即可求得； （2）根据图象求得成本与x之间的关系即可； （3）①然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；②根据①得出，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可 【详解】（1）由题意可知，生产的产品数量为200件时，， 故：，解得： 答：小强第10天生产的产品数量为200件． （2）由图象得，①当时，． ②当时，设， 由题意可得， 解得：， ． 综上可得，与之间的函数关系式为：； （3）①当时，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为：（元）； 当时，， ， 随的增大而增大， 故当时，有最大值为（元）． 当时， ． 当时，有最大值，最大值为576（元） 综上可知，第14天时，利润最大，最大值为576元． ②由①可知，， 设第15天提价元，则第15天的利润为：， 由题意得：， 解得：， 答：第15天每件产品至少应提价0.5元． 【变式7-1】某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，售后经过统计得到此商品单价与第x天(x为正整数)的销售量的相关信息，如下表所示． 销售量n(件) 销售单价m(元) 当时， 当时， (1)请计算第几天该商品的单价为25元？ (2)求网店销售该商品30天里每天所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式． (3)这30天中，第几天获得的利润最大？ 最大利润是多少？ 【答案】(1)第10天或第28天时该商品单价为25元/件 (2) (3)第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元 【分析】本题考查二次函数；反比例函数的实际应用． （1）分两种情形分别代入解方程即可． （2）分两种情形写出所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式即可． （3）分两种情形根据函数的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：分两种情况： ①当时，将代入，解得； ②当时，， 解得， 经检验是方程的解． ∴． 答：第10天或第28天时该商品单价为25元/件； （2）解：分两种情况： ①当时， ， ②当时，， 综上所述： ； （3）解：①当时， 由， ∵， ∴当时，有最大值（元）； ②当时， 由，可知随的增大而减小． ∴当时，有最大值（元）． ∵， ∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元． 【变式7-2】国家为支持大学生创业，提供小额无息贷款，学生王芳享受政策无息贷款元用来代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件元，日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示，每天付员工的工资每人每天元，每天应支付其他费用元． (1)求日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式； (2)若该店只有2名员工，则该店至少需要多少天才能还清贷款，此时，每件服装的价格应定为多少元？ 【答案】(1)y (2)至少需要200天才能还清贷款，此时每件服装的价格应定为55元 【分析】此题考查了一次函数、二次函数、一元一次不等式的应用． （1）利用待定系数法求出两个范围内的一次函数解析式即可； （2）设每日的收入是S元，分别写出两个范围内的二次函数解析式，并求出最值，比较后得到时，每日的最大收入是元，再设该店至少需要t天才能还清贷款，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， 根据图象把代入得： ， 解得， ∴； 当时，设y与x的函数解析式为， 把代入得： ， 解得， ∴， 综上所述，y； （2）设每日的收入是S元， 当时，， ∵， ∴当时，S最大为元； 当时， ∵， ∴当时，S最大为元， 综上所述，时，每日的最大收入是元， 设该店至少需要t天才能还清贷款， 根据题意得： ， 解得， 答：该店至少需要天才能还清贷款，此时每件服装的价格应定为元． 【变式7-3】某商品在销售的30天中，第一天卖出14件，为了增加销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出2件．第x天的售价为y元/件，y关于x的函数解析式为，且第14天的售价为35元/件，第26天的售价为28元/件．已知该商品的成本是20元/件，每天的利润是W元（利润=销售收入-成本）． (1)填空：_______，_______． (2)求销售该商品第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？ (3)在销售该商品的30天中，当天利润不低于576元的共有多少天？ 【答案】(1)， (2)销售该商品第天时，当天利润最大，最大为元 (3)当天利润不低于元的天数共有天 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，应用了分类讨论的数学思想. （1）根据题意将相关数值代入即可； （2）在（1）的基础上分段表示利润，讨论最值； （3）在（2）中函数取值范围内讨论利润不低于的天数，注意天数为正整数. 【详解】（1）当第天的售价为元/千克，代入得， ， 解得 当第天的售价为元/千克时，代入则 故答案为； （2）由（1）第天的销售量为 当 时，， ∴当时， 当时,, ∵, ∴随的增大而增大， ∴当时, ， ∵, ∴当时, 答：销售该商品第天时，当天利润最大，最大为元. （3）当时, 令 解得 ∵抛物线的开口向下， ∴时, , ∴, ∵为正整数， ∴有天利润不低于元， ∴当天利润不低于元的天数共有天. 【变式7-4】某镇发展农业经济产业，种植多品种的葡萄，已知某葡萄种植户李大爷的葡萄成本为10元，如果在未来40天葡萄的销售单价与时间之间的函数关系式为：，且葡萄的日销量（千克）与时间（天）的关系如下表： 时间天 1 3 6 10 20 40 日销售量千克 118 114 108 100 80 40 (1)请直接写出符合与之间的函数关系式（不要求写出的取值范围）． (2)在后20天（即为整数），请求出哪一天的日销售利润最大？日销售利润最大为多少？ (3)在实际销售的前20天中，李大爷决定每销售1千克水果就捐赠元利润给留守儿童作为助学金，前20天销售完后李大爷发现，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，请求出的取值范围． 【答案】(1) (2)第21天的日销售利润最大；最大利润为1131元 (3) 【分析】此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键． （1）设，利用待定系数法即可解决问题． （2）日利润日销售量每公斤利润，根据函数性质求最大值后比较得结论． （3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求的取值范围． 【详解】（1）设，把，；，代入得到： ， 解得：， ． （2）设第天的销售利润为元． 由题意， 当时，随的增大而减小，时最大值为1131元． （3）设每天扣除捐赠后的日销售利润为元． 由题意， 在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，即对称轴应该大于19.5， ， ， 又， 的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$