第一部分 专题一 培优微专题1 公切线（word练习）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

1．已知直线l为曲线y＝x＋1＋ln x在A(1,2)处的切线，若l与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1也相切，则a等于(　　) A．0　　　　　　　　 B．－4 C．4 D．0或4 解析：C　[因为y＝x＋1＋ln x， 所以y′＝1＋，所以y′|x＝1＝2， 所以曲线y＝x＋1＋ln x在A(1,2)处的切线方程为y－2＝2x－2，即y＝2x. 由于切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切， 由 得ax2＋ax＋1＝0， 当a＝0时，1＝0，不成立； 又a≠0，两线相切有1个切点， 所以Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4或a＝0(舍去)．] 2．函数f(x)＝2＋ln x与函数g(x)＝ex公切线的斜率为(　　) A．1 B．±e C．1或e D．1或e2 解析：C　[先设切点分别为(x1，f(x1))，(x2，g(x2))并通过点斜式方程写出两条切线方程，根据公切线方程得，最后计算x1值即可． 设切点分别为(x1，f(x1))，(x2，g(x2))，x1＞0，x2＞0， 且导数为f′(x)＝，g′(x)＝ex， 所以切斜方程既为y－(2＋ln x1)＝(x－x1)， 也为y－＝ (x－x2)， 所以， 且ln＝⇒－ln x1＝x2， 所以1＋ln x1＝(1＋ln x1)×⇒(1＋ln x1)(x1－1)＝0， 所以x1＝1或x1＝， 所以公切线的斜率为k＝＝1或e.] 3．(2021·新高考Ⅰ卷)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　　) A．eb<a B．ea<b C．0<a<eb D．0<b<ea 解析：D　[根据y＝ex图象特征，y＝ex是下凸函数， 又过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线， 则点(a，b)在曲线y＝ex的下方且在x轴的上方，得0<b<ea.] 4．(2024·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝ln(x＋1)，g(x)＝ln(e2x)，若直线y＝kx＋b为f(x)和g(x)的公切线，则b等于(　　) A. B．1－ln 2 C．2－ln 2 D．－ln 2 解析：B　[分别设直线y＝kx＋b为f(x)和g(x)的公切线，切点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别利用函数导数求出切点坐标代入直线y＝kx＋b中，建立关于k，b的方程组解出即可． 设直线l：y＝kx＋b与f(x)＝ln(x＋1)相切于点A(x1，y1)，与g(x)＝ln(e2x)相切于点B(x2，y2)， 由f(x)＝ln(x＋1)，得f′(x)＝， 由f′(x1)＝＝k⇒x1＝， 则y1＝ln(x1＋1)＝ln＝ln＝－ln k， 即点A，代入直线l中有： －ln k＝k·＋b⇒b＝k－ln k－1，① 由g(x)＝ln (e2x)＝ln e2＋ln x＝2＋ln x， 所以g′(x)＝， 由g′(x2)＝＝k⇒x2＝， y2＝g(x2)＝2＋ln x2＝2＋ln ＝2－ln k， 即点B，代入直线l中有： 2－ln k＝k·＋b⇒b＝1－ln k，② 联立①②解得：k＝2， 所以b＝1－ln 2.] 5．[多选]若两曲线y＝x2－1与y＝aln x－1存在公切线，则正实数a的取值可能是(　　) A．1.2 B．4 C．5.6 D．2e 解析：ABD　[设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由导数的几何意义分别写出切线方程，由题意切线方程相同，从而可得出a＝－4x(ln x2－1)，设g(x)＝4x2－4x2ln x由导数求出其值域即可． 由y＝x2－1，则y′＝2x，由y＝aln x－1， 则y′＝，设切线与曲线y＝x2－1相切于点A(x1，y1)，则斜率为2x1，所以切线方程为y－(x－1)＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－1－x，①设切线与曲线y＝aln x－1相切于点B(x2，y2)，则斜率为：， 则切线方程为y－(aln x2－1)＝(x－x2)， 即y＝x＋aln x2－a－1，② 根据题意方程①，②表示同一条直线，则， 所以a＝－4x(ln x2－1)，令g(x)＝4x2－4x2ln x(x＞0)， 则g′(x)＝4x(1－2ln x)，所以g(x)在(0，)上单调递增，在(，＋∞)上单调递减，g(x)max＝g()＝2e，由题意a∈(0,2e]．] 