第1部分 专题5 微专题15 圆锥曲线的方程与性质（word教参）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

微专题15　圆锥曲线的方程与性质 ★[高考定位]　圆锥曲线是高考的重点和热点，是高考中每年必考的内容．主要考查圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等内容．对圆锥曲线方程与性质的考查，以选择题、填空题为主，对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，常与其他知识交汇命题，多以解答题的形式出现． 　　　　圆锥曲线的定义及方程 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M. 2．圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆的标准方程为＋＝1，其中a>b>0； (2)双曲线的标准方程为－＝1，其中a>0，b>0. (3)抛物线的标准方程为x2＝±2py，y2＝±2px，其中p>0. [例1]　(1)(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A.＋＝1(y＞0)　　 B.＋＝1(y＞0) C.＋＝1(y＞0) D.＋＝1(y＞0) [解析]　设点M(x，y)，由题意，根据中点的坐标表示可得P(x,2y)，代入圆的方程即可求解． 设点M(x，y)，则P(x，y0)，P′(x,0)， 因为M为PP′的中点，所以y0＝2y，即P(x,2y)， 又P在圆x2＋y2＝16(y＞0)上， 所以x2＋4y2＝16(y＞0)，即＋＝1(y＞0)， 即点M的轨迹方程为＋＝1(y＞0)． [答案]　A (2)(2024·天津高考)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 [解析]　可利用△PF1F2三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设|PF2|＝m，由面积公式求出m，由勾股定理得出c，结合第一定义再求出a. 如图：由题可知，点P必落在第四象限，∠F1PF2＝90°，设|PF2|＝m， ∠PF2F1＝θ1，∠PF1F2＝θ2，由＝tan θ1＝2，求得sin θ1＝， 因为∠F1PF2＝90°，所以＝－1，求得＝－，即tan θ2＝， sin θ2＝，由正弦定理可得： |PF1|∶|PF2|∶|F1F2|＝sin θ1∶sin θ2∶sin 90°＝2∶1∶， 则由|PF2|＝m得|PF1|＝2m，|F1F2|＝2c＝m， 由＝|PF1|·|PF2|＝m·2m＝8得m＝2， 则|PF2|＝2，|PF1|＝4，|F1F2|＝2c＝2，c＝， 由双曲线第一定义可得：|PF1|－|PF2|＝2a＝2，a＝，b＝＝， 所以双曲线的方程为－＝1. [答案]　C 圆锥曲线方程的求法 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算．” (1)定型：就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算：即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，双曲线常设为mx2－ny2＝1(mn>0)． 1．(2024·东三省三校联考)已知F1是椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线x＝1与C交于A、B两点，则△F1AB周长为(　　) A. B. C．2 D．4 解析：D　[由题意可得△F1AB经过椭圆右焦点，结合椭圆定义计算即可得． 由＝1，故△F1AB经过椭圆右焦点， 故△F1AB的周长为＝4a＝4×＝4.] 2．已知抛物线方程为：y2＝16x，焦点为F.圆的方程为(x－5)2＋(y－1)2＝1，设P为抛物线上的一点，Q为圆上的一点，则|PF|＋|PQ|的最小值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：C　[由抛物线方程为y2＝16x，得到焦点F(4,0)，准线方程为x＝－4，过点P做准线的垂线，垂足为N， 因为点P在抛物线上，所以|PF|＝|PN|， 所以|PF|＋|PQ|＝|PN|＋|PQ|，当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即QN垂直于准线时和最小， 又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x－5)2＋(y－1)2＝1得圆心M(5,1)，半径r＝1，所以|QN|min＝|MN|－r＝8.] 　　　　圆锥曲线的几何性质 1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系 (1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝； (2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝. 2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系． [例2]　(1)[多选](2024·南通调研二)已知双曲线C：－＝1(b＞0)的右焦点为F，直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则(　　) A．C的虚轴长为2 B．C的离心率为 C．|PF|的最小值为2 D．直线PF的斜率不等于－ [解析]　根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，求出b，再逐项判断即得． 双曲线C：－＝1的渐近线方程为bx±2y＝0，依题意，－＝－，解得b＝， 对于A，C的虚轴长2b＝2，A正确； 对于B，C的离心率e＝＝，B错误； 对于C，点F(，0)到直线l：x＋y＝0的距离＝，即|PF|的最小值为，C错误； 对于D，直线l：x＋y＝0的斜率为－，而点F不在l上，点P在l上，则直线PF的斜率不等于－，D正确． [答案]　AD (2)[多选](2024·黔西南州一模)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线Γ以F2为焦点，过F2的直线l交抛物线Γ于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列说法正确的是(　　) A．若x1＋x2＝8，则|AB|＝10 B．当＝4时，直线l的倾斜角为45° C．若M(4,2)，P为抛物线Γ上一点，则|PM|＋|PF2|的最小值为 D．4|AF2|＋|BF2|的最小值为9 [解析]　A选项，先得到F2(1,0)和抛物线方程，由焦半径公式得到|AB|＝10；B选项，设直线AB：x＝my＋1，联立y2＝4x，得到两根之和，两根之积，根据y2＝－4y1，得到直线l的斜率为±；C选项，根据焦半径公式转化为|PM|＋|PF2|＝|PG|＋|PF2|，数形结合得到最小值，得知C错误；D选项，在B选项基础上得到x1x2＝＝1，由基本不等式得到4|AF2|＋|BF2|＝4x1＋x2＋5≥2＋5＝9. A选项，由题意得F2(1,0)，故抛物线方程为y2＝4x， 由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋2＝8＋2＝10，A正确； B选项，由于直线l的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去， 设直线AB：x＝my＋1，联立y2＝4x，得y2－4my－4＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2＝－4y1 由韦达定理得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4， 故－3y1＝4m，－4y＝－4，解得y1＝±1，m＝－y1＝±， 故直线l的斜率为±，倾斜角不为45°，B错误； C选项，由题意得，准线方程为x＝－1，过点P作PG垂直于直线x＝－1，垂足为G， 由抛物线定义得|PF2|＝|PG|， 故|PM|＋|PF2|＝|PG|＋|PM|， 要想求得|PM|＋|PF2|的最小值，则过点M作MQ垂直于直线x＝－1于点Q， 故|PM|＋|PF2|的最小值为|MQ|，最小值为4＋1＝5，C错误； D选项，由题意得|AF2|＝x1＋1，|BF2|＝x2＋1， 由于y1y2＝－4，故x1x2＝＝1， 4|AF2|＋|BF2|＝4x1＋4＋x2＋1＝4x1＋x2＋5， 因为x1，x2＞0，由基本不等式得4|AF2|＋|BF2|＝4x1＋x2＋5≥2＋5＝9， 当且仅当4x1＝x2时，等号成立， 故4|AF2|＋|BF2|的最小值为9，D正确． [答案]　AD 圆锥曲线的几何性质的应用 确定椭圆和双曲线的离心率的值域范围，其关键就是建立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到关于a，c的关系式．建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)时，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质． 1．(2024·保定二模)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为方程2x2－5x＋2＝0的解，则C的渐近线的斜率的绝对值为(　　) A.　　 B. C.　　 D. 解析：D　[求出方程的根则得到离心率大小，再利用e2＝1＋2＝4即可得到答案． 因为方程2x2－5x＋2＝0的解为x＝或x＝2， 且双曲线的离心率大于1，所以e＝2.由e2＝1＋2＝4，解得＝.] 2．[多选](2024·河南TOP20名校联考)已知椭圆Γ1：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，将Γ1上所有点的横坐标与纵坐标分别伸长到原来的k(k＞0，k≠1)倍得到椭圆Γ2，则下列说法正确的是(　　) A．若t＞0，则＜ B．若Γ1，Γ2的离心率分别为e1，e2，则e1＝e2 C．若Γ1，Γ2的周长分别为C1，C2，则C2＝ D．若Γ1的四个顶点构成的四边形面积为，则Γ1的离心率为2(－1) 解析：AB　[利用糖水不等式判断选项A；根据椭圆离心率的定义式判断选项B；利用相似图形的相似比即可判断出选项C；综合运用椭圆的几何性质和四边形的面积公式判断选项D即可． 设点(x′，y′)为椭圆Γ2上任意一点， 则由题意知， 即， 代入椭圆Γ1的方程得＋＝1.所以椭圆Γ2的方程为＋＝1(a＞b＞0)． 因为a＞b＞0，t＞0，所以＜，所以A正确； 由已知得，e1＝，e2＝＝e1，所以B正确； 由已知得，Γ1∽Γ2，其相似比为1∶k，所以＝，所以C2＝kC1，因为k＞0，k≠1，所以C错误； 设c＝，因为Γ1的四个顶点构成的四边形的面积为，所以·2a·2b＝，所以2ab＝c2，所以2a＝c2，所以e4＋4e2－4＝0，所以e2＝＝2(－1)(负舍)，所以D错误．] 　　　　直线与圆锥曲线的位置关系 [例3]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知A(0,3)和P为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上两点． (1)求C的离心率； (2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程． [解]　(1)代入两点得到关于a，b的方程，解出即可；(2)方法一：以|AP|为底，求出三角形的高，即点B到直线AP的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B点坐标，则得到直线l的方程；方法二：同法一得到点B到直线AP的距离，再设B(x0，y0)，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B到直线AP的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB斜率不存在的情况，再设直线y＝kx＋3，联立椭圆方程，得到点B坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB斜率不存在的情况，再设PB：y－＝k(x－3)，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘表达面积即可． (1)由题意得，解得， 所以e＝＝＝. (2)法一：kAP＝＝－，则直线AP的方程为y＝－x＋3，即x＋2y－6＝0， |AP|＝＝，由(1)知C：＋＝1， 设点B到直线AP的距离为d，则d＝＝， 则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点B， 设该平行线的方程为：x＋2y＋C＝0(C≠－6)， 则＝，解得C＝6或C＝－18， 当C＝6时，联立， 解得，或， 即B(0，－3)或， 当B(0，－3)时，此时kl＝， 直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6＝0， 当B时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0， 当C＝－18时，联立得2y2－27y＋117＝0， Δ＝272－4×2×117＝－207＜0，此时该直线与椭圆无交点． 