第一部分 专题三 培优微专题11 子数列问题（word练习）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

1．(2024·承德二模)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＋2＝Sn＋1＋an＋2，数列{bn}满足bn＝log2an，b1＝0，b2＝1. (1)写出a1，a2，a3，a4，并求数列{an}的通项公式； (2)记cm为数列{bn}在区间(m－1，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{cm}的前m项和Tm. 解：(1)由Sn＋2＝Sn＋1＋an＋2可得an＋2－an＝2， 又bn＝log2an，b1＝0，b2＝1 所以a1＝1，a2＝2，a3＝a1＋2＝3，a4＝a2＋2＝4， 当n为偶数时，令n＝2k，k∈N*，则a2k＋2－a2k＝2， 所以数列{a2k}是以a2＝2为首项，以2为公差的等差数列， 所以a2k＝a2＋2(k－1)＝2k； 当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈N*，则a2k＋1－a2k－1＝2， 所以数列{a2k－1}是以a1＝1为首项，以2为公差的等差数列， 所以a2k－1＝a1＋2(k－1)＝2k－1； 综上所述，an＝n(n∈N*)； (2)由(1)得an＝n(n∈N*)，则bn＝log2n， 由m－1＜bn≤m，可得log22m－1＜log2n≤log22m， 因为bn＝log2n是一个递增数列，所以2m－1＜n≤2m， 故cm＝2m－2m－1＝2m－1，＝＝2， 故数列{cm}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以Tm＝＝2m－1. 2．(2024·广州二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2n＋1＝2an＋2，且为等差数列． (1)求{an}的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn(dn＞0)的等差数列，记数列的前n项和为Tn，求证：Tn＜3. 解：(1)因为等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d，又a2n＋1＝2an＋2， 所以a1＋2nd＝2[a1＋(n－1)d]＋2，即a1＋2＝2d①， 因为为等差数列，所以－＝－， 令n＝1时，－＝－，即－＝－，则a1＝d②， 结合①②，解出d＝2，a1＝2，则an＝2＋(n－1)×2＝2n， 所以{an}的通项公式为an＝2n. (2)由题设得dn＝＝＝，即＝， 所以Tn＝＋＋…＋＝＋＋…＋①， 则Tn＝＋＋…＋②， 由①－②得：Tn＝1＋＋＋…＋－＝1＋－＝－， 所以Tn＝3－， 因为n∈N*，所以＞0，所以Tn＜3，即证． 学科网（北京）股份有限公司 $$