6．[多选](2024·青岛模拟)已知f(x)＝ex，g(x)＝ln x，则(　　) A．设M是f(x)图象上的任意一点，N是g(x)图象上任一点，则|MN|≥ B．f(x)－g(x)＞2.1 C．f(x)与g(x)的图象有且仅有两条公切线 D．f(x)－g(x)是增函数 解析：ABC　[由导数的几何意义可判断A，由f(x)－g(x)的单调性可判断BD，由方程ln k＝＋1有两个解可判断C. 在同一坐标系上作出f(x)＝ex，g(x)＝ln x的图象如图所示： 易知f(x)＝ex和g(x)＝ln x的图象关于直线y＝x对称， 作与直线y＝x平行且与f(x)＝ex相切的直线y＝x＋b， 设切点，f′(x)＝ex， 所以有，解得， 即切点为M(0,1)， M(0,1)到直线y＝x的距离d＝＝， 即曲线f(x)＝ex上的动点到直线y＝x的距离的最小值为， 由对称性可知：|MN|≥2d＝，A正确； 设h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－ln x， h′(x)＝ex－，设φ(x)＝ex－，φ′(x)＝ex＋＞0， 所以h′(x)＝ex－在(0，＋∞)上单调递增， h′＝－2＜0，h′(1)＝e－1＞0， 所以存在x0∈，使得h′(x0)＝－＝0， 所以h(x)＝ex－ln x在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，hmin＝h(x0)． 设φ(x)＝(x＞0)，所以φ′(x)＝＜0，即有φ(x)＜φ(0)＝1， 亦即ex＞x2＋x＋1，易知x－1≥ln x，当且仅当x＝1时取等号，所以f(x)－g(x)＞x2＋x＋1－ln x＝x2＋2＋(x－1－ln x)＞x2＋2， 所以h(x)min＝h(x0)＞x＋2＞2＋×2＝2.125＞2.1， 即f(x)－g(x)＞2.1，B正确，D错误． 设f(x)与g(x)的图象公切线为y＝kx＋b，切点分别为 f′(x)＝ex，g′(x)＝，则有， 化简得：，即ln k＝＋1(k＞0)， 画出y＝ln k与y＝＋1的图象可知： y＝ln k与y＝＋1的图象有两个交点，所以方程ln k＝＋1有两个解， 即f(x)与g(x)的图象有且仅有两条公切线，C正确．] 7．(2024·沧州模拟)已知直线l：y＝kx是曲线f(x)＝ex＋1和g(x)＝ln x＋a的公切线，则实数a＝________. 解析：先设在y＝f(x)上的切点，然后求出切点和切线，然后再设在y＝g(x)上的切点，即可求出a的值． 设直线l与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)， 由f′(x)＝ex＋1，得k＝f′(x0)＝，因为l与曲线f(x)＝ex＋1相切， 所以消去y0，得，解得x0＝1. 设l与曲线y＝g(x)相切于点(x1，y1)， 由g′(x)＝，得k＝e2＝，即e2x1＝1， 因为(x1，y1)是l与曲线g(x)＝ln x＋a的公共点， 所以消去y1，得e2x1＝ln x1＋a，即1＝ln ＋a，解得a＝3. 答案：3 8．(2024·昆明三模)过点(1，m)可以向曲线f(x)＝xex作n条切线，写出满足条件的一组有序实数对(m，n)＝__________. 解析：设切点坐标为，利用导数表示出切线方程，代入点(1，m)，通过构造函数，研究新函数的单调性和极值，对m的取值范围进行讨论，得到x0解的个数，可得对应的切线条数． f(x)＝xex，f′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex， 设所求切线的切点坐标为，则切线斜率为， 得切线方程为， 由切线过点(1，m)，有， 化简得， 设g(x)＝(1＋x－x2)ex， 则g′(x)＝(2－x－x2)ex， g′(x)＜0，解得x＜－2或x＞1；g′(x)＞0，解得－2＜x＜1， g(x)在(－∞，－2)和(1，＋∞)上单调递减， 在(－2,1)上单调递增， 极大值g(1)＝e，极小值g(－2)＝－， 且x＜或x＞时g(x)＜0，＜x＜时，g(x)＞0， g(x)的函数图象如图所示， 则当m＞e时，x0无解，n＝0；当m＝e或m＜－时，x0有一个解，n＝1； 当m＝－或0≤m＜e时，x0有两个解，n＝2；当－＜m＜0时，x0有三个解，n＝3.(答案不唯一) 答案：(e,1)(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $$