第一部分 专题一 微专题3 不等式（word练习）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

一、单选题 1．已知集合A＝，B＝{x|x2－3x－4＜0}，则A∩B＝(　　) A．{x|3＜x＜4} B．{x|－1＜x＜1或3＜x＜4} C．{x|－4＜x＜1} D．∅ 解析：B　[分析：先将集合A，B化简，再利用交集运算得解． 由＜，即＜0，解得x＜1或x＞3， 所以集合A＝{x|x＜1或x＞3}，又B＝{x|x2－3x－4＜0}＝{x|－1＜x＜4}， 则A∩B＝{x|－1＜x＜1或3＜x＜4}．] 2．已知p：1＜2x＜4，q：x2－ax－1＜0，若p是q的充分不必要条件，则(　　) A．a≥　　　　　　　 B．0＜a≤ C．a＞2 D．0＜a≤2 解析：A　[分析：首先化简命题p，依题意可得当0＜x＜2时x2－ax－1＜0恒成立，参变分离可得a＞x－在0＜x＜2上恒成立，结合函数的单调性计算可得． 命题p：1＜2x＜4，即p：0＜x＜2， 因为p是q的充分不必要条件， 显然当x＝0时满足q：x2－ax－1＜0， 所以当0＜x＜2时x2－ax－1＜0恒成立， 则a＞x－在0＜x＜2上恒成立， 又函数f(x)＝x－在(0,2)上单调递增，且f(2)＝，所以a≥.] 3．已知a，b∈R，下列命题正确的是(　　) A．若ab＝1，则a＋b≥2 B．若＜，则a＞b C．若a＞b，则ln(a－b)＞0 D．若a＞b＞0，则a＋＞b＋ 解析：D　[分析：举反例即可推出A，B，C错误，D利用反比例函数单调性和不等式可加性即可证得． 当a＝－1，b＝－1时，a＋b＝－2，所以A错． 当a＜0，b＞0时，a＜b，所以B错． 当a＝2，b＝1时，ln(a－b)＝0，所以C错． 若a＞b＞0，则＞＞0，则a＋＞b＋成立，所以D正确．] 4．设x＞0，y＞0，＋2y＝2，则x＋的最小值为(　　) A. B．2 C.＋ D．3 解析：C　[分析：由不等式“1”的代换求解即可． 因为＋2y＝2，所以＋y＝1， 因为x＞0，y＞0， 所以x＋＝＝＋xy＋＋1 ＝＋xy＋≥＋2＝＋2×＝. 当且仅当，即时取等．] 5．在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式是W＝(长＋4)×(宽＋4)，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10 000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用(单位：元)是(　　) A．10 000 B．10 480 C．10 816 D．10 818 解析：C　[分析：设矩形场地的长为x米，则W＝4x＋＋10 016，结合基本不等式计算即可求解． 设矩形场地的长为x米，则宽为米， W＝(x＋4)＝4x＋＋10 016≥2＋10 016＝10 816， 当且仅当4x＝，即x＝100时，等号成立． 所以平整这块场地所需的最少费用为1×10 816＝10 816元．] 6．已知a＞0，b＞0,2a＋b＝ab，则＋的最小值为(　　) A．4 B．6 C．4 D．3＋2 解析：D　[分析：由已知可得a＝且b＞2、a＞1，再由＋＝3＋＋a－1，应用基本不等式求其最小值，注意取值条件． 由a＞0，b＞0,2a＋b＝ab，a＝＞0，即b＞2，易知a＞1， 所以＋＝＋a＝3＋＋a－1≥3＋2＝3＋2， 当且仅当a＝＋1时等号成立，此时b＝2＋， 所以＋的最小值为3＋2.] 7．早在公元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．若2a＋2b＝1，则(4a＋1)(4b＋1)的最小值为(　　) A.　　 B. C.　　 D. 解析：D　[分析：令m＝2a，n＝2b，结合基本不等式可得0＜mn≤，化简(4a＋1)(4b＋1)可得(4a＋1)(4b＋1)＝(mn)2－2mn＋2，转化为求关于mn的二次函数在区间上的最小值即可． 不妨设m＝2a，n＝2b，则m＞0，n＞0， 所以m＋n≥2，当且仅当m＝n时取等号， 即0＜mn≤，当且仅当m＝n时取等号， 所以(4a＋1)(4b＋1)＝(m2＋1)(n2＋1)＝(mn)2＋m2＋n2＋1＝(mn)2＋(m＋n)2－2mn＋1＝(mn)2－2mn＋2＝(mn－1)2＋1， 所以当mn＝时，(mn)2－2mn＋2取得最小值.] 8．