第一部分 专题二 微专题6 平面向量（word练习）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

一、单选题 1．已知向量a＝(1.2)，b＝(x，x＋3)．若a∥b，则x＝(　　) A．－6　　 B．－2 C．3　　 D．6 解析：C　[利用向量平行的判定方法得到1·(x＋3)＝2·x，再解方程即可． 由a∥b，知1·(x＋3)＝2·x，解得x＝3.] 2．已知向量a，b的夹角为，且|a|＝2|b|＝2，若(ka－b)⊥(a＋b)，则k＝(　　) A. B. C. D. 解析：A　[利用平面向量的数量积运算公式结合已知直接计算即可． 因为(ka－b)⊥(a＋b)， 所以(ka－b)·(a＋b)＝0，即ka2＋(k－1)a·b－b2＝0， 因为|a|＝2|b|＝2，向量a，b的夹角为， 所以|a|＝2，|b|＝1，a·b＝2×1×＝1， 所以4k＋k－1－1＝0，即k＝.] 3．(2024·北京高考)已知向量a，b，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[∵(a＋b)·(a－b)＝0，∴a2－b2＝0，∴a2＝b2，则|a|＝|b|，不能得到a＝b或a＝－b，充分性不成立；若a＝b或a＝－b，则(a＋b)·(a－b)＝0成立，必要性成立．所以“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的必要不充分条件．] 4．已知四边形ABCD是平行四边形，＝2，＝2，记＝a，＝b，则＝(　　) A．－a＋b B．－a－b C.a＋b D.a－b 解析：A　[根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解即得． 在▱ABCD中，＝2，＝2，＝a，＝b， 所以＝－＝－＝－a＋b.] 5．已知a和b是两个单位向量，若〈a，b〉＝，则向量a与向量a－b的夹角为(　　) A. B. C. D. 解析：B　[根据平面向量的运算、向量的模的计算公式以及向量的数量积求夹角即可求解． 因为a和b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1，又因为〈a，b〉＝， 所以a·(a－b)＝a2－a·b＝1－1×1×＝， 所以|a－b|＝＝＝1， 所以cos〈a，a－b〉＝＝，又〈a，a－b〉∈[0，π]， 所以向量a与向量a－b的夹角为.] 6．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，＝3，＝，AE，CF交于点D，则||＝(　　) A. B. C. D. 解析：C　[根据题意可由坐标法求解，以A为原点建立坐标系写出各点的坐标即可求解． 由题可建立如图所示坐标系： 由图可得：A(0,0)，B(3,0)，C(1，)， 又＝3，＝⇒F(1,0)，E， 故直线AE的方程：y＝x，可得D， 所以||＝＝.] 7．C60是一种由60个碳原子构成的分子，形似足球，又名足球烯，其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成．如图，将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平，若正多边形的边长为1，A，B，C为正多边形的顶点，则·＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[运用数量积定义计算即可． 如图所示，连接BA，BC，由对称性可知，BA＝BC， 取AC的中点H，则AC⊥BH，AH＝AC， 又因为正六边形的边长为1，所以AC＝2， 所以·＝||·||cos∠BAC＝||·||＝2.] 8．已知O是△ABC的外心，＋＝2，||＝||，则向量在向量上的投影向量为(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：C　[由＋＝2，所以O是BC的中点，又O是△ABC的外心， 则∠BAC＝90°，由||＝||，又||＝||＝||＝||， 则△ABO为正三角形，则∠ACB＝30°， 如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则BD＝BO＝BC，CD＝BC， 所以向量在向量上的投影向量等于＝. 二、多选题 9．