第一部分 专题二 培优微专题8 极化恒等式和等和线定理（word练习）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

1．如图，AB为⊙O的直径，P是上任一点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·等于(　　) A．13　　 B．7 C．5　　 D．3 解析：C　[依题意，O为MN的中点，由向量极化恒等式知，·＝2－2＝9－4＝5.] 2．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝(　　) A．－16 B．12 C．4 D．1 解析：A　[因为M是BC的中点，由极化恒等式得：·＝||2－||2＝9－×100＝－16.] 3．如图所示，正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是(　　) A．[0,1] B．[0,2] C．[1,3] D．[0,4] 解析：B　[由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2.当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径．设内切球的球心为O， 则·＝2－2＝2－1. 由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1，]， 所以·∈[0,2]．] 4．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　) A．1 B．2 C. D. 解析：C　[由极化恒等式(a－c)·(b－c) ＝[(a＋b－2c)2－(a－b)2]， ∵(a－c)·(b－c)＝0， ∴(a＋b－2c)2＝(a－b)2， 故c2＝(a＋b)·c， 又因为|a|＝|b|＝1，a⊥b， ∴|a＋b|＝， 于是|c|2≤|a＋b||c|＝|c|， ∴|c|≤.] 5．[多选]给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的上运动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的取值可以是(　　) A．1 B. C．2 D. 解析：ABC　[令x＋y＝k，如图，在所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，即此时k取得最大值，又∠AOB＝，则k＝＝2. 当点C在A(或B)处时，x＋y最小为1. 故x＋y的取值范围是[1,2]．] 6．[多选]已知在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒在·≥·，则下列结论不正确的是(　　) A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90° C．AB＝AC D．AC＝BC 解析：ABC　[如图所示，取AB的中点E， 因为P0B＝AB， 所以P0为EB的中点，取BC的中点D， 则DP0为△CEB的中位线，DP0∥CE. 根据向量的极化恒等式，有·＝2－2，·＝2－2. 又·≥·， 则||≥||恒成立，必有DP0⊥AB. 因为CE⊥AB，又E为AB的中点， 所以AC＝BC.故D正确，ABC错误．] 7．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.·＝4，·＝－1，则·的值为________． 解析：设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n， 则AD＝3n. 根据向量的极化恒等式， 得·＝2－2＝9n2－m2＝4，① ·＝2－2＝n2－m2＝－1.② 联立①②，解得n2＝，m2＝. 因此·＝2－2＝4n2－m2＝. 即·＝. 答案： 8．如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，＝x＋y(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为________． 解析：如图，D，E，N分别为BC，AB，AC的中点，P为DE与BN的交点， ＝x＋y＝2x·＋y＝2x＋y， 设2x＋y＝k，作出定值k为1的等和线DE，AC是过圆上的点最远的等和线， 当M在N点所在的位置时，2x＋y最大， 则k＝＝2，所以2x＋y取得最大值2. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $$