专题09 二次函数重难点题型汇编(十大类型）-2024-2025学年九年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题09 二次函数重难点题型汇编 【题型01 ：二次函数的概念】 【题型02 ：二次函数的条件】 【题型03：列处二次函数关系式】 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 【题型09：二次函数的平移变换】 【题型10：二次函数的交点个数问题】 【题型01 ：二次函数的概念】 1．下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．对于任意实数m，下列函数：①；②；③；④．其中，一定为二次函数的有（   ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 3．抛物线一次项的系数是（   ） A． B．1 C．5 D．3 【题型02 ：二次函数的条件】 4．若是关于x的二次函数，则m的值为 ． 5．已知是关于的二次函数， ． 6．若函数是二次函数，则的值为 ． 【题型03：列出二次函数关系式】 7．已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 8．寒假九班名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，那么互发信息的总次数与的函数关系式可以表示为（ ） A． B． C． D． 9．某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 10．如图，八一广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为、，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为、，三条通道的总面积；则s与x之间的关系表达式为 ． 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 11．二次函数的图象一定经过（   ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 12．已知抛物线的顶点坐标是，且抛物线经过点，则这条抛物线的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 13．已知点、、在函数上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 14．抛物线，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 16．对于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．当时，y随x的增大而增大 B．函数图象的对称轴是直线 C．这个函数有最大值1 D．函数图象与x轴有2个交点 17．抛物线的对称轴是直线 ． 18．如果抛物线在对称轴的左侧，的值随的增大而增大，那么的取值范围是 ． 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 19．如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．若抛物线经过点，则点的坐标为 ． 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 20．函数图象顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 21．把二次函数用配方法化成的形式为（   ） A． B． C． D． 22．若二次函数的图象经过，，三点，则y1，y2，y3的关系是（    ） A． B． C． D． 23．已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 24．若抛物线与的形状相同，则的值为（ ） A．2 B．3或 C．1 D．2或 25．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A．B． C． D． 26．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是 ． 27．如图，直线与抛物线交于，，不等式的解集是 ． 28．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 29．如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 30．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是 ． 31．如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为 ． 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 32．若二次函数，当时，y的最大值是n，最小值是m，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 33．当时，函数的最小值为1，则a的值为（　　） A．2 B．或1 C．0或2 D．0或1或2 34．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 35．若a，b是非负数，且，的最小值为m，最大值为n，则的值是（    ） A． B． C． D．-6 36．二次函数在的范围内有最小值，则c的值是（    ） A． B． C．2 D．3 37．函数在有最大值6，则实数的值是 ． 38．已知二次函数，h为常数，当时，与其对应的y的最小值为5，则h的值为 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 39．如图为二次函数的图象，对称轴是直线，给出以下判断：①；②；③；④（常数）．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 40．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，有以下结论：①；②；③（m为任意实数）；④若方程的两根为，，且，则，⑤，其中说法正确的有 ． 41．如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论正确的是 ．（填写序号） ①；②；③；④当时，；⑤为任意实数，则，⑥若，且，则． 42．二次函数（，，是常数，）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）．其中正确的是 ．（填写序号） 【题型09：二次函数的平移变换】 43．将抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 13．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后所得到的抛物线表达式为（    ） A． B． C． D． 【题型10：二次函数交点的个数问题】 44．如图所示，已知函数的图象与一次函数的图象有三个交点，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 46．抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． 或 C． D．或 47．将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象只有四个交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 二次函数重难点题型汇编 【题型01 ：二次函数的概念】 【题型02 ：二次函数的条件】 【题型03：列处二次函数关系式】 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 【题型09：二次函数的平移变换】 【题型10：二次函数的交点个数问题】 【题型01 ：二次函数的概念】 1．下列函数属于二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查二次函数的定义，解题关键在于掌握其定义． 依据二次函数的定义回答即可． 【详解】解：A、是一次函数，故A错误； B、是二次函数，故B正确； C、是一次函数，故C错误； D、是一次函数，故D错误． 故选：B． 2．对于任意实数m，下列函数：①；②；③；④．其中，一定为二次函数的有（   ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的判断，熟练掌握二次函数的定义是解决本题的关键． 对于①、②、④项，考虑项的系数是否可以取0，若可以，则不是二次函数，若不可以，则是二次函数； 对于③，对任意实数m，，由此即可解答． 【详解】解：①当，即时，，不是二次函数； ②当，即时，，它不是二次函数； ③任意实数m，，故它是二次函数； ④当，即时，，它不是二次函数． 故选：B． 3．抛物线一次项的系数是（   ） A． B．1 C．5 D．3 【答案】A 【分析】在二次函数、b、c是常数，中，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，由此解答即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：抛物线一次项的系数是， 故选：A． 【题型02 ：二次函数的条件】 4．若是关于x的二次函数，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵是关于x的二次函数， ∴且， ∴且， ∴， 故答案为：． 5．已知是关于的二次函数， ． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数二次项系数不为零，最高次项的次数是2是解题的关键，根据二次函数的定义得到，且，求解即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴，且， 解得：， 故答案为：1． 6．若函数是二次函数，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义即可求解． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， ∴． 故答案为：1 【题型03：列出二次函数关系式】 7．已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二次函数关系式．根据正方形的面积=边长边长即可求得． 【详解】解：由正方形面积公式得：． 故选：D． 8．寒假九班名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息，那么互发信息的总次数与的函数关系式可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一共有n名同学，由于每两名同学之间互发一次信息，那么每一名同学都需给（n-1）名同学发一次信息，进而得出总次即可． 【详解】∵九(1)班n名同学为了相互表达春节的祝愿，约定每两名同学之间互发一次信息， ∴互发信息的总次数m与n的函数关系式可以表示为：m=n(n−1). 故答案选：D. 【点睛】本题考查了二次函数关系式，解题的关键是根据实际问题列二次函数关系式. 9．某楼盘8月份以每平方米20000元的均价对外销售，受市场经济影响，经过连续两个月降价，如果设平均每月降价的百分率为x，则10月份楼盘出售均价y元与平均每月降价的百分率x之间的函数关系式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，设平均每月降价的百分率为x，则9月份的楼盘出售均价为元，则10月份的楼盘出售均价为元，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 10．如图，八一广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为、，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为、，三条通道的总面积；则s与x之间的关系表达式为 ． 【答案】 【分析】用两条长为120m,宽为2xm长方形面积与一条长为（200-2个道宽2x）m,宽为3xm长方形面积和来求三条通道的总面积即可． 【详解】解：， 则s与x之间的关系表达式为． 故答案为． 【点睛】本题考查列三条通道的总面积的二次函数，掌握长方形面积公式是解题关键． 【题型04：特殊二次函数的图像和性质】 11．二次函数的图象一定经过（   ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为原点，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为原点， ∴二次函数的图象一定经过第一、二象限， 故选：A． 12．已知抛物线的顶点坐标是，且抛物线经过点，则这条抛物线的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了的图象和性质，对于二次函数，其顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，将点代入据此及可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的函数表达式为； 将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为， 故选：D 13．已知点、、在函数上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由题意易得开口向上，对称轴为直线，然后根据“开口向上离对称轴越近，其函数也就越小”可进行求解． 【详解】解：由函数可知：，开口向上，对称轴为直线， ∵点、、在函数上，且点A、B、C离对称轴的距离分别为3、0、2， ∴； 故选B． 14．抛物线，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，有最小值为2，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大， ∵， ∴当时，；当时，， ∴当时， 有最大值为6， ∴的取值范围是， 故选：C． 15．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图像特征，理解一次函数、二次函数图像位置与系数的关系成为解题的关键．