第一部分 专题四 培优微专题15 立体几何中的动态问题（word练习）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

1．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，Q是正方形B1BCC1内的动点，A1Q⊥BC1，则Q点的轨迹是(　　) A．点B1　　　　 B．线段B1C C．线段B1C1 D．平面B1BCC1 解析：B　[如图，连接A1C， 因为BC1⊥A1Q，BC1⊥A1B1，A1Q∩A1B1＝A1，A1Q，A1B1⊂平面A1B1Q， 所以BC1⊥平面A1B1Q， 又B1Q⊂平面A1B1Q，所以BC1⊥B1Q， 又BC1⊥B1C，所以点Q在线段B1C上．] 2．已知点P是正四面体A­BCD内的动点，E是棱CD的中点，且点P到棱AB和棱CD的距离相等，则点P的轨迹被平面ABE所截得的图形为(　　) A．线段 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 解析：D　[首先证明CD⊥平面ABE，又点P的轨迹被平面ABE所截，即点P在平面ABE内，此时点P到棱CD的距离为PE，再根据抛物线的定义判断即可． 在正四面体A ­BCD中，E是棱CD的中点， 所以AE⊥CD，BE⊥CD，又AE∩BE＝E，AE、BE⊂平面ABE，所以CD⊥平面ABE， 又点P的轨迹被平面ABE所截，即点P在平面ABE内， ∴点P到棱CD的距离为PE. 在平面ABE内过点P作PF⊥AB，则PF为点P到棱AB的距离， 又点P到棱AB和棱CD的距离相等， 即PE＝PF， 因此，在平面ABE内，动点P到棱AB和到定点E的距离相等．由抛物线的定义得，动点P的轨迹是抛物线的一部分．] 3．如图所示，已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN中点轨迹的面积为(　　) A．4π B．2π C．π D. 解析：D　[易知DD1⊥平面ABCD，∠MDN＝90°，取线段MN的中点P，则DP＝MN＝1，所以点P的轨迹是以D为球心，1为半径的球面，故S＝×4π×12＝.] 4．(2024·梅州模拟)如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，动点P在体对角线BD1上(含端点)，则下列结论不正确的有(　　) A．当P为BD1的中点时，∠APC为锐角 B．存在点P，使得BD1⊥平面APC C．AP＋PC的最小值为2 D．顶点B到平面APC的最大距离为 解析：C　[如图，以点D为原点建立空间直角坐标系， 设＝λ(0≤λ≤1)， 则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)， 则＝(－1，－1,2)， 故＝λ＝(－λ，－λ，2λ)， 则＝＋＝(0,1,0)＋(－λ，－λ，2λ) ＝(－λ，1－λ，2λ)， ＝＋＝(1,0,0)＋(－λ，－λ，2λ) ＝(1－λ，－λ，2λ)． 对于A，当P为BD1中点时，P， 则＝，＝， 所以cos∠APC＝＝>0， 所以∠APC为锐角，故A正确； 当BD1⊥平面APC时， 因为AP，CP⊂平面APC， 所以BD1⊥AP，BD1⊥CP， 则 解得λ＝， 故存在点P，使得BD1⊥平面APC，故B正确； 对于C，当BD1⊥AP，BD1⊥CP时，AP＋PC取得最小值， 由B得，此时λ＝， 则＝，＝， 所以||＝||＝， 即AP＋PC的最小值为，故C错误； 对于D，＝(0,1,0)，＝(－1,1,0)， 设平面APC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则有 可取n＝(2λ，2λ，2λ－1)， 则点B到平面APC的距离为 ||·|cos〈，n〉|＝ ＝， 当λ＝0时，点B到平面APC的距离为0， 当0<λ≤1时， ＝ ＝≤， 当且仅当λ＝时，取等号，所以点B到平面APC的最大距离为，故D正确．] 5．[多选]在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，点P在平面ABCD内，下列选项正确的是(　　) A．若点P到直线CC1的距离与点P到平面BB1C1C的距离相等，则点P的轨迹为直线 B．若点P到直线CC1的距离与点P到AA1的距离之和等于4，则点P的轨迹为椭圆 C．若∠BD1P＝45°，则点P的轨迹为抛物线 D．若∠BD1P＝60°，则点P的轨迹为双曲线 解析：ABD　[利用圆锥曲线的定义及题干截面形状，结合选项逐个验证可得答案． 对于A，如图，P到直线CC1的距离与P到平面BB1C1C的距离相等，又P在平面ABCD内，所以在平面ABCD内，P到C的距离与P到直线BC的距离相等， 又C∈BC，∴P在直线CD上，故P的轨迹为直线，故A正确； 对于B，P到直线CC1的距离与P到AA1的距离之和等于4，由长方体的性质可知P到点C的距离与P到A的距离之和等于4，即平面内，P到C的距离与P到A的距离之和等于4＞|AC|＝2，∴P的轨迹为椭圆，故B正确； 对于C，如图，根据长方体的性质知：BD1与平面ABCD所成的角为∠D1BD＝α， ∴∠BD1P＝45°时，相当于以BD1为轴，轴截面的顶角为2θ＝90°的圆锥被面ABCD所截形成的曲线，而BD1＝2，DD1＝4，则sin α＝＞＝sin 45°，即45°＜α＜90°，故P的轨迹为椭圆，故C错误； 对于D，同C分析：∠BD1P＝60°时，相当于以BD1为轴，轴截面的顶角为2θ＝120°的圆锥被面ABCD所截形成的曲线， 而sin α＝＜＝sin 60°，即0＜α＜60°，故P的轨迹为双曲线，故D正确．] 