第一部分 专题三 培优微专题10 数列中的递推关系（word练习）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

1．已知数列{an}的前n项和为Sn，则“Sn＝3n＋1”是“数列{an}是常数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：D　[因为Sn＝3n＋1， 所以a1＝4， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(3n＋1)－[3(n－1)＋1]＝3， 所以an＝ 所以数列{an}不是常数列， 反之，当an＝1时，Sn＝n，显然不成立， 所以“Sn＝3n＋1”是“数列{an}是常数列”的既不充分也不必要条件．] 2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝a，则a6的值为(　　) A．220　　　　　　　 B．224 C．21024 D．24096 解析：C　[变换得到ln an＋1＝4lnan，得到{lnan}是首项为ln 2，公比为4的等比数列，ln an＝4n－1·ln 2，计算得到答案． an＋1＝a，a1＝2，易知an＞0，故lnan＋1＝4lnan， 故{lnan}是首项为ln 2，公比为4的等比数列，lnan＝4n－1·ln 2，lna6＝45·ln 2＝ln21024，故a6＝21024.] 3．(2024·齐齐哈尔二模)数列{an}满足an＋1＝an，若a1＝1，则a2024＝(　　) A．3505 B．－3505 C．3506 D．－3506 解析：A　[利用累乘法＝－3，则得到规律＝－3，则求出a2025＝3506，根据＝3即可求出a2024. ＝(－1)1＋2cos＝－1，＝(－1)2＋2cos π＝－1， ＝(－1)3＋2cos＝－1，＝(－1)4＋2cos2π＝3， 所以＝×××＝－3， 同理可得，＝－3，….＝－3， 因为2025＝1＋4×506，所以＝(－3)506＝3506，则a2025＝3506， 因为＝(－1)2024＋2cos1012π＝3，所以a2024＝3505.] 4．(2024·葫芦岛二模)集合A＝{x|x2＋6nx＋5n2≤0，n∈N*}的整数元素的个数为an，数列{bn}的前n项和为Sn，满足4Sn＝5n＋1－an－8，cn＝bn＋λn，且∀n∈N*，cn＜cn＋1都成立，下列选项正确的是(　　) A．数列{bn}的通项公式为bn＝5n－1 B．an＝4n C．实数λ的取值范围是 D．数列{3ncn}中的每一项都不能够被5整除 解析：D　[利用题意，可计算an＝4n＋1，判断B是错误的；再利用bn＝Sn－Sn－1的关系，可求得bn，但要注意此时n≥2，再检验首项，可判断A是错误的；对于不等式cn＜cn＋1，可利用化简变形，再分类讨论来分离参变量，最后求出范围，同样要注意首项，另外计算，可判断C也是错误的；对于被5整除，只需要化简原式就可以判断，同时也要注意首项的判断，才能决定选项D是正确的． A＝{x|x2＋6nx＋5n2≤0，n∈N*}＝{x|－5n≤x≤－n，n∈N*}，所以an＝－n－(－5n)＋1＝4n＋1，即B错误； 所以4Sn＝5n＋1－4n－9，则4Sn－1＝5n－4(n－1)－9，(n≥2)， 两式相减得：4bn＝5n＋1－4n－9－(5n－4n－5)＝4×5n－4⇒bn＝5n－1，(n≥2)， 当n＝1时，4S1＝52－4－9＝12，所以b1＝S1＝3，不满足上式，所以A错误； 当n≥2时cn＝5n－1＋λ·n， 由cn＜cn＋1恒成立，则5n－1＋λ·n＜5n＋1－1＋λ·n＋1， 等价变形得：λ·n＜4×5n，化简得：λ·n＜， 当n为偶数得：λ＜·3n，则·3n＞，所以λ＜， 当n为奇数得：λ＞－·3n，由－·3n＜－，所以λ＞－， 但是当n＝1时，c1＝b1＋λ·＝3－λ，而c2＝52－1＋λ·2＝λ＋24， 由cn＜cn＋1得：λ＋24＞3－λ，解得λ＞－， 综上可得：－＜λ＜，所以C错误； 当n≥2时，3ncn＝[5n－1＋λ·n]·3n＝15n－3n＋λ·(－5)n， 因为15n和λ·(－5)n都能被5整除，而3n一定不能被5整除，此时3ncn一定不能被5整除， 而当n＝1时，3c1＝3＝9－5λ，显然不能被5整除，所以D正确．] 5．[多选](2024·承德二模)对于给定的数列{an}，如果存在实数p，q，使得an＋1＝pan＋q对任意n∈N*成立，我们称数列{an}是“线性数列”，则下列说法正确的是(　　) A．等差数列是“线性数列” B．等比数列是“线性数列” C．若p≠1且a1＝q，则an＝ D．若p≠1且a1＝q，则{an}是等比数列{qpn－1}的前n项和 解析：AB　[对A，B，根据“线性数列”的定义进行判断；由构造法，根据数列递推公式求出通项公式可判断C；设p＝0且q≠0，可判断D错误． 数列{an}为等差数列，则an＋1－an＝d，即an＋1＝an＋d，满足“线性数列”的定义，故A正确； 数列{an}为等比数列，则＝q，即an＋1＝qan， 满足“线性数列”的定义，故B正确； 设an＋1－k＝p(an－k)，k∈R，则k－pk＝q，解出k＝， 则an－＝pn－1，因此an＝，故C错误； 若p＝0且q≠0，则an＝q， 数列{qpn－1}的前n项和为0，显然D错误．] 6．[多选]已知数列{an}，{bn}满足a1＝2，b1＝，an＋1＝bn＋，bn＋1＝an＋，n∈N*，则下列选项正确的有(　　) A.＋＝4 B.＝ C．当n为奇数时，an＝4bn D．当n为偶数时，an＝bn 解析：BCD　[因为a1＝2，b1＝，an＋1＝bn＋，bn＋1＝an＋， 所以a2＝b1＋＝1，b2＝a1＋＝4，a3＝b2＋＝5，b3＝a2＋＝， 所以＋＝，故A错误； ＝＝＝，故B正确； 由B选项可知＝＝， 所以＝ 故C，D正确．] 7．(2024·辽宁教研联盟二模)设Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝2an＋n－3，令bn＝log4(an－1)，则数列{bn}的前121项和为________． 解析：根据题意，结合an＝Sn－Sn－1，求得an－1＝2(an－1－1)，进而得到数列{an－1}为等比数列，得到an－1＝2n－1，得出bn＝(n－1)，结合等差数列的求和公式，即可求解． 由数列{an}的前n项和Sn＝2an＋n－3， 当n≥2时，可得Sn－1＝2an－1＋(n－1)－3， 两式相减，可得an＝Sn－Sn－1＝2an＋n－3－2an－1－(n－1)＋3＝2an－2an－1＋1， 即an＝2an－1－1，即an－1＝2(an－1－1)， 当n＝1时，a1＝S1＝2a1－2，可得a1＝2，所以a1－1＝1， 所以数列{an－1}是以1为首项，以2为公比的等比数列，所以an－1＝2n－1， 则bn＝log4(an－1)＝log42n－1＝＝(n－1)， 所以数{bn}的前121项和为＝ ×＝3630. 答案：3630 8．已知数列{an}满足an＋1＝2an＋2n－1，且a1＝2，则通项an＝________. 解析：利用等比数列的定义可得{an＋2n＋1}为等比数列，即可由首项和公比求解． 构造数列{an＋kn＋b}使其为等比数列， 即an＋1＋k(n＋1)＋b＝2(an＋kn＋b)，所以an＋1＝2an＋kn－k＋b， 又an＋1＝2an＋2n－1，所以，解得k＝2，b＝1， 所以{an＋2n＋1}为等比数列，且公比为2，首项为a1＋2＋1＝5， 所以an＋2n＋1＝5×2n－1，故an＝5·2n－1－2n－1. 答案：an＝5·2n－1－2n－1 学科网（北京）股份有限公司 $$