第一部分 专题二 培优微专题9 奔驰定理与四心问题（word练习）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

1．在△ABC中，O为△ABC的重心．若＝λ＋μ，则λ－2μ＝(　　) A．－　　　　　　 B．－1 C. D．－ 解析：D　[由题意可得：＝×(＋)＝＋，据此确定λ，μ的值，然后求解λ－2μ的值即可． 由题意可得：＝×(＋)＝＋＝＋(＋)＝＋＝－＋， ∴λ＝－，μ＝，λ－2μ＝－－2×＝－.] 2．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设＝λ＋μ，则实数λ和μ的值分别为(　　) A.， B.， C.， D.， 解析：A　[根据奔驰定理， 得3＋2＋4＝0， 即3＋2(＋)＋4(＋)＝0， 整理得＝＋， 故λ＝，μ＝.] 3．已知点A，B，C，P在同一平面内，＝，＝，＝，则S△ABC∶S△PBC＝(　　) A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 解析：B　[法一　∵＝， ∴以PQ为底的△PQR与△PQB的高之比为1∶3， ∴S△PQB＝3S△PQR，即S△PRB＝2S△PQR， ∵以BR为底的△PBR与△BCR的高之比为1∶3， ∴S△BCR＝3S△PBR＝6S△PQR， ∴S△PBC＝2S△PBR＝4S△PQR， 同理可得S△ACP＝S△ABQ＝6S△PQR， ∴＝ ＝＝. 法二(奔驰定理法)　由＝， 得－＝(－)， 整理得＝＋＝＋， 由＝，得＝(－)， 整理得＝－， ∴－＝＋， 整理得4＋6＋9＝0， ∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.] 4．如图，已知O是△ABC的垂心，且＋2＋3＝0，则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于(　　) A．1∶2∶3 B．1∶2∶4 C．2∶3∶4 D．2∶3∶6 解析：A　[O是△ABC的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图， 则CP⊥AB，BM⊥AC，AN⊥BC，∠BOP＝∠BAC，∠AOP＝∠ABC， 因此，＝＝ ＝＝， 同理＝， 于是得tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝S△BOC∶S△AOC∶S△AOB， 又＋2＋3＝0， 由“奔驰定理”有S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0， 即S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶3，所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB＝1∶2∶3.] 5．[多选]设点D是△ABC所在平面内一点，O是平面上一个定点，则下列说法正确的有(　　) A．若＝＋，则D是BC边上靠近B的三等分点 B．若＝λ，(λ∈R且λ≠0)，则直线AD经过△ABC的垂心 C．若＝x＋y，且x，y∈R，x＋y＝，则△BCD是△ABC面积的一半 D．若平面内一动点P满足＝＋，(λ∈R且λ≠0)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的外心 解析：ABC　[对于A，化简等式成＝，即可判断；对于B，将等式两边与作点乘，化简得出结果为0即可判断；对于C，利用平面向量基本定理推出三点共线，结合图形和共线向量即得结论；对于D，化简向量等式，利用单位向量作出▱AB0DC0即得菱形，推得＝λ，即得结论． 对于A，由＝＋可得，－＝－＋＝(－)， 即得＝，故点D是BC边上靠近B的三等分点，故A正确； 对于B，因＝， 则·＝·＝ ＝＝λ(－||＋||)＝0，即AD⊥BC，故直线AD经过△ABC的垂心，即B正确； 对于C，因＝x＋y，x＋y＝，则2＝2x＋2y， 设＝2，则＝2x＋2y，因2x＋2y＝1，故M，B，C三点共线， 如图1所示，DM＝AM，故△DBC的BC边上的高是△ABC的BC边上的高的一半， 图1 故△BCD是△ABC面积的一半，即C正确； 图2 对于D，由＝＋λ可得，＝， 如图2，取＝，＝，则有||＝||＝1，以AB0，AC0为两邻边作▱AB0DC0， 易知▱AB0DC0是菱形，故AD平分∠BAC，且＝＋，故得，＝λ， 故动点P的轨迹为∠BAC的平分线，即动点P的轨迹一定通过△ABC的内心，故D错误．] 6．[多选]已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S△BOC，S△AOC，S△AOB，则S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题正确的有(　　) A．若2＋3＋4＝0，则S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝4∶3∶2 B．若||＝||＝2，∠AOB＝，且2＋3＋4＝0，则S△ABC＝ C．若·＝·＝·，则O为△ABC的垂心 D．若O为△ABC的内心，且5＋12＋13＝0，则 ∠ACB＝ 解析：BCD　[对于A,2＋3＋4＝0， 则S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝2∶3∶4，故A错误； 对于B，S△AOB＝×2×2×sin ＝， 又2＋3＋4＝0， 故S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝2∶3∶4， 所以S△ABC＝S△AOB＝，故B正确； 对于C，·＝·，即(－)·＝·＝0，故⊥， 同理可得⊥，⊥，所以O为△ABC的垂心，故C正确； 对于D,5＋12＋13＝0，故S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝5∶12∶13，设内切圆半径为r， S△BOC＝r·BC，S△AOC＝r·AC，S△AOB＝r·AB，即BC∶AC∶AB＝5∶12∶13， 即AB2＝AC2＋BC2，∠ACB＝，故D正确．] 7．已知在△ABC中，G是重心，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且56a＋40b＋35c＝0，则角B＝________. 解析：依题意，可得56a＝40b＝35c， 所以b＝a，c＝a， 所以cos B＝＝， 因为0<B<π，所以B＝. 答案： 8．若△ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3＋4＋5＝0.则△ABC的面积为________． 解析：∵3＋4＝－5， 且||＝||＝||＝1， ∴9||2＋16||2＋24·＝25||2， ∴·＝0，∴OA⊥OB， ∴S△AOB＝×1×1＝， 由奔驰定理知，S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶4∶5， ∴S△AOB＝·S△ABC， ∴S△ABC＝S△AOB＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$