6．[多选](2024·鹰潭一模)直四棱柱ABCD ­A1B1C1D1的所有棱长都为4，∠BAD＝，点P在四边形BDD1B1及其内部运动，且满足|PA|＋|PC|＝8，则下列选项正确的是(　　) A．点P的轨迹的长度为π. B．直线AP与平面BDD1B1所成的角为定值． C．点P到平面AD1B1的距离的最小值为. D.·的最小值为－2. 解析：BC　[建立空间直角坐标系，表示|PA|＋|PC|＝8，化简后得点P的轨迹方程，得轨迹长度判断A；向量法求线面角判断B，向量法求点到平面距离，结合点P的轨迹得最小值判断C；坐标表示向量数量积，结合点P的轨迹最小值判断D. 直四棱柱ABCD ­A1B1C1D1的所有棱长都为4，则底面ABCD为菱形， 又∠BAD＝，则△ABD和△CBD都是等边三角形，设BD与AC相交于点O，由于BD⊥AC，可以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，过O垂直于底面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则有A(2，0,0)，B(0,2,0)，C(－2，0,0)，D(0，－2,0)，A1(2，0,4)，B1(0,2,4)，C1(－2，0,4)，D1(0，－2,4)， 点P在四边形BDD1B1及其内部运动，设P(0，y，z)，－2≤y≤2,0≤z≤4， 由|PA|＋|PC|＝8，有＋＝8， 即y2＋z2＝4(－2≤y≤2,0≤z≤2)， 所以点P的轨迹为yOz平面内，以O为圆心，2为半径的半圆弧， 所以点P的轨迹的长度为2π，A选项错误； 平面BDD1B1的法向量为m＝(1,0,0)， ＝(－2，y，z)， 直线AP与平面BDD1B1所成的角为θ，则sin θ＝＝＝， 又由θ∈，则θ＝， 所以直线AP与平面BDD1B1所成的角为定值，B选项正确； ＝(－2，2,4)，(－2，－2,4)，设平面AD1B1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则有，令x＝2，得y＝0，z＝，n＝(2,0，) 所以点P到平面AD1B1的距离d＝＝＝， 0≤z≤2，所以z＝2时，dmin＝＝， 所以点P到平面AD1B1的距离的最小值为，C选项正确； ＝(2，－y,4－z)，＝(－2，－y,4－z)， ·＝－12＋y2＋(z－4)2，其几何意义为点P(y，z)到点(0,4)距离的平方减12， 由y2＋z2＝4，点P(y，z)到点(0,4)距离最小值为4－2＝2， ·的最小值为22－12＝－8，D选项错误．] 7．如图，点P是棱长为1的正方体ABCD ­A1B1C1D1表面上的一个动点，直线AP与平面ABCD所成的角为60°，则点P的轨迹长度为________． 解析：先利用直线AP与平面ABCD所成的角为60°，求得点P的轨迹，进而求得点P的轨迹长度． 因为直线AP与平面ABCD所成的角为60°， 所以点P的轨迹在以A为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆锥的侧面上， 又因为点P是正方体ABCD ­A1B1C1D1表面上的一个动点， 所以点P的轨迹如图所示， 则点P的轨迹长为2＋×2π×＝＋. 答案：＋ 8．(2024·萍乡二模)正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为2，P为该正方体侧面CC1D1D内的动点(含边界)，若PA，PB分别与直线AD所成角的正切值之和为，则四棱锥P­ABCD的体积的取值范围为________． 解析：在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，以A为原点，以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A­xyz，P(x,2，z)，A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0) ＝(－x，－2，－z)，＝(2－x，－2，－z)，＝(0,2,0)， 因为cos〈，〉＝ ＝＝， 所以sin〈，〉＝ ＝， 因为cos〈，〉＝＝ ＝， 所以sin〈，〉＝ ＝， 所以tan〈，〉＋tan〈，〉＝＋＝， 所以＋＝＋ ＝， 整理可得点P(2，x，z)到点D(2,0,0)和点C(2,2,0)的距离之和为2， 所以点P的轨迹为在平面CC1D1D中以点D，C为焦点的椭圆在侧面CC1D1D内的部分， 则点P到平面ABCD的距离h的最大值为1，此时点P在CD中点的正上方； 最小值为时，点P在点D或者点C的正上方， 所以四棱锥P­ABCD的体积为VP­ABCD＝h·SABCD＝h∈. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$