第一部分 专题二 微专题7 三角函数的图象与性质（word练习）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

一、单选题 1．函数f(x)＝|sin x|的最小正周期是(　　) A.　　 B. C．π　　 D．2π 解析：C　[|sin x|的图象是将sin x的图象在x轴下方的部分对称翻折上来所得，所以周期是sin x周期的一半，即周期为π.] 2．若角θ的终边经过两点(x,2)，(－1，y)，则xy＝(　　) A．2 B．－2 C．－1 D．1 解析：B　[根据给定条件，利用三角函数定义列式计算即得． 角θ的终边经过两点(x,2)，(－1，y)，则tan θ＝＝，所以xy＝－2.] 3．为了得到函数y＝sin的图象，只要把函数y＝sin 2x图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 解析：A　[根据正弦函数平移的原则即可得到答案． y＝sin＝sin， 则把函数y＝sin 2x图象上所有的点向左平移个单位即可．] 4．已知f(x)＝sin ωx(ω＞0)，f(x1)＝－1，f(x2)＝1，|x1－x2|min＝，则ω＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解． 由题意可知：x1为f(x)的最小值点，x2为f(x)的最大值点， 则|x1－x2|min＝＝，即T＝π， 且ω＞0，所以ω＝＝2.] 5．设x1，x2(x1＜x2)为函数f(x)＝3sin x－1在区间(0，π)的两个零点，则sin(x2－x1)＝(　　) A. B. C. D. 解析：B　[根据正弦函数的性质和诱导公式，可得x1＋x2＝π，再由二倍角公式和同角基本关系式求解． 因为x1，x2∈(0，π)(x1＜x2)，又因为sin(π－x)＝sin x，所以x1＋x2＝π 则sin(x2－x1)＝sin(π－2x1)＝sin 2x1＝2sin x1cos x1， 因为sin x1＝，所以cos x1＝， 所以sin(x2－x1)＝2××＝.] 6．当x∈[0,2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 解析：C　[由题意可得：y＝2sin可知最小正周期T＝，画出y＝sin x和y＝2sin 在[0,2π]上的函数图象，观察即可得到6个交点．] 7．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)，该图象上最高点与最低点的最近距离为5，且点(1,0)是函数的一个对称点，则ω和φ的值可能是(　　) A．ω＝－，φ＝－ B．ω＝－，φ＝ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝ 解析：D　[由题意首先得ω＝，进一步由ω＋π＝kπ，k∈Z，对比选项即可得解． 由题意函数的周期T满足，＝＝3＝，所以ω＝±， 又点(1,0)是函数的一个对称点，所以ω＋φ＝kπ，k∈Z， 所以或，对比选项可知，只有当时满足题意．] 8．点M将一条线段AB分为两段AM和MB，若＝＝，则称点M为线段AB的黄金分割点．已知直线y＝a(－1＜a＜1)与函数y＝sin(ωx＋φ)的图象相交，A，B，C为相邻的三个交点，则(　　) A．当a＝0时，存在ω使点B为线段AC的黄金分割点 B．对于给定的常数ω，不存在a使点B为线段AC的黄金分割点 C．对于任意的a，存在ω使点B为线段AB的黄金分割点 D．对于任意的ω，存在a使点B为线段AC的黄金分割点 解析：D　[依题意，作出图形，结合题意可分析计算得出答案． 若＝，则＝＝， 即＝⇒点M为线段AB的黄金分割点， 当a＝0时，＝1，不存在ω使点B为线段AC的黄金分割点，故选项A，C错误； 如图，当a→1时，→0，当a→－1时，→＋∞，则∈(0，＋∞)， 则存在一个a0∈(－1,1)使得＝，故选项B错； 对于选项D，若y＝sin x与y＝a(－1＜a＜1)相交于相邻的三点A，B，C， 其横坐标分别为x1，x2，x3(x1≤x2≤x3)，则＝， 将y＝sin x变换成y＝sin(ωx＋φ)后，点A，B，C分别对应到点A′，B′，C′， 且满足x1′＝，x2′＝，x3′＝， 故＝＝＝，即ω，φ对比值无影响，故选项D正确．] 二、多选题 9．对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin，下列说法正确的有(　　) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 解析：BC　[A错，代x＝0便知；B显然对，两者值域相同；C显然对，两者最小正周期都为π；D错，前者对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，后者是x＝＋kπ，k∈Z.] 10．