已知向量a＝(1,2)，a－b＝(3,1)则(　　) A．b＝(－2,1) B．a∥b C．a⊥b D．a－b在a上的投影向量为a 解析：ACD　[由向量的线性运算、平行以及垂直的坐标表示可判断ABC，由投影向量的定义可判断D. 对于A，b＝a－(a－b)＝(1,2)－(3,1)＝(－2,1)，故A正确； 对于BC，由于1×1－2×(－2)＝5≠0,1×(－2)＋2×(－1)＝0，故B错误，C正确； 对于D，a－b在a上的投影向量为·＝·a＝·a＝a，故D正确．] 10．已知向量a，b，c为非零向量，下列说法正确的有(　　) A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c B．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝(1,2) C．若a·b＝a·c，则b和c在a上的投影向量相等 D．已知＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则点A，B，D一定共线 解析：CD　[根据向量的线性运算、投影向量的意义和向量共线定理即可判断出正确答案． 对于A，若a⊥b，b⊥c，则a与c可能平行，故A错误； 对于B，设b＝(x，y)，则2a＋b＝(2＋x,4＋y)＝(3,2)，解得x＝1，y＝－2，所以b＝(1，－2)，故B错误； 对于C，若a·b＝a·c，则|a|·|b|cos〈a，b〉＝|a|·|c|cos〈a，c〉，所以|b|cos〈a，b〉＝|c|cos〈a，c〉，所以b和c在a上的投影向量相等，故C正确； 对于D，因为＝a＋2b，＝＋＝2a＋4b，所以＝2，所以点A，B，D一定共线，故D正确．] 11．等边△ABC边长为2，＝2，＝，BD与CE交于点F，则(　　) A.＝＋ B.＝ C.·＝－1 D.在方向上的投影向量为 解析：BD　[对于A，由平面向量线性运算可得，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，A错误； 对于B，以E为坐标原点，、分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 则E(0,0)，A(1,0)，B(－1,0)，C(0，)，D， 设F(0，y)，y∈(0，)，所以＝(1，y)，＝， 因为∥，所以y－＝－y，解得y＝，所以＝，B正确； 对于C，由B可知，＝，＝(0，－)， 所以·＝×0＋×(－)＝－2，C错误； 对于D，＝，＝(1，)，所以·＝×1＋×＝， 所以在方向上的投影向量为·＝·＝，D正确．] 三、填空题 12．已知a＝(1，)，a·b＝2，则|a|＝________，b在a上的投影向量的坐标为________． 解析：根据向量的模长的坐标计算公式，代入数值即可求得|a|；根据投影向量的计算公式，结合已知条件，即可求得投影向量的坐标． 因为a＝(1，)，故|a|＝＝2； b在a上的投影向量为×＝a＝a，又a＝(1，)，则a＝； 故b在a上的投影向量的坐标为. 答案：2　 13．已知C：△ABC外接圆的半径为1，圆心为点O，且满足4＝－2－3，则cos∠AOB＝________，·＝________. 解析：根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义求出夹角余弦、数量积． 由4＝－2－3两边平方得：162＝42＋92＋12·， 依题意，16＝4＋9＋12cos∠AOB，所以cos∠AOB＝； ·＝(－)·＝·－2＝cos∠AOB－1＝－. 答案：　－ 14．在△ABC中，∠A，∠B，∠C依次成等差数列，AC＝2，·的取值范围为________． 解析：根据题意可得∠B＝，利用数量积公式得·＝ac，进一步由正弦定理、结合三角恒等变换将所求转换为求三角函数值域即可． 根据题意2∠B＝∠A＋∠C，又∠A＋∠B＋∠C＝π，所以∠B＝， 而·＝||·||cos B＝ac， 由正弦定理有＝＝＝＝4， 所以a＝4sin A，c＝4sin C， 所以·＝ac＝8sin Asin C＝ 8sin Asin＝8sin A ＝4sin Acos A＋4sin2A＝2sin 2A－2cos 2A＋2＝4sin＋2， 而A的取值范围是， 所以2A－的取值范围是， sin的取值范围是， 所以4sin的取值范围是(－2,4]， 所以·＝4sin＋2的取值范围为(0,6]． 答案：(0,6] 学科网（北京）股份有限公司 $$