第一部分 专题一 微专题1 函数的图象与性质（word练习）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

一、单选题 1．设函数f(x)＝，则f(f(－2))＝(　　) A．0　　 B．1 C．2　　 D．3 解析：D　[分析：先求出f(－2)的值，再求f(f(－2))即可． 因为f(－2)＝－2＝9， 所以f(f(－2))＝f(9)＝log2(9－1)＝3.] 2．(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8,2.8]的大致图象为(　　) 解析：B　[令f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x， 则f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)sin(－x) ＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x) ∴y＝f(x)为偶函数，排除A，C； 故排除D，B正确．] 3．若函数f(x)＝ax＋ln(ex＋1)是偶函数(e是自然对数的底数)，则实数a的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：B　[分析：根据偶函数的定义，得出－ax＋ln(e－x＋1)＝ax＋ln(ex＋1)，利用对数的运算性质整理成(2a＋1)x＝0，分析即得． 依题意，f(－x)＝f(x)，即－ax＋ln(e－x＋1)＝ax＋ln(ex＋1)， 整理得：2ax＋ln＝0，即2ax＋ln ex＝0，则有(2a＋1)x＝0， 因x不恒为0，故必有2a＋1＝0，解得，a＝－.] 4．已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围为(　　) A．(2,3] B．(1,2] C．(1,3] D．[2，＋∞) 解析：B　[分析：先求解y＝log2x，x≥2的值域，结合f(x)的值域为R，分析u＝(a－1)x＋5－3a，x＜2的单调性、值域即可． 因为函数y＝log2x在[2，＋∞)上单调递增， 故y≥log22＝1， 又因为f(x)的值域为R， 则u＝(a－1)x＋5－3a(x＜2)需满足， ，解得1＜a≤2.] 5．下列函数中既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递减的是(　　) A．f(x)＝2|x| B．f(x)＝x3 C．f(x)＝－x D．f(x)＝ 解析：C　[分析：根据奇函数和单调性的定义，结合基本初等函数的图象逐项判断． 对于A：函数f(x)＝2|x|的定义域为R， 又f(－x)＝2|－x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A错误； 对于B：由幂函数f(x)＝x3的性质可知，f(x)＝x3在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； 对于C：函数f(x)＝－x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝－(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，又幂函数y＝，y＝－x都在(0，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，故C正确； 对于D：因为对数函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增， 所以函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，故D错误．] 6．已知函数f(x)＝则f(x)图象上关于原点对称的点有(　　) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 解析：C　[分析：作出f(x)的图象，再作出函数y＝x，x≥0关于原点对称的图象，进而数形结合判断即可． 作出f(x)的图象，再作出函数y＝x，x≥0关于原点对称的图象如图所示． 因为函数y＝x，x≥0关于原点对称的图象与y＝－|x2＋2x|，x＜0，图象有三个交点，故f(x)图象上关于原点对称的点有3对．] 7．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)为偶函数，f(x＋2)－1为奇函数．若f(1)＝0，则f(k)＝(　　) A．23 B．24 C．25 D．