专题08 锐角三角函数重难点模型（五大模型）-2024-2025学年九年级数学下册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题08 锐角三角函数重难点模型（五大模型） 【题型1：背靠背模型】 【题型2：母子型】 【题型3：三角形—+矩形型】 【题型4：拥抱型】 【题型5：锐角三角函数的新定义综合】 【题型1：背靠背模型】 【方法技巧】 通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键.在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD为公共边，AD+BD=AB.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高 【典例1】如图，一水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高20米，斜坡的坡度，斜坡的坡角为，求坝底的长度．（精确到0.1米，参考数据：．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）． 【变式1-1】重庆有六座矗立百年的文峰塔，其中位于江北区塔子山的文峰塔被称为是重庆的“航标”．小宇与小航准备测量塔子山文峰塔的高度，如图，小宇在点处观测到文峰塔最高点的仰角为，再沿正对文峰塔的方向前进至处测得最高点的仰角为，小航先在点处竖立长为标杆，再后退至其眼睛所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，此时测得最高点的仰角为，已知两人身高均为（头顶到眼睛的距离忽略不计）． (1)求文峰塔的高度．（结果保留一位小数）； (2)测量结束时小宇站在点处（点在点的正下方），小航站在点处，两人相约在塔底见面，小宇的速度为，小航速度是其2倍，谁先到达塔底？请说明理由．（参考数据：） 【变式1-2】某超市自动扶梯路线如图所示，一楼扶梯段坡角为，中转平台，二楼扶梯段坡角为，已知，，，求水平距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【变式1-3】【兴趣引发】万佛塔是老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉佑七年（1062）至治平元年（1064）之间，学完三角函数知识后，某校数学小组的同学决定利用所学知识测量万佛塔的高度． 【查阅资料】为了得到非特殊角的三角函数的准确值，同学们提前做了功课，得到两角和的正切值公式：， 利用公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如． 【学以致用】根据上面的知识，解决下面的实际问题： 如图，在另一建筑物楼顶D处用测角仪测得塔顶A的仰角为，塔底B的俯角为，测得万佛塔与这一建筑之间的距离为． (1)求的值． (2)根据测量结果，求万佛塔的高度．（结果保留根号） (3)通过查阅资料得知，万佛塔的实际高度是，请利用根据本次测量结果求出万佛塔的近似值，再计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议． 【变式1-4】如图，四边形是某公园内的休闲步道，经测量，点在点的正东方向，米，点在点的正北方向，点在点的西北方向，米，点在点的南偏西方向上．（参考数据：，） (1)求步道的长度；（精确到个位） (2)甲以米分的速度沿的方向步行，同时乙骑自行车以米分的速度沿的方向行驶．两人能否在分钟内相遇？请说明理由 【题型2：母子型】 【方法技巧】 通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DBC中，BC为公共边，AD+DC=AC.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”母子“型的关键是找到两个直角三角形外的公共高 【典例2】位于洛阳的明堂，是唐洛阳城的地标性建筑，为中国古代建筑的巅峰之作．今天的明堂遗址保护建筑集遗址保护和功能展示为一体，某数学活动小组想利用学过的数学知识测量现明堂的高度．如图，在台基底部A处测得斜坡米，坡角，在处测得明堂顶端的仰角是．水平向前走2米到达处，在处测得明堂顶端的仰角是，求明堂的高度（结果精确到．参考数据：，，） 【变式2-1】如图，学校数学兴趣小组计划测量建筑物的高度，先在处测得该建筑物顶端的仰角为，从处前进到达处，在处测得该建筑物顶端的仰角为，点，，在同一条直线上，且．求建筑物的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【变式2-2】如图，在斜坡的坡顶平台处有一座信号塔，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为，在坡底的点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡长，坡度为，点与点在同一水平面上，且，．求信号塔的高度．（结果精确到，参考数据：） 【变式2-3】爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操．黄老师周末到附近的山区爬山，山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从山脚A出发，沿走420米到达B点，再沿到山顶C点，已知山高为360米，，，交的延长线于点F，，．（图中所有点均在同一平面内） (1)求的长； (2)求黄老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：，，） 【变式2-4】学校教学楼上悬挂一块标语牌，标语牌的高，数学兴趣小组要测量标语牌的底部B点到地面的距离．兴趣小组在C处测得标语牌底部B点的仰角为，在D处测得标语牌顶部A点的仰角为，．设标语牌底部B点到地面的距离为h（单位：m）．    (1)用含h的式子表示线段的长； (2)求B点到地面的距离的长（取0.4，结果取整数）． 