第四部分 第四周 周六（word练习）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

第四周 周六 ____月____日 1．复数的虚部是(　　) A．2　　 B．－2 C．1　　 D．－1 解析：C　[因为＝＝2＋i， 所以复数的虚部为1.] 2．已知偶函数f(x)满足f(x)＝f(2－x)，且当x∈(0,1)时，f(x)＝2x＋1，则的值为(　　) A. B. C．－ D. 解析：D　[因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)， 又f(x)＝f(2－x)，所以f(－x)＝f(2－x)， 即f(x)＝f(2＋x)， 所以函数f(x)是以2为周期的周期函数， 因为4＝log216＜log219＜log232＝5， 所以＝f(－log219)＝f(log219)＝f(log219－4)＝f ＝＋1＝＋1＝.] 3．[多选]已知数列{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项的和，若a1＜0，S2000＝S2024，则(　　) A．d＞0 B．a2012＝0 C．S4024＝0 D．Sn≥S2012 解析：ACD　[因为S2000＝S2024，所以a2001＋a2002＋…＋a2024＝0， 所以＝0，所以a2001＋a2024＝a2012＋a2013＝2a1＋4023d＝0， 又因为a1＜0，所以d＝－a1＞0，故A正确； a2012＝a1＋2011d＝a1－a1＝a1＜0，故B错误； S4024＝＝2012(a2001＋a2024)＝0，故C正确； 因为a2012＜0，a2013＝－a2012＞0， 所以当n≤2012时，an＜0，当n≥2013时，an＞0， 所以(Sn)min＝S2012，所以Sn＞S2012，故D正确．] 4．椭圆＋＝1的左，右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若△ABF2的面积是4，则|y1－y2|＝________. 解析：由题意F1(－，0)，F2(，0)，则|F1F2|＝2， 因为＝|y1－y2|·|F1F2|＝4， 所以|y1－y2|＝＝＝. 答案： 5.(2024·温州适应性考试二)如图，对于曲线Γ，存在圆C满足如下条件： ①圆C与曲线Γ有公共点A，且圆心在曲线Γ凹的一侧； ②圆C与曲线Γ在点A处有相同的切线； ③曲线Γ的导函数在点A处的导数(即曲线Γ的二阶导数)等于圆C在点A处的二阶导数(已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2在点A(x0，y0)处的二阶导数等于)； 则称圆C为曲线Γ在A点处的曲率圆，其半径r称为曲率半径． (1)求抛物线y＝x2在原点的曲率圆的方程； (2)求曲线y＝的曲率半径的最小值； (3)若曲线y＝ex在和 (x1≠x2)处有相同的曲率半径，求证：x1＋x2＜－ln 2. 解：(1)记f(x)＝x2，设抛物线y＝x2在原点的曲率圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2，其中b为曲率半径． 则f′(x)＝2x，f″(x)＝2， 故2＝f″(0)＝＝，2＝，即b＝， 所以抛物线y＝x2在原点的曲率圆的方程为x2＋2＝； (2)设曲线y＝f(x)在(x0，y0)处的曲率半径为r.则 ， 由(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2知，[f′(x0)]2＋1＝， 所以， 故曲线y＝在点(x0，y0)处的曲率半径 ， 所以r2＝＝3≥2，则 则≥，当且仅当x＝， 即x＝1时取等号， 故r≥，曲线y＝在点(1,1)处的曲率半径最小，最小值r＝. (3)法一：函数y＝ex的图象在(x，ex)处的曲率半径r＝， 则有t＋＝t＋， 所以t－t＝－，即(t1－t2)(t1＋t2)＝，故t1t2(t1＋t2)＝1. 因为x1≠x2，所以t1≠t2， 所以x1＋x2＜－ln 2. 法二：函数y＝ex的图象在(x，ex)处的曲率半 径r， 有r2＝＝e4x＋3e2x＋3＋e－2x 令，则有t＋3t1＋3＋＝t＋3t2＋3＋， 则(t1－t2)＝0，故t1＋t2＋3－＝0， 因为x1≠x2，所以t1≠t2， 所以有0＝t1＋t2＋3－＞2＋3－， 令t＝，则2t＋3－＜0，即0＞2t3＋3t2－1＝(t＋1)2(2t－1)， 故t＜，所以，即x1＋x2＜－ln 2； 法三：函数y＝ex的图象在(x，ex)处的曲率半径， 有r2＝＝e4x＋3e2x＋3＋e－2x， 设h(x)＝e4x＋3e2x＋3＋e－2x. 则有h′(x)＝4e4x＋6e2x－2e－2x＝2e－2x(e2x＋1)2(2e2x－1)， 所以当x∈时h′(x)＜0，当x∈时h′(x)＞0， 故h(x)在上单调递减，在上单调递增． 故有x1＜－ln 2＜x2， 所以x1，－ln 2－x2∈ 要证x1＋x2＜－ln 2，即证x1＜ln 2－x2， 即证h(x2)＝h(x1)＞h(－ln 2－x2)．将x1＋x2＜－ln 2， 下证：当x∈时， 有h(x)＞h(－ln 2－x)， 设函数H(x)＝h(x)－h(－ln 2－x) (其中x＞－ln 2)， 则H′(x)＝h′(x)＋h′(－ln 2－x)＝(2e2x－1)2＞0， 故H(x)单调递增，故H(x)＞H＝0， 故h(x2)＞h(－ln 2－x2)，所以x1＋x2＜－ln 2. 学科网（北京）股份有限公司 $$