26 解析：C　[分析：根据函数奇偶性推出函数关于直线x＝1对称和关于点(2,1)对称，则得到其周期，再计算其一个周期内的和，最后代入计算即可． f(x＋1)为偶函数，则f(x＋1)＝f(－x＋1)，则f(x)关于x＝1对称， f(x＋2)－1为奇函数， 则f(－x＋2)－1＝－f(x＋2)＋1， 即f(－x＋2)＋f(x＋2)＝2，则关于点(2,1)对称， 则由其关于x＝1对称有f(x)＝f(－x＋2)，则f(x)＋f(x＋2)＝2， 则f(x＋2)＋f(x＋4)＝2，作差有f(x)＝f(x＋4)， ∴f(x)为周期函数，且周期为4，因为f(1)＋f(3)＝2，f(1)＝0，则f(3)＝2， 因为f(0)＝f(2)，f(0)＋f(2)＝2，则f(0)＝f(2)＝1， f(4)＝f(0)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4， ∴f(k)＝24，f(k)＝24＋0＋1＝25.] 8．(2024·新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)ln(x＋b)，若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为(　　) A. B. C. D．1 解析：C　[当x＜－a时，x＋a＜0，当x＞－a时，x＋a＞0，当x＜1－b时，ln(x＋b)＜0，当x＞1－b时，ln(x＋b)＞0，所以要f(x)恒非负，必须－a＝1－b，即b－a＝1， 所以a2＋b2＝≥， 当a＝－，b＝时取等．] 二、多选题 9．下列说法正确的是(　　) A．若f(2x－3)的定义域是[－2,3]，则f(x＋2)的定义域是[－4, 1] B．若y＝x2－2x－3的定义域为[0，m]，值域为[－4，－3]，则1≤m≤2 C．函数的值域为(－∞，2] D．函数y＝log2(x2－2x－3)的值域为R 解析：BD　[分析：计算f(x＋2)的定义域是[－9,1]，A错误，根据单调性和最值得到B正确，函数的值域为(0,2]，C错误，y＝x2－2x－3在(－∞，－1)∪(3，＋∞)上的值域(0，＋∞)，D正确，得到答案． 对选项A：f(2x－3)的定义域是[－2,3]，则2x－3∈[－7,3]，－7≤x＋2≤3，解得－9≤x≤1，即f(x＋2)的定义域是[－9,1]，错误； 对选项B：y＝x2－2x－3，函数在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，当x＝0或x＝2时y＝－3，当x＝1时，y＝－4，值域为[－4，－3]，则1≤m≤2，正确； 对选项C：y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，故函数的值域为(0,2]，错误； 对选项D：y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，x2－2x－3＞0，解得x＞3或x＜－1，值域为(0，＋∞)，故函数y＝log2(x2－2x－3)的值域为R，正确．] 10．已知函数f(x)＝，则(　　) A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的图象关于点(π，0)对称 C．不等式f(x)＞x无解 D．f(x)的最大值为 解析：BD　[分析：对于选项A：验证f(π＋x)＝f(x)是否成立即可判断；对于选项B：验证f(2π－x)＝－f(x)是否成立即可判断；对于选项C：利用f(－π)＝0＞－π即可验证f(x)＞x有解；对于选项D：利用二倍角公式，结合基本不等式即可判断．对于选项A：f(π＋x)＝＝≠f(x)，∴π不是f(x)的周期，故A错误；对于选项B：f(2π－x)＝＝＝－f(x)，∴f(x)关于(π，0)对称，故B正确；对于选项C：f(－π)＝0＞－π，∴f(x)＞x有解，故C错误；对于选项D：f(x)＝＝，若sin x≤0，则f(x)≤0，若sin x＞0，则f(x)＝≤＝，当且仅当2sin x＝，即sin x＝时，原式取等，故D正确．] 11．我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．已知函数f(x)＝，则下列结论正确的有(　　) A．函数f(x)的值域为(0,2] B．函数f(x)的图象关于点(1,1)成中心对称图形 C．函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x＝1对称 D．若函数g(x)满足y＝g(x＋1)－1为奇函数，且其图象与函数f(x)的图象有2 024个交点，记为Ai(xi，yi)(i＝1,2，…，2024)，则 (xi＋yi)＝4048 解析：BCD　[分析：借助指数函数的值域求解判断A；利用给定定义计算判断B；利用复合函数求导法则结合对称性判断C；利用中心对称的性质计算判断D. 