【变式2-5】如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） (1)求新传送带的长度． (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 【题型3：三角形—+矩形型】 【典例3】大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，某滑雪运动员从离水平地面100m高的A点出发，沿俯角为的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，，求： (1)线段的长度； (2)该运动员滑行的水平距离的长度．（答案可带根号） 【变式3-1】某学习数学兴趣小组要测大树的高度，他们第一次在点A测得大树顶端B的仰角为，然后从距A点水平距离为9米高3米的平台上的D点处测得树顶端点B的仰角为．依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：）    【变式3-2】实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：， ，，求线段的长度．（参考数据：，，） 【变式3-3】如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小李在距离大楼底部15米的山坡坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走10米到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度 ，求： (1)点B距水平面的高度． (2)求广告牌的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）．参考数据：，． 【题型4：拥抱型】 【方法技巧】 分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=BC.图形演变及对应的数量关系如下：分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=BC.图形演变及对应的数量关系如下： 【典例4】如图，亮亮和聪聪两人在某地山坡上发现一个垂直于地平面的通信塔，亮亮站在房子二楼，让聪聪在地面移动水平放置的小平面镜至点处，此时亮亮在小平面镜内恰好看到塔顶，经测量，亮亮的眼睛到地面的距离米，米，米，在点处测得通信塔顶端的仰角为．已知点、、在同一条水平直线上，求塔顶到水平地面的距离．（参考数据：，，，，，） 【变式4-1】如图，数学课外兴趣小组决定利用无人机测量一下学校教学楼的高度，无人机起飞点在C处，经过一段时间飞行，无人机悬停在空中D处，此时操控者读取了无人机操作显示器上的部分数据：D离地面的垂直距离为36米，C处俯角为，教学楼顶点A处的俯角为，又经过人工测量，C与教学楼底端B距离为66米，已知点A，B，C，D都在同一平面上，求教学楼的高度 （结果精确到0.1米，参考数据：） 【题型5：锐角三角函数的新定义综合】 【典例5】定义：， ， ， ； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明： （，）． 【变式5-1】我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：    (1)________． (2)对于，的正对值的取值范围是________． (3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值． 【变式5-2】阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对．如图1，在中，，顶角的正对记作，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)计算：______； (2)对于，的正对值的取值范围是______； (3)如（3）图，已知，，其中为锐角，试求的值． 【变式5-3】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）． 如图①：在中，，顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)对于，的正对值的取值范围是 ； (3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值． 【变式5-4】综合与实践 【问题情境】 通过查看出厂包装袋上的数据，数学活动小组的同学发现纸的长与宽分别为和，其比值为，而，他们上网查阅资料也发现纸的长与宽的比是一个特殊值“”．不妨定义长与宽的比为的矩形为“标准矩形”． 【操作实践】 如图1，数学活动小组的同学在几何画板软件上画了一个正方形，连接对角线，在射线上截取了，过点E作交的延长线于点F，令． 【问题探究】 (1)求证：四边形为“标准矩形”． (2)如图2，数学活动小组的同学在图1的基础上隐藏了线段，在线段上取一点P，连接，． ①当平分时，求的长； ②当的周长最小时，求的正切值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 锐角三角函数重难点模型（五大模型） 【题型1：背靠背模型】 【题型2：母子型】 【题型3：三角形—+矩形型】 【题型4：拥抱型】 【题型5：锐角三角函数的新定义综合】 【题型1：背靠背模型】 【方法技巧】 通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键.在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD为公共边，AD+BD=AB.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高 【典例1】如图，一水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高20米，斜坡的坡度，斜坡的坡角为，求坝底的长度．（精确到0.1米，参考数据：．提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比）． 【答案】90.6米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，特殊锐角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值． 