根据一次函数和二次函数的图像特征，逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而增大，即；与y轴交在正半轴，出现矛盾，故此选项错误； B、由抛物线可知，图像与y轴交在正半轴，开口方向向下；由直线可知，图像随x的增大而增大，即；与y轴交在正半轴，出现矛盾，故此选项错误； C、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而减小，即；与y轴交在正半轴，不存在矛盾，故此选项正确；   D、由抛物线可知，图像与y轴交在负半轴，开口方向向上；由直线可知，图像随x的增大而减小，即；与y轴交在负半轴，出现矛盾，故此选项错误． 故选C． 16．对于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．当时，y随x的增大而增大 B．函数图象的对称轴是直线 C．这个函数有最大值1 D．函数图象与x轴有2个交点 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的图象和性质逐一分析，判定即可． 【详解】解：A．抛物线的开口向下，当时，y随x的增大而减小，错误，该选项不符合题意； B． 函数图象的对称轴是直线，错误，该选项不符合题意； C． 这个函数有最大值4，错误，该选项不符合题意； D．当时，有，解得：，，因此函数图象与x轴有2个交点，正确，该选项符合题意； 故选：D． 17．抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握对称轴为直线是解题的关键；先化为一般式，再根据对称轴为直线求解即可． 【详解】解：， 对称轴是直线， 故答案为：． 18．如果抛物线在对称轴的左侧，的值随的增大而增大，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．利用二次函数的性质得到抛物线开口向下，则可得，计算即可得到a的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴左侧，的值随的增大而增大， 抛物线开口向下， ， 解得：． 故答案为：． 【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】 19．如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在轴上，顶点在轴正半轴上，顶点在轴正半轴上．若抛物线经过点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质．根据抛物线经过点C、D和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线的对称轴和的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得的长，从而可以求得的长，进而写出点B的坐标． 【详解】解：抛物线的解析式为， 该抛物线的对称轴为直线，点的坐标为， ， 四边形是菱形， ，， 抛物线经过点， ， ， ，，， ， ， 点在轴正半轴上， 点的坐标为， 故答案为：． 【题型06：二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质】 20．函数图象顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，能够熟练运用配方法将二次函数一般式整理为顶点式是解本题的关键． 将二次函数一般式整理为顶点式即可得出答案． 【详解】解： 函数图象顶点坐标是． 故选D． 21．把二次函数用配方法化成的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查将一般式转化为顶点式，利用配方法进行转化即可． 【详解】解： ； 故选C． 22．若二次函数的图象经过，，三点，则y1，y2，y3的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识，根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴图象的开口向上，对称轴是直线，则当时，y随x的增大而减小， 关于直线的对称点是， ∵， ∴， 故选：D． 23．已知函数的图象如图所示，当时，则于x的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与不等式，根据函数图象写出x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，当时，或， 故选：B． 24．若抛物线与的形状相同，则的值为（ ） A．2 B．3或 C．1 D．2或 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握当两抛物线的形状相同时，二次函数解析的二次项系数的绝对值相同成为解题的关键． 根据“当两抛物线的形状相同时，二次函数解析的二次项系数的绝对值相同”列绝对值方程求解即可． 【详解】解：∵抛物线与的形状相同， ∴，即的值为2或． 故答案为：D． 25．已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案． 【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故， 则反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数经过第一、二、四象限， 故选：A． 26．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可知抛物线的对称轴为直线，与轴一个交点为，则另一个交点为，然后根据图象即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可知抛物线的对称轴为直线，与轴一个交点为， ∴抛物线与轴另一个交点为， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 27．如图，直线与抛物线交于，，不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是利用图象解决问题．根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解． 【详解】解：由得， 直线与抛物线交于，，， 不等式的解集是， 不等式的解集是， 故答案为：． 28．已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．由题意知，对称轴为直线，再结合已知进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：． 29．如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据图象可以直接回答，使得的自变量x的取值范围就是二次函数的图象落在直线下方的部分对应的自变量x的取值范围． 【详解】解：根据图象可得出：当或时，， 故答案为：或． 30．已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，由二次函数可得，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再根据函数图像特点求出最大值和最小值即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴函数图象的的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数有最大值；到对称轴的距离越近函数值越大， ∵，， ∴当时，函数有最小值， ∴当时，函数值y的取值范围是：， 故答案为：． 