第四部分 第四周 周二（word练习）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

第四周 周二 ____月____日 1．设命题p：∃x∈R，ax＞kx，则綈p为(　　) A．∀x∈R，ax＞kx B．∃x∈R，ax≤kx C．∀x∈R，ax≤kx D．∃x∈R，ax＝kx 解析：C　[由题意可知綈p：∀x∈R，ax≤kx.] 2．已知α，β满足π≤α≤2π，－≤β≤，且35＋2cos α＝5,96β5＋2sin 2β＝－5， 则sin＝(　　) A.　　　　　 B. C. D. 解析：D　[由96β5＋2sin 2β＝－5，得3(－2β)5＋2sin(－2β)－5＝0， 由35＋2cos α＝5， 得35＋2sin－5＝0， 故－2β和α－是方程3x5＋2sin x－5＝0的两个实数根． 因为α∈[π，2π]，β∈， 所以α－和－2β的取值范围都是， 因为函数y＝3x5，y＝2sin x在区间上均单调递增， 所以函数y＝3x5＋2sin x在区间上单调递增， 故方程3x5＋2sin x－5＝0在区间上只有一个根， 所以α－＝－2β，即α＋2β＝，于是有＋＝， 所以sin＝sin＝sincos－cossin＝.] 3．[多选]已知z满足(1－i)＝z＋，则(　　) A．z＝－4＋i B．复平面内对应的点在第一象限 C．z＝17 D．z的实部与虚部之积为－4 解析：ACD　[设z＝x＋yi(x，y∈R)， 则由已知得(x－yi)(1－i)＝x＋yi＋，即x－y－(x＋y)i＝x－1＋(y＋2)i， 所以解得 所以z＝－4＋i，则＝－4－i，故A项正确，B项错误； z＝(－4＋i)(－4－i)＝17，z的实部为－4，虚部为1， 所以z的实部与虚部之积为－4，故C，D项正确．] 4．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过点F1作斜率为的直线与C的右支交于点P，且点M满足2＝＋，且⊥，则C的离心率是________． 解析：如图，直线F1P的斜率为. 由2＝＋，得点M为PF1的中点， 又⊥，所以F2M是线段F1P的垂直平分线，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c， 过点O作ON⊥PF1于点N，由已知得tan∠NF1O＝， 所以cos∠NF1O＝＝＝＝， 所以sin∠NF1O＝cos∠NF1O·tan∠NF1O＝·＝， 所以＝sin∠NF1O＝，即|ON|＝a，所以|NF1|＝＝b， 又ON∥MF2，O为F1F2的中点， 所以|MF1|＝2|NF1|＝2b，所以|PF1|＝4b， 由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝4b－2c＝2a，即2b＝c＋a， 所以4b2＝(c＋a)2，可得4(c2－a2)＝(c＋a)2，整理得3c2－2ac－5a2＝0， 即3e2－2e－5＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)， 又题中直线与C的右支有交点，所以＞，即b2＞a2， 所以c2－a2＞a2，即c2＞2a2，所以＞2，即e＞， 所以C的离心率为. 答案： 5．(2024·日照二模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.分别以a，b，c为边长的正三角形的面积依次为S1，S2，S3，且S1－S2－S3＝bc. (1)求角A； (2)若＝4，∠CAD＝，求sin∠ACB. 解：(1)根据题意，化简得到a2－b2－c2＝bc，利用余弦定理求得cos A＝－，即可求解；(2)设∠ACB＝α，在△ABD和△ACD中，利用正弦定理化简得到cos α＝sin α，结合三角函数基本关系式，联立方程组，求得sin∠ACB的值． (1)由分别以a，b，c为边长的正三角形的面积依次为S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2， 则S1－S2－S3＝a2－b2－c2＝bc，可得a2－b2－c2＝bc， 由余弦定理得cos A＝＝－， 因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)设∠ACB＝α(其中α为锐角)， 在△ABD和△ACD中，由正弦定理可得＝且＝， 于是＝， 又因为BD＝4CD，sin ＝sin ，所以＝＝4, 化简得cos α＝sin α， 根据同角三角函数的基本关系式，可得cos2α＋sin2α＝1， 因为sin α＞0，联立方程组，解得sin α＝， 即sin∠ACB＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$