第一部分 专题一 培优微专题4 切割线放缩（word练习）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时冲关高效提能 1.已知函数x)=e-x2 (1)求曲线x)在x=1处的切线方程： (2)求证：当x>0时，ex+口2-eDx一1x≥nx+1, 解：(1)由题设得子(x)=e一2x, .f010=e-2×1=e-2,f010=e-1,) 所以曲线x)在x=1处的切线方程为y一1)=f(1)x一1)， 即y=(e-2)x+1 (2)证明：要证当0时，ex十口2-eDx一lx≥lnx+1, 即证e+(1-er一xlnx-1≥0， 因为O)=1,且曲线f代x)在x=1处的切线方程为y=(e一2x+1 故可猜测：当心0且x≠1时，x)的图象恒在切线y=(e一2x十1的上方， 下面证明：当>0时，fx)≥(e-2x+1, 设0x)=x)-(e-2x-1r>0) 则o'(x)=c-2x-(e-2), 令Fx)=o'(x),Fc)=e-2, 当x∈(0，ln2)时，Fx)0,o'(x)单谓递减： 当x∈(dn2,十∞)时，Fc>0,o'()单调递增， 又p'(0=3-e0,o'dn2)0.0<n2<1, 9'(1)=0, 所以存在x∈(0,1)，使得'=0， 所以当x∈(0，xo)U(1,+∞)时，o'(x>0 当x∈(xo.1),o(x)0, 故ox)在(0，x0),(1,+∞)上单调递增， 在xo1)上单调递减， 又90)=0(1)=0， 所以0(x)=e-x2-(e-2x-1≥0（当且仅当x=1时取等号）， 故ex+D2-e口x-1x≥x(>0). 设x)=x-nx-1(0),t'(c)=1-lx, 当x∈(0,1)时，t'x)0,tx)单调递减， 当x∈(1，十∞)时，t'(x)>0,x)单调递增， 所以tx)m=tI)=0, 从而有x)=x一nx一1≥0即x≥nx+1(当且仅当x=1时取等号). ·独家授权侵权必究· 学科网书城 围 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以ex+D2-e口x-lx≥x≥lnx+1, 即ex+口2-e口x-lx≥lnx+l(当且仅当x=1时等号成立) 2.已知函数x)=xlnx一nlnx(neN). (1)当n=1时，求函数y=x)的单调区间； (2)当>1时，函数y=x)的图象与x轴交于P,2两点，且点Q在右侧. ①若函数y=)在点Q处的切线为y=gx),求证：当心1时，x)≥gx): ②若方程fx)=(0<n-l)有两根a,b,求证：a一l<ml一nin nt-十nn 解：(1)当n=1时，)=c-1)nx,f(x)=hx+1-1x, 当0x<1时，nx<0,1一1x<0,故(c)0,x)单调递减， 当>1时，n>0,1一1x>0,故fx)>0,x)单调递增， 综上，函数y=x)的单调增区间为(1，十∞)，单调减区间为0，I): (②)证明：当>1时，可知函数存在零点1和n云， 且n21户=1，因此，Q点坐标为n云，0)， Df (x)=m"-IInx+x"-1-nx, 所以f()=n号lnn 则在点Q(n,0)处的切线方程为： g(x)=lnn·(r-n), 令x)=x)一gx), 1 则g'(倒=/（的-g'()=m-hx+-1-x-n:nn, 1 当1n”时，0ln<Inn03-1<n" -1 .n-nxn"Inn,n-inx-n"Inn0, n=n只，而一<一n, 1 一1 x-1-nx<n"-n”=0, .o'(x)<0,px)单调递减， 1 同理，当女n”时，p单调递增， ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 的≥P(n）=nn-hn-血n十hn=0. 所以当x心1时，x)≥g). ②f(1)=1一n,则x)在点P(1,1)处的切线方程为2：x)=(1一n)x-1), 令x)=x)一m), 则k'(x)=m-1lnx十x-1一nx一(1-n =m-1+0n-1口0x-1口x+a-1nx, 当x∈(0,1)时，x"<1,x<1,lnx<0, 故k'(x)0, 当x∈(1，+∞)时，x>1,x>1,n>0, 故k'(x)0, 于是x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增， 所以x)≥k1)=0,则9)≥m9, 如图，不妨设0<a<l<b,直线y=t与直线2，函数fx)的图象和直线11分别交于a',a, b,b', y=f八x)） y=g(x) Y=I On'a y=m(x) 则有a'<a<bb', 于是la-b1<a-b'= -a-+-1 -t1-n<nl-nln ni+nn. ·独家授权侵权必究·