31．如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，根据抛物线的对称轴结合点的横坐标，即可求出点的横坐标，此题得解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点， ∴点 与点关于直线对称， 点的横坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 【题型07：二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题】 32．若二次函数，当时，y的最大值是n，最小值是m，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数最值问题，根据自变量的取值范围求得最大值和最小值是解决此题的关键，先把解析式化成顶点式，因为开口向上，距离对称轴越远的数对应的数值越大，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，函数值为 ， 当时，函数值为， 当时，， ∵当时，y的最大值是n，最小值是m， ∴，， ∴． 故选：D 33．当时，函数的最小值为1，则a的值为（　　） A．2 B．或1 C．0或2 D．0或1或2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时x的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时x的值，结合当时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：，， ∵当时，函数有最小值1， ∴或， 解得：或， 故选：B． 34．已知二次函数，当时，y的最小值为，则a的值为（    ） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键． 分两种情况讨论：当时，，解得；当时，在，，解得． 【详解】解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵y的最小值为， ∴， ∴； 当时，在，当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：a的值为4或， 故选：B． 35．若a，b是非负数，且，的最小值为m，最大值为n，则的值是（    ） A． B． C． D．-6 【答案】C 【分析】本题考查了求不等式组的解集，二次函数的性质，根据得出，将其代入，得出，再根据a和b为非负数，求出a的取值范围，最后根据二次函数的增减性，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵a，b是非负数， ∴， 解得：， 把代入得： ， ∵， ∴当时，的值随a的增大而增大， ∴当时，取最小值， 当时，取最大值， ∴， 故选：C． 36．二次函数在的范围内有最小值，则c的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的轴对称性，是解题的关键．根据抛物线的开口向下，对称轴是：直线，则抛物线上离对称轴越远的点的纵坐标越小，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴是：直线， ∴在的范围内，当时，y取最小值， 即：， 解得：， 故选：D． 37．函数在有最大值6，则实数的值是 ． 【答案】或． 【分析】本题主要考查了二次函数求最值问题，根据题意正确分三种情况讨论是解题关键． 先求出而二次函数的对称轴，再分，，三种情况，分别根据函数最大值时列方程求出a的值即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴其对称轴为， 根据题意可知，分以下三种情况： ①当时， 在内，y随x的增大而减小， 则当时，y取得最大值，最大值为，解得，符合题意； ②当时， 在内，当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 则当时，y取得最大值，最大值为．解得：或（不符合条件舍弃）； ③当时， 在内，y随x的增大而增大， 则当时，y取得最大值，最大值为，解得：，不符合题意； 综上，或． 38．已知二次函数，h为常数，当时，与其对应的y的最小值为5，则h的值为 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数图象的性质，根据解析式可得二次函数图象开口向上，顶点坐标为，则在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小，进而得到对称轴在直线左侧或在直线右侧，据此情况讨论求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数图象开口向上，顶点坐标为， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∵当时，与其对应的y的最小值为5， ∴对称轴在直线左侧或在直线右侧， 当对称轴在直线左侧时，则， 解得或（舍去）； 当对称轴在直线右侧时，则， 解得或（舍去）； 综上所述，或， 故答案为：或． 【题型08：根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息】 39．如图为二次函数的图象，对称轴是直线，给出以下判断：①；②；③；④（常数）．其中正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据抛物线开口方向判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，再结合对称轴判断a与b的关系，可判断①②；根据取特殊值，以及抛物线最值，可判断③④． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴是直线， ， 二次函数与轴交于正半轴， ， ， 故①正确； 对称轴是直线， ， 整理得， 故②正确； 由图知，二次函数的图象与轴交于，两点， 当时，， 故③错误； 二次函数在时取得最大值为， （常数）， ， 即， 故④正确； 综上所述，正确的有3个， 故选：B． 40．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，有以下结论：①；②；③（m为任意实数）；④若方程的两根为，，且，则，⑤，其中说法正确的有 ． 【答案】②③④⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解二次函数的开口方向，对称轴，与坐标轴交点的关系等知识． 根据抛物线开口方向、对称轴、与轴的交点可对①⑤进行判断；根据抛物线的对称性可知时，，可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；根据函数与方程的关系可对④进行判断． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ，则， ∴，所以⑤正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①错误； 抛物线对称轴是直线，且过点， 抛物线过点， 时，， ，所以②正确； 抛物线的对称轴为直线， 当时，有最小值， （为任意实数）， 则，所以③正确； 方程的两根为，，且， 抛物线与直线有两个交点，， 由图象可知，所以④正确． 