第一部分 专题一 微专题2 基本初等函数、函数与方程（word练习）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

一、单选题 1．已知幂函数图象过点(2,4)，则函数的解析式为(　　) A．y＝2x　　　　　　　 B．y＝x2 C．y＝log2x D．y＝sin x 解析：B　[分析：先用待定系数法设出函数解析式，再代入点的坐标计算出参数，即可得到答案． 设幂函数的解析式为y＝xα，由于函数过点(2,4)，故4＝2α，解得α＝2，该幂函数的解析式为y＝x2.] 2．函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是(　　) A．(3，＋∞) B．(e,3) C．(2，e) D．(1,2) 解析：C　[分析：根据零点存在性定理即可求解． f(x)＝ln x－在定义域内单调递增， f(3)＝ln 3－＞0，f(e)＝ln e－＞0，f(2)＝ln 2－1＜0. 由于f(e)f(2)＜0，所以零点所在的区间是(2，e)．] 3．若a＜x＜3是不等式＞－1成立的一个必要不充分条件，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，0] C．[0,2) D．(2,3) 解析：B　[分析：求出不等式＞－1成立的充要条件，根据充分必要条件关系判断． 因为a＜x＜3是＞－1成立的必要不充分条件， 所以a≤0.] 4．(2024·天津高考)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 解析：B　[因为y＝4.2x在R上递增，且－0.3＜0＜0.3，所以0＜4.2－0.3＜4.20＜4.20.3， 所以0＜4.2－0.3＜1＜4.20.3，即0＜a＜1＜b， 因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上递增，且0＜0.2＜1， 所以log4.20.2＜log4.21＝0，即c＜0， 所以b＞a＞c.] 5．已知函数f(x)＝log5(ax－2)在[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．[ln 2，＋∞) C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：C　[分析：先由题设条件证明a＞2，再验证a＞2时条件满足即可． 若f(x)＝log5(ax－2)在[1，＋∞)上单调递增， 则必然在x＝1处有定义，所以a1－2＞0，即a＞2； 若a＞2，则当x≥1时ax－2≥a－2＞0，所以f(x)在[1，＋∞)上有定义， 再由5＞1知ax－2在R上单调递增，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增．] 6．对数螺线广泛应用于科技领域．某种对数螺线可以用ρ＝表达，其中α为正实数，φ是极角，ρ是极径．若φ每增加个单位，则ρ变为原来的(　　) 解析：B　[分析：设φ0所对应的极径为ρ0，φ1＝φ0＋所对应的极径为ρ1，根据所给表达式及指数幂的运算法则计算可得． 设φ0所对应的极径为ρ0，则ρ0＝， 则φ1＝φ0＋所对应的极径为ρ1＝， 所以 故φ每增加个单位，则ρ变为原来的倍．] 7．已知函数f(x)＝2x＋log2x，g(x)＝x－log2x，h(x)＝x3＋log2x的零点分别为a，b，c，则(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 解析：D　[分析：根据指数函数、对数函数的性质可判断a，c小于1，b大于1，再由数形结合判断a，c即可． 令g(x)＝x－log2x＝0，可得x＝log2x＞0，所以x＞1，即b＞1； 令f(x)＝2x＋log2x＝0，可得2x＝－log2x＞0，即log2x＜0，所以0＜x＜1， 即0＜a＜1； 令h(x)＝x3＋log2x＝0，可得x3＝－log2x，由此可得log2x＜0，所以0＜x＜1， 即0＜c＜1， 作y＝2x，y＝－log2x，y＝x3的图象，如图， 由图象可知，a＜c，所以a＜c＜b.] 8．(2024·新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1,1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点，则a＝(　　) A．－1 B. C．1 D．2 解析：D　[f(x)＝g(x)⇒a＝，注意右边是偶函数，所以若只有一个交点就只能是在x＝0处相交，于是直接代入x＝0得a＝2.] 二、多选题 9．下列命题中正确的是(　　) A．已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝ B．2(lg 2)2＋3lg 2 lg 5＋(lg 5)2－lg 2的值为1 C．若xlog34＝1，则4x＋4－x的值为 D．若2m＝3n＝k且＋＝2，则k＝6 解析：ABC　[分析：根据题意，结合指数与对数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果． 因为2a＝5，则a＝log25，且b＝log83＝log23，则a－3b＝log25－log23＝log2 则4a－3b＝22(a－3b)＝＝，故A正确； 2(lg 2)2＋3lg 2 lg 5＋(lg 5)2－lg 2＝(2lg 2＋lg 5)(lg 2＋lg 5)－lg 2＝2lg 2＋lg 5－lg 2 ＝lg 2＋lg 5＝1，故B正确； 由xlog34＝1可得x＝＝log43，则4x＋4－x＝＝3＋＝，故C正确； 因为2m＝3n＝k，则m＝log2k，n＝log3k，则＝logk2，＝logk3， 所以＋＝logk2＋logk3＝logk6＝2，所以k＝，故D错误．] 10．