对于A，显然f(x)的定义域为R,2x＞0，则0＜＜2，即函数f(x)的值域为(0,2)，A错误； 对于B，令h(x)＝f(x＋1)－1＝－1＝－1＝，h(－x)＝＝＝－h(x)， 即函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，因此函数f(x)的图象关于点(1,1)成中心对称图形，B正确； 对于C，由选项B知，f(－x＋1)－1＝－[f(x＋1)－1]，即f(1－x)＋f(1＋x)＝2， 两边求导得－f′(1－x)＋f′(1＋x)＝0，即f′(1－x)＝f′(1＋x)， 因此函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确； 对于D，由函数g(x)满足y＝g(x＋1)－1为奇函数，得函数g(x)的图象关于点(1,1)成中心对称， 由选项B知，函数g(x)的图象与函数f(x)的图象有2024个交点关于点(1,1)对称， 因此 (xi＋yi)＝xi＋yi＝1012×2＋1012×2＝4048，D正确．] 三、填空题 12．已知函数f(x)＝， 则f＝________. 解析：分析：根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可． ∵log3＝－log316,32＜16＜33， ∴－3＜log3＜－2，∴f＝ f＝f＝ f＝3＝. 答案： 13．已知b＞0，函数f(x)＝是奇函数，则a＝________，b＝________. 解析：分析：由f(0)＝a＋1＝0，可求a，由f(x)＝2(2b－1)x－2－x，结合奇函数可求b. 由f(0)＝a＋1＝0，解得a＝－1，所以f(x)＝＝2(2b－1)x－2－x， 又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(x)， 所以2(2b－1)x－2－x＝－(2－(2b－1)x－2x)， 所以(2(2b－1)x)2·2x－2(2b－1)x·(2x)2＝2(2b－1)x－2x， 所以(2(2b－1)x·2x－1)(2(2b－1)x－2x)＝0， 所以22bx－1＝0或2(2b－1)x－2x＝0， 所以2b＝0或2b－1＝1，解得b＝1，b＝0(舍去)． 答案：－1　1 14．已知函数f(x)，g(x)的定义域为R，g′(x)为g(x)的导函数，且f(x)＋g′(x)－8＝0，f(x－2)－g′(6－x)－8＝0，若g(x)为偶函数，则f(n)＝________. 解析：分析：先利用复合函数的导数与g(x)的奇偶性判断g′(x)的奇偶性，进而推得g′(x)与f(x)的周期性，再利用赋值法求得f(2)，f(4)，f(1)＋f(3)的值，从而得解． 因为g(x)是偶函数，则g(－x)＝g(x)， 两边求导得－g′(－x)＝g′(x)，所以g′(x)是奇函数，故g′(0)＝0， 由f(x)＋g′(x)－8＝0⇒f(x－2)＋g′(x－2)－8＝0⇒f(x－2)＝8－g′(x－2)， 代入f(x－2)－g′(6－x)－8＝0，得8－g′(x－2)－g′(6－x)－8＝0， 则g′(x－2)＋g′(6－x)＝0，所以g′(x＋4)＋g′(－x)＝0， 又g′(x)是奇函数，所以g′(x＋4)＝－g′(－x)＝g′(x)， 所以g′(x)是周期函数，且周期为4， 又f(x)＋g′(x)－8＝0，可知f(x)也是以4为周期的周期函数， 令x＝4，得f(4)＋g′(4)－8＝f(4)＋g′(0)－8＝0，故f(4)＝8， 而g′(2)＝g′(2－4)＝g′(－2)＝－g′(2)， 所以g′(2)＝0， 令x＝2，得f(2)＋g′(2)－8＝0，则f(2)＝8， 而f(1)＋g′(1)－8＝0，f(3)＋g′(3)－8＝0， 又g′(3)＝g′(－1)＝－g′(1)，则f(1)＋f(3)＝16， f(n)＝506[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＝506×(8＋16＋8)＋8＝16200. 答案：16200 点睛：函数的对称性与周期性： (1)若f(x＋a)＋f(－x＋b)＝c，则函数f(x)关于中心对称； (2)若f(x＋a)＝f(－x＋b)，则函数f(x)关于x＝对称； (3)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数f(x)的周期为2a； (4)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数f(x)的周期为2a. 学科网（北京）股份有限公司 $$