故答案为：②③④⑤． 41．如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论正确的是 ．（填写序号） ①；②；③；④当时，；⑤为任意实数，则，⑥若，且，则． 【答案】①③⑥ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象的对称轴位置和抛物线开口方向确定①②⑤，根据时的值判定③，由抛物线图象和性质判定④，利用因式分解可判定⑥． 【详解】解：抛物线开口向上，则， 抛物线与轴交于点和点， 对称轴为直线， 则， ，即，故②不正确； 抛物线开口向上， ∴， ， 抛物线与轴的交点在负半轴，则， ，故①正确； 抛物线过点， 又 ，即，故③正确； 抛物线与轴交于点和点， 当时，由图象可得或，故④不正确； 对称轴为直线，， 当时，抛物线有最小值， 当为任意实数，则， 即，故⑤不正确； 若，且， ∴， ， 整理得， ∵， ∴， ∴，故⑥正确． 综上，正确的有①③⑥． 故答案为：①③⑥． 42．二次函数（，，是常数，）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法： ①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）．其中正确的是 ．（填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解图象的开口，与轴的交点，对称轴直线是函数值最大，由此分析即可，掌握二次函数图象确定二次函数系数的符号是解题的关键． 根据图象开口，与轴的交点可得，当时，，可判定①②；根据一元二次方程根据与系数的关系可判定③；根据对称轴直线是函数值最大，可判定④；由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得，图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵图象的对称轴是直线， ∴，则， ∴，故①正确； 根据图示，当时，， ∵，则， ∴，整理得，， ∴，故②错误； 方程中，， ∴， ∵，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故③正确； 当时，是二次函数的最大值， ∴（为任意实数）, ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④ ． 【题型09：二次函数的平移变换】 43．将抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的平移变换，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 直接运用二次函数图像的平移规律解答即可． 【详解】解：由平移规律可得：将抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为：． 故选A． 13．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后所得到的抛物线表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图像与几何变换，把抛物线的顶点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点的坐标为，即得到平移后抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可．解题的关键是先把二次函数的解析式配成顶点式然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， 又∵把点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到点的坐标为， ∴平移后所得的抛物线的解析式为． 故选：C． 【题型10：二次函数交点的个数问题】 44．如图所示，已知函数的图象与一次函数的图象有三个交点，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数和二次函数图象交点问题，一元二次方程的判别式， 首先根据题意画出图象，然后求出，代入求出；然后得到当一次函数的图象与相切时，得到的，进而求出，然后根据图象求解即可． 【详解】解：如图所示， 当时，函数， ∴， 当一次函数的图象经过点A时， ∴，解得； 当一次函数的图象与相切时， ∴，即， ∴， ∴， 解得， ∴由图象可得，当时，函数的图象与一次函数的图象有三个交点． 故选：D． 45．如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点B作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解 【详解】解：在中， 当，， 解得，， ，， 当时，， ∴原抛物线与轴交点坐标为， ∴翻折后与y轴的交点坐标为， 如图，当直线经过点B时，直线与新图有3个交点， 把代入中，得， ∵抛物线翻折到x轴下方的部分的解析式为：， ∴翻折后的部分解析式为：， 当直线与抛物线只有一个交点C时， 直线与图象有3个交点， 把代入中， 得到方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得， ∴当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，理解题意，找准临界点是解题关键． 46．抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是(    ) A． B． 或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据抛物线有交点，则有实数根，得出或，分类讨论，分别求得当和时的范围，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与x轴有交点， ∴有实数根， ∴ 即 解得：或， 当时，如图所示，    依题意，当时，， 解得：， 当时，，解得， 即， 当时， 当时，， 解得： ∴    综上所述， 或， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 47．将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象只有四个交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象，可发现，若直线与新函数有个交点，可以有两种情况： 直线经过点即左边的对折点，可将点坐标代入直线的解析式中，即可求出的值； 若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于的一元二次方程，那么该方程的判别式，根据这一条件可确定的取值． 【详解】解： 令，则， 解得或， ， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点． 当直线位于时，此时过点， ，即； 当直线位于时，此时与函数 的图象有一个公共点， 方程， 即有两个相等实根， ， 即； 由知若直线与新图象只有四个交点，的取值范围为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$