设函数f(x)＝2sin2x－3sin|x|＋1，则(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)在[－2π，2π]上有6个零点 C．f(x)的最小值为－ D．f(x)在上单调递减 解析：ABC　[分析：求得f(x)的奇偶性判断选项A；求得f(x)在[－2π，2π]上的零点个数判断选项B；求得f(x)的最小值判断选项C；举特例否定选项D. 选项A：函数f(x)定义域为R， 由f(－x)＝2sin2(－x)－3sin|－x|＋1＝2sin2x－3sin|x|＋1＝f(x)， 可得f(x)是偶函数．A正确； 选项B：当x≥0时，f(x)＝2sin2x－3sin x＋1， 由2sin2x－3sin x＋1＝0，可得sin x＝，或sin x＝1，则当x∈[0,2π]时，x＝或x＝或x＝， 又f(x)是偶函数，则当x∈[－2π，0]时，x＝－或x＝－或x＝－，则f(x)在[－2π，2π]上有6个零点．B正确； 选项C：当x≥0时，f(x)＝2sin2x－3sin x＋1＝22－，则当sin x＝时f(x)取得最小值－，又f(x)是偶函数，则f(x)的最小值为－.C正确；选项D：f＝ 2sin2－3sin＋1＝1－＋1＜1， f(0)＝2sin20－3sin|0|＋1＝1， 则f＜f(0)，则f(x)在上不单调递减．D错误．] 11．16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急．约翰·纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．对数的发明是数学史上的重大事件．恩格斯曾经把对数的发明称为17世纪数学的三大成就之一．已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，lg 2024≈3.306，则下列说法中正确的是(　　) A．若正实数x，y，z满足3x＝4y＝6z，则＋＝ B．若一个正整数n的20次方是一个13位整数，则n＝4 C．20242024是位数为6692的正整数 D．将无理数log35写成小数形式后，其小数点后第一位数字为4 解析：BCD　[分析：利用对数的运算性质，把指数式化为对数式进行计算，即可得到判断． 对于A，令3x＝4y＝6z＝k，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k， 所以＋－＝＋－＝logk3＋logk4－logk6＝logk＝logk2≠0，故A是错误的；对于B，设n20＝k⇒20lg n＝lg k， 则当n＝3时，20lg 3≈20×0.4771＝9.542，此时lg k≈9.542⇒k≈109.542＝100.542×109，因为100.542∈(1,10)，所以不符合题意， 则当n＝4时，20lg 4≈40×0.3010＝12.04，此时lg k≈12.04⇒k≈1012.04＝100.04×1012，因为100.04∈(1,10)，所以符合题意， 则当n＝5时，20lg 5≈20×(1－0.3010)＝13.98，此时lg k≈13.98⇒k≈1013.98＝100.98×1013，因为100.98∈(1,10)，所以不符合题意， 当n≥5时，位数一定超14位，故B是正确的； 对于C，设20242024＝t⇒2024lg 2024＝lg t， 因为lg 2024≈3.306，所以2024lg 2024≈2024×3.306＝6691.344， 则lg t≈6691.344⇒t≈106691.344＝100.344×106691，同理100.344∈(1,10)， 所以20242024是位数为6692的正整数，故C是正确； 对于D，log35＝＝＝≈＝＝1.46510166，故D是正确的．] 三、填空题 12．请写出满足方程3x－＝log5y的一组实数对(x，y)：________. 解析：分析：运用对数式与指数式互化、根式与指数幂互化计算即可． ∵3x－＝log5y， ∴y＝， ∴令x＝0得：y＝＝，即：.(答案不唯一)． 答案：(答案不唯一) 13．科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为Pb(n)＝logb，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若P10(n)＝(k∈N*，k＞4)，则k的值为________． 解析：分析：根据条件中的概率公式，结合求和公式，以及对数运算，即可求解． P10(n)＝lg＋lg ＋lg ＋…＋lg ＝， 即lg ＝＝lg 3，则＝3，得k＝11. 答案：11 14．方程xln 3＋xln 4＝xln 5的正实数解为________． 解析：分析：运用对数的运算性质先证，可得原方程为3ln x＋4ln x＝5ln x，x＞0，可得ln x＋ln x＝1，再由复合函数的单调性和指数函数、对数函数的单调性，即可得到方程的解． 先证 (a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，c＞0且c≠1)， 令，两边取b为底的对数， 可得logbm＝＝logbc·logba，logbn＝＝logba·logbc， 所以logbm＝logbn，所以m＝n，即， 则xln 3＋xln 4＝xln 5(x＞0)即为3ln x＋4ln x＝5ln x(x＞0)， 可得ln x＋ln x＝1， 由于y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝x，y＝x在R上单调递减， 所以y＝ln x，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递减， 可得y＝ln x＋ln x在(0，＋∞)上单调递减， 又ln x＝2时，即x＝e2时，有2＋2＝1， 则原方程有解且只有一个为x＝e2. 答案：e2 点睛：本题关键是对数恒等式的应用． 学科网（北京）股份有限公司 $$