第一部分 专题三 培优微专题12 数列与其他知识的综合问题（word练习）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

1．已知在递增数列{an}中，a1，a2为函数f(x)＝x2－11x＋24的两个零点，数列{an＋1－an}是公差为2的等差数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列的前n项和为Sn，证明：Sn＜.

解：(1)求出函数f(x)的零点，并求出数列{an＋1－an}的通项，再利用累加法求出{an}的通项；(2)由(1)的结论，利用裂项相消法求和作答．

(1)函数f(x)＝x2－11x＋24的零点为3,8，而数列{an}递增，则a1＝3，a2＝8，a2－a1＝5，

因此数列{an＋1－an}是以5为首项，2为公差的等差数列，则an＋1－an＝2n＋3，

当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝3＋5＋7＋…＋(2n－1)

＝·n＝n(n＋2)，而a1＝3也满足上式，

所以数列{an}的通项公式是an＝n(n＋2)．

(2)证明：由(1)得＝＝，

因此Sn＝Error!

Error!

＝＝－，而＋＞0，

所以Sn＜.

2．(2024·晋城二模)已知函数f(x)＝(x－a)ex＋x＋a(a∈R)．

(1)若a＝4，求f(x)的图象在x＝0处的切线方程；

(2)若f(x)≥0对于任意的x∈[0，＋∞)恒成立，求a的取值范围；

(3)若数列{an}满足a1＝1且an＋1＝(n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Sn，求证：Sn＋＜ln[(n＋1)(n＋2)]．

解：(1)求导可得f′(x)＝(x－3)ex＋1，利用导数的几何意义即可求解；(2)利用导数分类