作，垂足分别为点E，F，则四边形是矩形，利用坡度和正切的定义分别求出米，米．即可求出的长度． 【详解】解：作，垂足分别为点E，F，则四边形是矩形， 由题意得，米，米，斜坡的坡度为， 在中，， 米． 在中，， 米， （米）． 故坝底AD的长度约为90.6米． 【变式1-1】重庆有六座矗立百年的文峰塔，其中位于江北区塔子山的文峰塔被称为是重庆的“航标”．小宇与小航准备测量塔子山文峰塔的高度，如图，小宇在点处观测到文峰塔最高点的仰角为，再沿正对文峰塔的方向前进至处测得最高点的仰角为，小航先在点处竖立长为标杆，再后退至其眼睛所在位置点、标杆顶、最高点在一条直线上，此时测得最高点的仰角为，已知两人身高均为（头顶到眼睛的距离忽略不计）． (1)求文峰塔的高度．（结果保留一位小数）； (2)测量结束时小宇站在点处（点在点的正下方），小航站在点处，两人相约在塔底见面，小宇的速度为，小航速度是其2倍，谁先到达塔底？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1)文峰塔的高度约为； (2)小宇先到达塔底． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）设与相交于点，设，则，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而列出关于的方程，进而求出的长，最后进行计算即可解答； （2）设与相交于点，根据题意可得：，则，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而求出的长，最后分别求出他们所用的时间，进行比较即可解答． 【详解】（1）解：设与相交于点， 由题意得： ，， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 文峰塔的高度约为； （2）解：小宇先到达塔底， 理由：设与相交于点， 由题意得： ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， 小宇的速度为，小航速度是其2倍， 小航的速度为， ，， ， 小宇先到达塔底． 【变式1-2】某超市自动扶梯路线如图所示，一楼扶梯段坡角为，中转平台，二楼扶梯段坡角为，已知，，，求水平距离的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】． 【分析】此题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识．分别过点，作，分别垂直于，垂足分别为，．过点E作于点H，证明四边形是矩形，则，证明四边形是矩形，则，再利用解直角三角形分别求出和，即可得到水平距离的长． 【详解】解：如图，分别过点，作，分别垂直于，垂足分别为，．过点E作于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ． 在中，，， ， ∴， ． 答：水平距离的长为． 【变式1-3】【兴趣引发】万佛塔是老金华城地标性建筑，始建于北宋嘉佑七年（1062）至治平元年（1064）之间，学完三角函数知识后，某校数学小组的同学决定利用所学知识测量万佛塔的高度． 【查阅资料】为了得到非特殊角的三角函数的准确值，同学们提前做了功课，得到两角和的正切值公式：， 利用公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如． 【学以致用】根据上面的知识，解决下面的实际问题： 如图，在另一建筑物楼顶D处用测角仪测得塔顶A的仰角为，塔底B的俯角为，测得万佛塔与这一建筑之间的距离为． (1)求的值． (2)根据测量结果，求万佛塔的高度．（结果保留根号） (3)通过查阅资料得知，万佛塔的实际高度是，请利用根据本次测量结果求出万佛塔的近似值，再计算本次测量结果的误差，并提出一条减少误差的合理化建议． 【答案】(1) (2) (3)近似值：；误差：；建议：多测几次，或者选用更精密的测量工具等． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，平方差公式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用两角和的正切值公式： ，进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （3）利用（2）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）过点作，垂足为， 由题意得：， 在中，， ， 在中，， ， ， ∴万佛塔的高度为； （3）万佛塔的高度 ， ∵万佛塔的实际高度是， ∴本次测量结果的误差， 建议：多次测量求平均值，可以减小误差． 【变式1-4】如图，四边形是某公园内的休闲步道，经测量，点在点的正东方向，米，点在点的正北方向，点在点的西北方向，米，点在点的南偏西方向上．（参考数据：，） (1)求步道的长度；（精确到个位） (2)甲以米分的速度沿的方向步行，同时乙骑自行车以米分的速度沿的方向行驶．两人能否在分钟内相遇？请说明理由． 【答案】(1)约米 (2)两人能在分钟内相遇，理由见解析 【分析】（）过点作于，过点作于，解求出米，得到米，米，进而解求出即可求解； （）解求出米，求出四边形的周长，再求出两人相遇的时间即可判断求解； 本题考查了解直角三角形方向角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于，过点作于，则四边形是矩形， ∴米，， 在中，，米， ∴米， ∴米，米， 在中，，米，， ∴米， ∴米； 答：步道的长度约为米； （2）解：两人能在分钟内相遇，理由如下： 在中，，米， ∴， ∴米， ∴四边形的周长为米， ∴秒， ∴两人能在分钟内相遇． 【题型2：母子型】 【方法技巧】 通过在三角形外作高BC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DBC中，BC为公共边，AD+DC=AC.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”母子“型的关键是找到两个直角三角形外的公共高 【典例2】位于洛阳的明堂，是唐洛阳城的地标性建筑，为中国古代建筑的巅峰之作．今天的明堂遗址保护建筑集遗址保护和功能展示为一体，某数学活动小组想利用学过的数学知识测量现明堂的高度．