第一部分 专题二 培优微专题6 三角函数中ω、φ的范围问题（word练习）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

1．(2024·杭州质检)设甲：“函数f(x)＝2sin ωx在单调递增”，乙：“0＜ω≤2”，则甲是乙的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：A　[根据函数单调性求出ω的范围，即可判断答案． 若“函数f(x)＝2sinωx在单调递增”，则ω＞0，由－≤ωx≤得－≤x≤，则，解得0＜ω≤， 所以，甲是乙的充分不必要条件．] 2．(2024·晋城二模)将函数f(x)＝2sin的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间(0，φ)上恰有两个零点，则φ的取值范围是(　　) A.　　　　 B. C. D. 解析：C　[根据三角函数图象的平移变换可得g(x)＝2sin，由g(x)在(0，φ)上有2个零点得－2π≤－3φ＜－π，解之即可求解． 将函数f(x)＝2sin的图象向右平移φ个单位长度， 得g(x)＝2sin的图象， 由0＜x＜φ，得－3φ＜3x＋－3φ＜， 又g(x)在(0，φ)上有2个零点，所以－2π≤－3φ＜－π， 解得＜φ≤，即实数φ的取值范围为.] 3．(2024·广州二模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ＞0)个单位后所得曲线关于y轴对称，则θ的最小值为(　　) A.　　 B. C.　　 D. 解析：A　[根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解． 由f＝1，得sin＝，又点及附近点从左到右是上升的，则ω＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 由f＝0，点及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得ω＋φ＝π＋2kπ，k∈Z， 联立解得ω＝2，φ＝－＋2kπ，k∈Z，而|φ|＜，于是φ＝－，f(x)＝sin， 若将函数f(x)的图象向右平移θ(θ＞0)个单位后，得到y＝sin， 则－2θ－＝－kπ，k∈Z，而θ＞0，因此θ＝－＋，k∈N， 所以当k＝1时，θ取得最小值为.] 4．(2024·福州质检三)函数f(x)＝2sinωx(sin ωx＋cos ωx)(ω＞0)在上单调递增，且对任意的实数a，f(x)在(a，a＋π)上不单调，则ω的取值范围为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)＝2sin＋，由题意利用正弦函数的单调性可得－≤，所以ω≤，利用正弦函数的周期性可求f(x)的周期T＝＜2π，解得ω＞，即可得解． 因为f(x)＝2sinωx(sinωx＋cosωx) ＝2sin2ωx＋2sinωxcosωx ＝sin2ωx－cos2ωx＋ ＝2sin＋， 又因为x∈，且ω＞0，则2ωx－∈， 若f(x)在上单调递增， 所以－≤，所以0＜ω≤， 因为对任意的实数a，f(x)在(a，a＋π)上不单调， 所以f(x)的周期T＝＜2π，所以ω＞， 所以＜ω≤.] 5．[多选](2024·黔西南州一模)已知f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，则下列说法正确的是(　　) A．若f(x)的最小正周期为π，则f(x)的对称中心为，k∈Z B．若f(x)在区间上单调递增，则ω的取值范围为 C．若f(x0)＝1，则cos＝ D．若f(x)在区间[0，π]上恰好有三个极值点，则ω的取值范围为 解析：BD　[由题意得，f(x)＝2sin，根据T＝求出ω，根据整体代换法求出f(x)的对称中心即可判断A；根据整体代换法求出f(x)的单增区间，建立不等式组，解之即可判断B；根据诱导公式计算即可求解判断C；由极值点的概念可得≤ωπ＋＜，解之即可判断D. 由题意知，f(x)＝2sin. A．若f(x)的最小正周期为π，由T＝，得ω＝2，所以f(x)＝2sin，由2x＋＝kπ，k∈Z，得x＝－＋，k∈Z， 所以f(x)的对称中心为，故A错误； B．由－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z， 即f(x)的单调递增区间为，k∈Z， 又f(x)在上单调递增，所以，解得，k∈Z， 取k＝0，则0＜ω≤，即实数ω的取值范围为，故B正确； C．若f(x0)＝1，则2sin＝1， 即sin＝， 所以cos＝cos ＝－sin＝－，故C错误； D．由0≤x≤π，得≤ωx＋≤ωπ＋，又f(x)在[0，π]上有3个极值点， 所以≤ωπ＋＜，解得≤ω＜，即实数ω的取值范围为，故D正确．] 点睛：求解形如f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0)函数的单调递增区间的步骤如下： 先令ωx＋∈，k∈Z；解上述不等式求出x的取值范围即为f(x)的单调递增区间． 6．[多选](2024·焦作二模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)，f′(x)为f(x)的导函数，则下列结论中正确的是(　　) A．函数g(x)＝f(x)＋f′(x)的图象不可能关于y轴对称 B．若φ＝－且ω∈Z，f(x)在上恰有4个零点，则ω＝3 C．若φ＝，f(3π－x)＋f(x)＝0，则ω的最小值为 D．若ω＝，φ＝，且f(x)在上的值域为[－1,2]，则m的取值范围是 解析：BC　[求出f′(x)，化简g(x)＝f(x)＋f′(x)的表达式，判断奇偶性，即可判断A；确定ωx－∈，根据零点个数列出不等式，求得ω，判断B；根据三角函数的对称性可判断C；确定x＋∈，结合题意列出不等式≤＋≤，求出m的范围，判断D. 对于A，f(x)＝2sin(ωx＋φ)，∴f′(x)＝2ωcos(ωx＋φ)，故g(x)＝f(x)＋f′(x)＝2sin(ωx＋φ)＋2ωcos(ωx＋φ)， 当ω＝1，φ＝时，g(x)＝2sin＋2cos＝2cos x为偶函数，此时函数g(x)＝f(x)＋f′(x)的图象关于y轴对称，A错误；对于B，x∈，则ωx－∈， 由于f(x)在上恰有4个零点，故3π≤－＜4π，即≤ω＜， 而ω∈Z，故ω＝3，B正确； 对于C，由于f(3π－x)＋f(x)＝0，则f(x)的图象关于点对称， 即f＝2sin＝0，则＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝－＋，k∈Z， 又ω＞0，故k＝1时，ω的最小值为，C正确； 对于D，ω＝，φ＝时，f(x)＝2sin， 由于x∈， 故x＋∈， 而f(x)在上的值域为[－1,2]，故≤＋≤，∴≤m≤，D错误．] 7．(2024·新乡三模)已知函数f(x)＝sinωx－cosωx(ω＞0)，若存在x1∈[0，π]，使得f(x1)＝－2，则ω的最小值为________． 解析：利用辅助角公式化简函数f(x)，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得． 函数f(x)＝2sin，由x1∈[0，π]，得ωx1－∈，由存在x1∈[0，π]，使得f(x1)＝－2，得πω－≥，解得ω≥，所以ω的最小值为. 答案： 8．(2024·晋城一模)若函数f(x)＝cosωx(0＜ω＜100)在上至少有两个极大值点和两个零点，则ω的取值范围为________． 解析：先求出极大值点表达式，利用题干条件列不等式赋值求解． 令ωx＝2kπ，k∈Z，得f(x)的极大值点为x＝，k∈Z， 则存在整数k，使得， 解得＜ω＜2k(k∈N*)． 因为函数y＝cos x在两个相邻的极大值点之间有两个零点， 所以＜ω＜2k(k∈N*)． 当k＝1时，＜ω＜2.当k＝2时，＜ω＜4. 当k≥2时，＜＜2k.又0＜ω＜100， 所以ω的取值范围为∪∪∪…∪＝∪. 答案：∪ 学科网（北京）股份有限公司 $$