第一部分 专题三 微专题10 数列求和及其综合应用（word练习）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

1．(2024·邢台五岳联盟模拟)已知{an}是等差数列，a1＝4，且a5－4，a5，a5＋6成等比数列． (1)求{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足＝an，且b1＝，求{bn}的前n项和Tn. 解：(1)根据题意列式求出公差，即可求得答案； (2)由累加法可求出＝n(n＋1)，即可求得bn＝－，利用裂项相消法求和，即得答案． (1)因为a5－4，a5，a5＋6成等比数列， 所以a＝(a5－4)(a5＋6)，解得a5＝12. 又{an}是等差数列，a1＝4，所以公差d＝＝2， 故an＝a1＋(n－1)d＝2n＋2. (2)由＝an，得－＝an， 所以－＝an－1(n≥2)，又b1＝， 当n≥2时，＝＋＋…＋＋ ＝an－1＋an－2＋…＋a1＋＝4(n－1)＋×2＋2＝n(n＋1)， 又b1＝也适合上式，所以＝n(n＋1)， 则bn＝＝－， 所以Tn＝＋＋…＋＝1－＝. 2．(2024·焦作二模)已知等比数列{an}的首项为2，公比q为整数，且4a1＋2a2＋a4＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)设数列的前n项和为Sn，比较Sn与4的大小关系，并说明理由． 解：(1)根据等比数列的通项公式，结合条件求出公比，即可得解； (2)由(1)得出＝－，设出bn＝，{bn}前n项和为Cn，利用错位相减法求出Cn，令xn＝，可知xn＞0，进而即可判断得出Sn＝Cn－Tn＜4. (1)由已知可得an＝2×qn－1， 因为4a1＋2a2＋a4＝4a3，所以4×2＋2×2q＋2×q3＝4×2q2， 即q3－4q2＋2q＋4＝0，则(q－2)(q2－2q－2)＝0，解得q＝2或1±(舍去)， 所以q＝2，an＝2×2n－1＝2n(n∈N*)． (2)由(1)得＝＝＝－， 令bn＝，设{bn}前n项和为Cn，则Cn＝＋＋＋…＋， 所以Cn＝＋＋＋…＋，两式相减得Cn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－， 所以Cn＝4－＜4，令xn＝，则xn＞0， 设{xn}前n项和为Tn，则Tn＞0， 所以Sn＝Cn－Tn＜4. 3．(2024·杭州质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{bn}满足b1＝3，令an·bn＝an＋2·bn＋1，求证：bk＜. 解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意可得，解方程求出a1，d，即可求出数列{an}的通项公式； (2)由(1)可得＝，由累乘法可求出{bn}的通项公式，再由裂项相消法求解即可． (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 由S4＝4S2，a2n＝2an＋1， 得， 解得：a1＝1，d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1(n∈N*)． (2)由(1)知，(2n－1)bn＝(2n＋3)bn＋1， 即＝，＝，＝，……，＝，＝， 利用累乘法可得：bn＝·……·b1＝·……××3 ＝＝，对n＝1也成立， 所以bk＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝ ＝ 所以bk＝＜. 4．(2024·东三省三校联考三)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝3an－2n. (1)求证：数列{an－2n}是等比数列； (2)设bn＝an＋λ·2n－(λ＋1)·n－1，若{bn}是递增数列，求实数λ的范围． 解：(1)利用an＋1＝Sn＋1－Sn及已知条件得到递推式，然后证明an＋1－2n＋1＝(an－2n)并验证首项非零即可；(2)求出an，并将命题转化为3(λ＋1)·4n＞(λ＋2)·3n恒成立，然后取n＝1即得到λ＞－，再证明λ＞－时不等式恒成立． (1)由Sn＝3an－2n知a1＝S1＝3a1－2，得a1＝1. 由已知有an＋1＝Sn＋1－Sn＝(3an＋1－2n＋1)－(3an－2n)＝3an＋1－3an－2n， 故an＋1＝an＋2n－1，得an＋1－2n＋1＝an＋2n－1－2n＋1＝an－3·2n－1＝(an－2n)． 而a1－21＝1－2＝－1≠0，故数列{an－2n}是首项为－1，公比为的等比数列． (2)根据(1)的结论有an－2n＝－n－1，即an＝2n－n－1. 那么就有bn＝an＋λ·2n－(λ＋1)·n－1＝(λ＋1)·2n－(λ＋2)·n－1. 命题等价于bn＋1＞bn恒成立，即(λ＋1)·2n＋1－(λ＋2)·n＞(λ＋1)·2n－(λ＋2)·n－1. 此即2(λ＋1)·2n－(λ＋2)·n＞(λ＋1)·2n－(λ＋2)·n，化简得到3(λ＋1)·4n＞(λ＋2)·3n. 从而要求λ的取值范围使得3(λ＋1)·4n＞(λ＋2)·3n恒成立． 一方面，对该不等式取n＝1可得到3(λ＋1)·4＞(λ＋2)·3，即λ＞－； 另一方面，若λ＞－，则λ＋1＞0,4λ＋4＞λ＋2， 故我们恒有3(λ＋1)·n≥3(λ＋1)·＝4λ＋4＞λ＋2，即3(λ＋1)·4n＞(λ＋2)·3n. 所以λ的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$