如图，在台基底部A处测得斜坡米，坡角，在处测得明堂顶端的仰角是．水平向前走2米到达处，在处测得明堂顶端的仰角是，求明堂的高度（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】明堂的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形．延长交于M点，作于点F，先求出，设，利用三角函数求出x，即可求出结论． 【详解】解：延长交于M点，作于点F，如图， 由题意得：， 则， 四边形是矩形， 在中，，米， ， ， 在中，， ， ， 设， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 答：明堂的高度为． 【变式2-1】如图，学校数学兴趣小组计划测量建筑物的高度，先在处测得该建筑物顶端的仰角为，从处前进到达处，在处测得该建筑物顶端的仰角为，点，，在同一条直线上，且．求建筑物的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】约27.5米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：题意得，， 设米， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， 经检验：是原方程的根， （米， 建筑物的高度约为27.5米． 【变式2-2】如图，在斜坡的坡顶平台处有一座信号塔，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为，在坡底的点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡长，坡度为，点与点在同一水平面上，且，．求信号塔的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，勾股定理，过点作，垂足为，延长交于点，则四边形为矩形，得，，由斜坡的坡度为得，设，则，利用勾股定理得，得到，，又由，得，设，得，再由即可求解；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点，则四边形为矩形， ∴，， ∵斜坡的坡度为，   ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得 ，， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 设， 则， ∴， 在中，， ∴， 解得， 答：信号塔的高度约为． 【变式2-3】爬山能强身健体，亲近自然，陶冶情操．黄老师周末到附近的山区爬山，山的形状如图①，爬山路线示意图如图②，黄老师从山脚A出发，沿走420米到达B点，再沿到山顶C点，已知山高为360米，，，交的延长线于点F，，．（图中所有点均在同一平面内） (1)求的长； (2)求黄老师从山脚A点到达山顶C点共走了多少米？（结果精确到1米）．（参考数据：，，） 【答案】(1)的长为210米； (2)黄老师从山脚点到达山顶C点的路程为米． 【分析】本题考查了含30度的三角形的性质，矩形的判定性质，解直角三角形，解题的关键是理解三角函数的概念． （1）在中，根据，可得即可求解； （2）根据，，得出，再根据四边形是矩形结合即可求解． 【详解】（1）解：在中，， 米， ∴的长为210米； （2）解：，， ∴，    ∴四边形是矩形，，米，米， 在中，， ∴米， ∴米． ∴黄老师从山脚点到达山顶C点的路程为米． 【变式2-4】学校教学楼上悬挂一块标语牌，标语牌的高，数学兴趣小组要测量标语牌的底部B点到地面的距离．兴趣小组在C处测得标语牌底部B点的仰角为，在D处测得标语牌顶部A点的仰角为，．设标语牌底部B点到地面的距离为h（单位：m）．    (1)用含h的式子表示线段的长； (2)求B点到地面的距离的长（取0.4，结果取整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键． （1）先利用直角三角形两锐角互余求得，由等腰三角形的判定得，即可求解； （2）在中，由，得，解之即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴； （2）解：∵，， 在中， ∵ ∴ ∴， 答：B点到地面的距离的长． 【变式2-5】如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） (1)求新传送带的长度． (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 【答案】(1)新传送带AC的长度为6.1米 (2)货物需要搬走，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题． （1）过A作，在和中，利用解直角三角形求解即可； （2）在和中，求得和的长，根据，代入数据计算即可求解． 【详解】（1）解：过A作， 在中， ， 米， 在中， ， 米， 答：新传送带AC的长度为6.1米； （2）解：在中， ， 米， 在中，， 米， ， ， 货物需要搬走． 【题型3：三角形—+矩形型】 【典例3】大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，某滑雪运动员从离水平地面100m高的A点出发，沿俯角为的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，，求： (1)线段的长度； (2)该运动员滑行的水平距离的长度．（答案可带根号） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用， （1）作于E，作于F，由题意得，，，利用，，可得、，再证明四边形是矩形，可得：，，再利用进行求解即可； （2）利用，求出，再结合（1）的结果即可作答． 【详解】（1）解：如图，作于E，作于F， ，， 由题意得，，，，， ∵在中，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，在中，， ∴（）； （2）∵，在中，，， ∴， 由（1）得：， ， 即她滑行的水平距离为米． 