综上直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0. 法二：同法一得到直线AP的方程为x＋2y－6＝0， 点B到直线AP的距离d＝， 设B(x0，y0)，则，解得或， 即B(0，－3)或，以下同法一． 法三：同法一得到直线AP的方程为x＋2y－6＝0， 点B到直线AP的距离d＝， 设B(2cos θ，3sin θ)，其中θ∈[0,2π)，则有＝， 联立cos2θ＋sin2θ＝1， 解得或， 即B(0，－3)或，以下同法一； 法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B(0，－3)， S△PAB＝×6×3＝9，符合题意，此时kl＝，直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6＝0， 当线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋3， 联立椭圆方程有，则(4k2＋3)x2＋24kx＝0，其中k≠kAP，即k≠－， 解得x＝0或x＝，k≠0，k≠－， 令x＝，则y＝， 则B 同法一得到直线AP的方程为x＋2y－6＝0， 点B到直线AP的距离d＝， 则＝， 解得k＝， 此时B，则得到此时kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0， 综上直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0. 法五：当l的斜率不存在时，l：x＝3，B，|PB|＝3，A到PB距离d＝3， 此时S△ABP＝×3×3＝≠9不满足条件． 当l的斜率存在时，设PB：y－＝k(x－3)， 令P(x1，y1)，B(x2，y2)， ，消y可得(4k2＋3)x2－(24k2－12k)x＋36k2－36k－27＝0， Δ＝(24k2－12k)2－4(4k2＋3)(36k2－36k－27)＞0，且k≠kAP，即k≠－， ， |PB|＝ ＝ A到直线PB距离d＝，S△PAB＝··＝9， ∴k＝或，均满足题意，∵l的方程为：y＝x或y＝x－3，即3x－2y－6＝0或x－2y＝0. 法六：当l的斜率不存在时，l：x＝3，B， |PB|＝3，A到PB距离d＝3， 此时S△ABP＝×3×3＝≠9不满足条件． 当直线l斜率存在时，设l：y＝k(x－3)＋， 设l与y轴的交点为Q，令x＝0，则Q， 联立，则有(3＋4k2)x2－8kx＋36k2－36k－27＝0， (3＋4k2)x2－8kx＋36k2－36k－27＝0， 其中Δ＝8k22－4(3＋4k2)(36k2－36k－27)＞0，且k≠－， 则3xB＝，xB＝， 则S＝|AQ||xP－xB|＝＝9，解得k＝或k＝，经代入判别式验证均满足题意． 则直线l的方程为y＝x或y＝x－3，即3x－2y－6＝0或x－2y＝0. 直线与圆锥曲线的相交弦的弦长 解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y或x后得到一元二次方程，当Δ>0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系求出x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2，则弦长|AB|＝ ＝＝·|y1－y2|＝·(k为直线的斜率且k≠0)，当A，B两点坐标易求时也可以直接用|AB|＝求解． (2024·萍乡模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(，0)，且C的一条渐近线经过点D(，1)． (1)求C的标准方程； (2)是否存在过点P(2,1)的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． 解：(1)根据题意得到c＝，得出a2＋b2＝6，再由C的一条渐近线经过点D(，1)，求得a2＝2b2，联立方程组，求得a2＝4，b2＝2，即可求解；(2)设直线l的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入曲线方程得到·＝，由x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，求得k＝1，得出直线l的方程为y＝x－1，联立方程组，结合方程没有实根，即可得到答案． (1)因为双曲线C的右焦点为F(，0)，所以c＝，可得a2＋b2＝6， 又因为双曲线C的一条渐近线经过点D(，1)，可得＝，即a2＝2b2， 联立方程组，解得a2＝4，b2＝2， 所以双曲线C的标准方程为－＝1. (2)假设存在符合条件的直线l，易知直线l的斜率存在， 设直线l的斜率为k，且A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则，两式相减得x－x＝2(y－y)，所以·＝， 因为AB的中点为P(2,1)，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，所以k×＝，解得k＝1， 直线l的方程为y－1＝x－2，即y＝x－1， 把直线y＝x－1代入－＝1，整理得x2－4x＋6＝0， 可得Δ＝(－4)2－4×6＜0，该方程没有实根，所以假设不成立， 即不存在过点P(2,1)的直线l与C交于A，B两点，使得线段AB的中点为P. 学科网（北京）股份有限公司 $$