第一部分 专题一 培优微专题2 导数中函数的构造问题（word练习）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

1．已知函数f(x)是定义在R上的函数，且满足f′(x)＋f(x)>0，其中f′(x)为f(x)的导数，设a＝f(0)，b＝3f(ln 3)，c＝ef(1)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c>b>a　　　　　 B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a 解析：D　[令g(x)＝exf(x)， 则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x) ＝ex[f(x)＋f′(x)]， 因为f′(x)＋f(x)>0，而ex>0恒成立， 所以g′(x)>0， 所以g(x)在定义域上是增函数， 又0<1＝ln e<ln 3， 所以g(0)<g(1)<g(ln 3)， 因为a＝f(0)＝e0f(0)＝g(0)， b＝3f(ln 3)＝eln 3f(ln 3)＝g(ln 3)， c＝ef(1)＝g(1)， 所以b>c>a.] 2．(2024·新乡三模)设a＝，b＝ln，c＝，其中e是自然对数的底数，则(　　) A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 解析：B　[根据给定数据，构造函数f(x)＝，利用导数探讨单调性并比较大小即得． 令函数f(x)＝，x＞e，求导得f′(x)＝＜0，即函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减， 而a＝＝，b＝，c＝＝， 又3＜＜4，因此f(3)＞f＞f(4)， 所以a＜c＜b.] 点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键． 3．已知定义域为R的函数f(x)，其导函数为f′(x)，且满足f′(x)－2f(x)<0，f(0)＝1，则(　　) A．e2f(－1)<1 B．f(1)>e2 C．f <e D．f(1)>ef 解析：C　[设g(x)＝， 则g′(x)＝ ＝， 因为f′(x)－2f(x)<0在R上恒成立， 所以g′(x)<0在R上恒成立， 故g(x)是减函数， 所以g(－1)>g(0)， ＝e2f(－1)>＝1，故A不正确； g(1)<g(0)，即<， 即f(1)<e2f(0)＝e2，故B不正确； g<g(0)，即<＝1， 即f <e，故C正确； g>g(1)，即>， 即f(1)<ef ，故D不正确．] 4．(2024·威海二模)设a＝，b＝ln 1.21，c＝10sin，则(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a 解析：B　[令g(x)＝x－sin x，求导可证明x＞sin x，进而可得10sin＜10×＝，可判断a＞c，令f(x)＝x－ln(1＋x)2＝x－2ln(1＋x)，求导可证x＜2ln(1＋x)＝ln(1＋x)2，令x＝，可得a＜b. 令g(x)＝x－sin x，可得g′(x)＝1－cos x≥0，所以g(x)＝x－sin x在R上单调递增， 当x＞0时，g(x)＞g(0)，所以x＞sin x， 所以10sin＜10×＝，所以a＞c， 令f(x)＝x－ln(1＋x)2＝x－2ln(1＋x)，求导可得f′(x)＝1－＝， 当0＜x＜1，f′(x)＜0，所以f(x)单调递减， 所以f(x)＜f(0)， 即x－2ln(1＋x)＜0－2ln 1＝0， 所以x＜2ln(1＋x)＝ln(1＋x)2， 令x＝，可得＜ln(1＋0.1)2＝ln 1.21， 即a＜b， 所以c＜a＜b.] 5．(2024·鹰潭一模)在满足2≤xi＜yi，的实数对(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)中，使得y1＋y2＋…＋yn－1≤20yn成立的正整数n的最大值为(　　) A．22　　 B．23 C．30　　 D．31 解析：C　[由得＝，构造函数f(x)＝(x≥2)，利用导数求得f(x)的单调性，求得yi的取值范围，结合不等式的知识即可得解． 因为2≤xi＜yi，，所以＝， 设f(x)＝(x≥2)，则f′(x)＝， 令f′(x)＞0，则2＜x＜e，令f′(x)＜0，则x＞e， 所以f(x)在(2，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， 因为f(2)＝f(4)＝，2≤xi＜yi， f(xi)＝f(yi)， 所以2≤xi＜e＜yi≤4， 所以y1＋y2＋…＋yn－1＞e(n－1)，又yn≤4， 20yn≤80， 要使得y1＋y2＋…＋yn－1≤20yn成立， 只需e(n－1)＜80，即n＜1＋≈30.4， 所以正整数n的最大值为30.] 点睛：本题解题的关键是由变换得＝，从而得以构造函数f(x)＝(x≥2)，由此得解． 6．[多选](2024·湖北宜荆荆随恩二模)已知x＞y＞0，则下列不等式正确的有(　　) A．ex－ey＞x－y B．ln x－ln y＞x－y C．ln x≥1－ D.＞ 解析：ACD　[对于A，构造函数f(x)＝ex－x，利用导数判断函数单调性，即可比较；对于B，举反例判断即可；对于C，构造函数h(x)＝ln x－1＋(x＞0)，利用导数研究函数最值即可判断；对于D，构造函数g(x)＝x·ex(x＞0)，利用导数判断函数单调性，即可比较． 设f(x)＝ex－x(x＞0)，则f′(x)＝ex－1＞0，f(x)在(0，＋∞)单调递增， 所以f(x)＞f(y)，即ex－x＞ey－y，即ex－ey＞x－y，A正确； 令x＝e，y＝1，则ln x－ln y＝1，而x－y＝e－1，所以ln x－ln y＜x－y，B不正确； 设h(x)＝ln x－1＋(x＞0)，则h′(x)＝－＝，当0＜x＜1时，h′(x)＝＜0， 函数h(x)单调递减；当x＞1时，h′(x)＝＞0，函数h(x)单调递增； 则h(x)＝ln x－1＋在x＝1时取得最小值h(1)＝ln 1－1＋＝0，即ln x≥1－，C正确； 设g(x)＝xex(x＞0)，则g′(x)＝(x＋1)ex＞0，所以g(x)＝xex在(0，＋∞)上是增函数， 所以由x＞y＞0得xex＞yey，即＞，D正确．] 7．已知a＝sin 0.9，b＝0.9，c＝cos 0.9，则a，b，c的大小关系是________． 解析：令函数f(x)＝x－sin x，x>0， 则f′(x)＝1－cos x≥0恒成立，故函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是增函数， 所以当x>0时，f(x)>f(0)＝0， 则f(0.9)＝0.9－sin 0.9>0， 于是0.9>sin 0.9，即b>a； 当x∈时， x－∈， 则y＝sin x－cos x＝sin>0， 所以sin x>cos x，而<0.9<， 于是sin 0.9>cos 0.9，即a>c. 综上，b>a>c. 答案：b>a>c 8．设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，对任意的x∈R，有f(x)－f(－x)＝2sin x，且在[0，＋∞)上，f′(x)>cos x．若f－f(t)>cos t－sin t，则实数t的取值范围为________． 解析：因为f(x)－f(－x)＝2sin x， 所以f(x)－sin x＝f(－x)－sin(－x)， 设g(x)＝f(x)－sin x，x∈R， 可得g(x)＝g(－x)，所以g(x)为偶函数， 在[0，＋∞)上有f′(x)>cos x， 所以g′(x)＝f′(x)－cos x>0，x∈[0，＋∞)， 故g(x)在[0，＋∞)上单调递增，根据偶函数的对称性可知，g(x)在(－∞，0)上单调递减， 由f －f(t)>cos t－sin t，得 f(t)－sin t<f －cos t ＝f －sin， 即g(t)<g， 所以|t|<， 即t2<2，－πt>0，解得t<. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$