如图所示，已知角α，β的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为A，B，M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则(　　) A．∠AOB＝β－α B．OM＝cos C．点C的坐标为 D．点M的坐标为 解析：ABC　[由角的定义求解可判断A；由圆的性质及角的定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断C；由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断D. 对于A：因为∠AOx＝α，∠BOx＝β，0＜α＜β＜，所以∠AOB＝β－α，正确； 对于B：依题意M为线段AB的中点，则OM⊥AB，则∠AOM＝， 又OA＝1，所以OM＝OAcos∠AOM＝cos ，正确； 对于C：M为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则C为AB的中点， 所以∠COx＝α＋＝， 又OC＝1，所以点C的坐标为，正确； 对于D：xM＝(xA＋xB)＝(cos α＋cos β)＝ ＝ ＝×2coscos＝coscos， yM＝(yA＋yB)＝(sin α＋sin β) ＝ ＝ ＝×2sincos＝sincos， 所以点M的坐标为，错误．] 11．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期大于，若曲线y＝f(x)关于点中心对称，则下列说法正确的是(　　) A．f＝－ B．y＝f是偶函数 C．x＝是函数f(x)的一个极值点 D．f(x)在单调递增 解析：ABC　[由最小正周期大于，关于点中心对称，可知f(x)＝sin，对于A，直接代入函数解析式求解即可；对于B，利用函数奇偶性的定义判断即可；对于C，通过求导，令导函数为0，求得x的值，并判断x＝左右两端函数的单调性即可判断；对于D，通过求函数的单调递增区间即可求解． 因为f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期大于，所以＞，即0＜ω＜4，又y＝f(x)关于点中心对称， 所以ω＋＝kπ(k∈Z)，所以ω＝－1＋3k，因为0＜ω＜4，所以当k＝1时，ω＝2， 所以f(x)＝sin， 对于A，f＝sin＝－sin＝－，故A正确；对于B，f＝ sin＝sin＝cos 2x， 由cos(－2x)＝cos 2x且x是全体实数，所以y＝f是偶函数，故B正确； 对于C，f′(x)＝2cos，令f′(x)＝0得x＝＋kπ，k∈Z， 当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， 当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 所以x＝是函数f(x)的极大值点，故C正确； 对于D，由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ， 函数的单调递增区间为，k∈Z， 当k＝0时，x∈， 当k＝1时，x∈， 显然函数在上不单调，故D不正确．] 三、填空题 12．写出一个ω(ω＞0)，使得函数f(x)＝sin的图象关于点(1,0)对称，则ω可以为________． 解析：利用正弦函数的对称性与周期性得到关于ω的方程，解之即可得解． 因为f(x)＝sin的图象关于点(1,0)对称，所以sin＝2，则2ω＋＝kπ(k∈Z)，故ω＝－(k∈Z)，又ω＞0，所以ω＝，，，…(答案不唯一)． 答案：(答案不唯一) 13．已知x是第二象限角，若cos(x－70°)＝，则sin(x＋110°)＝________. 解析：利用角的变换，以及诱导公式和同角三角函数基本关系式，即可求解． sin(x＋110°)＝sin[(x－70°)＋180°]＝－sin(x－70°)，因为x是第二象限角，若cos(x－70°)＝，所以x－70°是第一象限角，所以sin(x－70°)＝＝， 所以sin(x＋110°)＝－. 答案：－ 14．将函数f(x)＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移个单位长度，得到的函数g(x)的图象关于点对称，且g(x)在区间上单调递增，则φ＝________，实数m的取值范围是________． 解析：将函数f(x)＝2sin(3x＋φ)的图象向右平移个单位长度，得到的函数g(x)＝2sin的图象关于点对称， ∴3×－＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z， 因为|φ|≤，则φ＝±， 若φ＝，则g(x)＝2sin， ∵g(x)在区间即(m∈R)上单调递增，∴m＜0， 当x∈， 3x－∈， ∴≥－，且≤， 即m≤－，且m≤－，∴m≤－； 若φ＝－，则g(x)＝2sin， ∵g(x)在区间即(m∈R)上单调递增，∴m＞0， 当x∈， 3x－∈， ≥－，且≤， 即m≤－且m≥，故m∈∅； 综上可得，φ＝，m≤－. 答案：　 学科网（北京）股份有限公司 $$