【变式3-1】某学习数学兴趣小组要测大树的高度，他们第一次在点A测得大树顶端B的仰角为，然后从距A点水平距离为9米高3米的平台上的D点处测得树顶端点B的仰角为．依据他们测量的数据求出大树的高度．（参考数据：）    【答案】11米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形是解答的关键．过点D作于点G，设米，先求得米，则米，在中，利用正切定义列方程求解x值即可． 【详解】解：如图所示：过点D作于点G，设米，    在中，， ∴米， 又米， ∴在矩形中，米，米， 在中，由 解得： 经检验，是方程的解． 答：大树的高度约为11米． 【变式3-2】实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：， ，，求线段的长度．（参考数据：，，） 【答案】(1)酒精灯与铁架台的水平距离的长度为19.6 (2)线段的长度为21.8 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过点作于点，根据题意可得 ， ，利用三角函数可得（），易得 ，即可获得答案； （2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得 ，然后由求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如下图， ∵ ，， ∴ ， ， ∵， ∴（）， ∴ ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为19.6； （2）如图，过点作于点H，于点，过点作于点， 则（），（）， ∵ ， ∴（）， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴（）， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴（）， 答：线段的长度为21.8 ． 【变式3-3】如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小李在距离大楼底部15米的山坡坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走10米到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度 ，求： (1)点B距水平面的高度． (2)求广告牌的高度（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）．参考数据：，． 【答案】(1)点B距水平面的高度是5米； (2)广告牌的高度为米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解坡度和仰角的概念是解答的关键． （1）在中，通过解直角三角形求出； （2）过B作的垂线，设垂足为G．在解直角三角形求出的长，进而可求出即的长，在中，，则，由此可求出的长然后根据即可求出宣传牌的高度． 【详解】（1）解：在，∵， ∴， ∴（米）； （2）解：在中， （米）， 在中，， ∴（米）， 过点B作于G，则米，米， ∴米， ∵米， ∴（米）， 故广告牌的高度改为米． 【题型4：拥抱型】 【方法技巧】 分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=BC.图形演变及对应的数量关系如下：分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=BC.图形演变及对应的数量关系如下： 【典例4】如图，亮亮和聪聪两人在某地山坡上发现一个垂直于地平面的通信塔，亮亮站在房子二楼，让聪聪在地面移动水平放置的小平面镜至点处，此时亮亮在小平面镜内恰好看到塔顶，经测量，亮亮的眼睛到地面的距离米，米，米，在点处测得通信塔顶端的仰角为．已知点、、在同一条水平直线上，求塔顶到水平地面的距离．（参考数据：，，，，，） 【答案】20米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的判定与性质，先分析题干得出，，，再得出，然后证明，把数值代入，算出，即可作答． 【详解】解：过点作于点， 由题意知，， 在中，，， 设，则． ，， ， 即， 解得， 则（米）． 答：塔顶到水平面的距离为20米． 【变式4-1】如图，数学课外兴趣小组决定利用无人机测量一下学校教学楼的高度，无人机起飞点在C处，经过一段时间飞行，无人机悬停在空中D处，此时操控者读取了无人机操作显示器上的部分数据：D离地面的垂直距离为36米，C处俯角为，教学楼顶点A处的俯角为，又经过人工测量，C与教学楼底端B距离为66米，已知点A，B，C，D都在同一平面上，求教学楼的高度 （结果精确到0.1米，参考数据：） 【答案】教学楼的高度约为19.3米． 【分析】过点C作，垂足为F，延长交于点G，本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键，过点C作，垂足为F，延长交于点G． 由题意得：米，米，解直角三角形，根据角度与线段的关系，进行计算解答即可． 【详解】解：如图：过点C作，垂足为F，延长交于点G，    由题意得：， 四边形是矩形 米，米， 在中， （米）， ∴（米）， 在中，， （米）， （米）， 答：教学楼的高度约为19.3米． 【题型5：锐角三角函数的新定义综合】 【典例5】定义：， ， ， ； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明： （，）． 【答案】(1)；1； (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三角函数的有关计算，解题的关键是理解题意，熟练掌握三角函数的定义． （1）根据题干中提供的信息进行计算即可； （2）根据三角函数的定义进行解答即可； （3）根据解析（2）的结论分别求出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； ； ； （2）证明：∵在中，，，，， ∴，，， ∵， ∴． （3）证明：∵ ， ∴． 【变式5-1】我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（），如图①，在中，，顶角A的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：    (1)________． (2)对于，的正对值的取值范围是________． (3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，,，所以. （2）如图，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近， 相应的；当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的；于是． （3）如图，在上截取，过H作于D，设，则,．解，，． 【详解】（1）解：如图，, , ∵, ∴.    （2）解：如图，点A在的中垂线上，当点A向靠近时，增大，逐渐接近，腰长接近， 相应的； 当点A远离时，减小，逐渐接近，腰长逐渐增大，相应的逐渐接近0，； ∴    （3）解：如图，在上截取，过H作于D， ， 设，则，, ∴． 中，， ∴．    【点睛】本题考查新定义，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质；添加辅助线，构造等腰三角形是解题的关键． 【变式5-2】阅读理解：通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小，与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似地，可以在等腰三角形中，建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对．如图1，在中，，顶角的正对记作，这时底边腰．容易知道一个角的大小，与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1)计算：______； (2)对于，的正对值的取值范围是______； (3)如（3）图，已知，，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了新定义、三角函数、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，理解新定义是解此题的关键． （1）先求出底角度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对定义解答即可； （2）求出0度和90度时等腰三角形底和腰的比即可； （3）由，令，则，，在上取点，使，连接，作，为垂足，表示出的长，再计算出，最后由正对的定义即可求解． 【详解】（1）解：根据正对定义可得： 当顶角为时，等腰三角形底角为，则三角形为等边三角形， 底边腰长， 故答案为：1； （2）解：当接近时，底边长接近0，由定义知接近0， 当接近时，等腰三角形的底接近腰的倍，由定义知接近， 的正对值的取值范围是， 故答案为：； （3）解：如图： 在中，， 令，则，， 在上取点，使，连接，作，为垂足， ∴， ，， ． 【变式5-3】通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（）． 如图①：在中，，顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题： (1) ； (2)对于，的正对值的取值范围是 ； (3)如图②，已知，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了新定义、三角函数、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，理解新定义是解此题的关键． （1）先求出底角度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对定义解答即可； （2）求出0度和90度时等腰三角形底和腰的比即可； （3）由，令，，则，，在上取点，使，连接，作，为垂足，表示出的长，再计算出，最后由正对的定义即可求解． 【详解】（1）解：根据正对定义可得： 当顶角为时，等腰三角形底角为，则三角形为等边三角形， 底边腰长， 故答案为：1； （2）解：当接近时，底边长接近0，由定义知接近0， 当接近时，等腰三角形的底接近腰的倍，由定义知接近， 的正对值的取值范围是， 故答案为：； （3）解：如图： 在中，， ， 令，，则， ∴，， 在上取点，使，连接，作，为垂足， ∴，， ， ∴， ． 【变式5-4】综合与实践 【问题情境】 通过查看出厂包装袋上的数据，数学活动小组的同学发现纸的长与宽分别为和，其比值为，而，他们上网查阅资料也发现纸的长与宽的比是一个特殊值“”．不妨定义长与宽的比为的矩形为“标准矩形”． 【操作实践】 如图1，数学活动小组的同学在几何画板软件上画了一个正方形，连接对角线，在射线上截取了，过点E作交的延长线于点F，令． 【问题探究】 (1)求证：四边形为“标准矩形”． (2)如图2，数学活动小组的同学在图1的基础上隐藏了线段，在线段上取一点P，连接，． ①当平分时，求的长； ②当的周长最小时，求的正切值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由已知得，可证得，得证． （2）①由，，可得，得，，设，由得，解出即可． ②延长BF至点，使得，连接，交EF于点P，连接PB，则此时的周长最小，由轴对称的性质，得，所以，分别求出，长即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴四边形为“标准矩形”． （2）①解：∵DP平分， ∴． 又∵，， ∴（SAS）． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． 设，则． ∴， 解得． ∴． ②解：延长BF至点，使得，连接，交EF于点P，连接PB，如解图所示，则此时的周长最小． ∵，， ∴． ∴． 由轴对称的性质，得． ∴． 【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，涉及的知识点有勾股定理，全等三角形的判定和性质，应用轴对称求三角形的周长最短，锐角三角函数值的求法．熟练掌握相关的知识，添加适当的辅助线进行转化是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$