已知a，b均为正实数，若直线y＝x－a与曲线y＝ln(x＋2b)相切，则的最小值是(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：C　[分析：设切点为(m，n)，根据导数的几何意义可求出m＝a，即得a＋2b＝1，继而根据“1”的巧用，结合基本不等式，即可求得答案． 由于直线y＝x－a与曲线y＝ln(x＋2b)相切，设切点为(m，n)， 而y′＝，故，解得m＝a， 故a＋2b＝1，a，b均为正实数， 故＝(a＋2b)＝＋＋6≥2＋6＝10， 当且仅当＝，结合a＋2b＝1，即得a＝b＝时等号成立， 故的最小值是10.] 二、多选题 9．已知实数a，b，c，则下列结论中正确的是(　　) A．|a|＋|b|≥2 B．若ac2≥bc2，则a＞b C．若a＞b＞0，则＜ D．若a2＋b2＝4(a＞0，b＞0)，则a＋b有最大值2 解析：CD　[对于A，|a|＋|b|≥2，当且仅当|a|＝|b|时等式成立，A错误； 对于B，当a＝1，b＝2，c＝0时，ac2＝bc2，满足ac2≥bc2，但是a＜b，B错误； 对于C，因为a＞b＞0，所以a＋b＞2， 所以＜1，所以＜，C正确； 对于D，因为a＞0，b＞0，所以有ab≤＝2，当且仅当a＝b时等号成立， 所以a＋b＝＝＝≤＝2， 当且仅当a＝b＝时等号成立，即a＋b有最大值2，D正确．] 10．已知关于x的不等式≥0的解集为(－∞，－2]∪(1，＋∞)，则(　　) A．c＝1 B．点(a，b)在第二象限 C．2a＋的最小值为2 D．关于x的不等式ax2＋ax－b≥0的解集为(－∞，－2]∪[1，＋∞) 解析：ACD　[分析：根据题意，由原不等式的解集可得c＝1，－2a＋b＝0，即可判断ABD，然后再由基本不等式即可判断C. 原不等式等价于，因为其解集为(－∞，－2]∪(1，＋∞)，所以a＞0且c＝1，－2a＋b＝0，故A正确； 因为a＞0，b＝2a＞0，则点(a，b)在第一象限，故B错误； 由b＝2a＞0可得，2a＋＝2a＋≥2＝2，当且仅当时，即a＝时，等号成立，所以2a＋的最小值为2，故C正确； 由b＝2a＞0可得，不等式ax2＋ax－b≥0即为ax2＋ax－2a≥0，化简可得x2＋x－2≥0⇒(x＋2)(x－1)≥0，则其解集为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故D正确．] 11．已知正数x，y满足x＋2y＝1，则下列说法正确的是(　　) A．xy的最大值为 B．x2＋4y2的最小值为 C.＋的最大值为2 D.＋的最小值为7＋2 解析：ABD　[分析：利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案． 对于A：∵x＞0，y＞0，x＋2y＝1. ∴x·2y≤2＝2＝，xy≤. 当且仅当，即x＝，y＝，取“＝”，∴A正确； 对于B：x2＋4y2＝(x＋2y)2－4xy＝1－4xy，由(1)知xy≤，∴－4xy≥－. ∴x2＋4y2＝1－4xy≥1－＝.∴B正确； 对于C：(＋)2＝x＋2y＋2＝1＋2≤1＋x＋2y＝1＋1＝2. ∴＋≤，∴C错误； 对于D：(x＋2y)＝1＋＋＋6＝7＋＋≥7＋2， 当且仅当＝，即，取“＝”，∴D正确．] 三、填空题 12．已知集合A＝，B＝{x|log2x≥a}，若B⊆(∁RA)，则a的取值范围是________． 解析：分析：求出集合A，B，根据包含关系确定范围即可． 由≤0，得－2≤x＜2， 所以A＝{x|－2≤x＜2}，则∁RA＝{x|x＜－2或x≥2}， 由log2x≥a，得x≥2a， 又B⊆(∁RA)，所以2a≥2， 解得a≥1. 答案：[1，＋∞) 13．已知a，b均为实数且a＞0，b＞0，a＋b＝3，则＋的最小值为________． 解析：因为a＋b＝3，所以(a＋1)＋b＝4， 所以＋＝[(a＋1)＋b] ＝≥ ＝1， 当且仅当＝，即a＝1，b＝2等号成立， 所以＋的最小值为1. 答案：1 14．已知不等式(x＋1)2≤λ(x2＋1)(x2－2x＋5)对任意x∈R恒成立，则实数λ的取值范围是________． 解析：分析：参变分离可得≤λ对任意x∈R恒成立，换元令x＋1＝t，整理得＝，结合对勾函数性质分析求解． 因为(x＋1)2≤λ(x2＋1)(x2－2x＋5)，且x2＋1＞0，x2－2x＋5＞0， 可得≤λ对任意x∈R恒成立， 令x＋1＝t，则x＝t－1， 若x＝－1，则t＝0，可得＝0， 若x≠－1，则t≠0，可得＝ ＝＝＝， 由对勾函数u＝t＋可知u≥4或u≤－4， 则t＋－3≥1或t＋－3≤－7，可得2≥1， 则＝∈； 综上所述：∈， 即的最大值为，则λ≥， 所以实数λ的取值范围是. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$