第1部分 专题5 微专题14 直线与圆（word教参）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

[教师用书独具] 2024年高考试卷 考情分布 命题解读 新高考全国Ⅰ卷 T11，T12，T16 1.考查内容：主要考查用直线与圆的方程、直线与圆的位置关系、圆锥曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的综合问题等． 2．趋势分析：(1)多层次：各种难度都有涉及，题型齐全； (2)综合性：强化通性通法，加大以圆锥曲线为载体的方法、能力的考查； (3)变角度：加大圆、圆锥曲线相关问题的考查力度； (4)重能力：加大运算、探究、证明等综合问题． 3．学科素养：直观想象、数学运算、逻辑推理. 新高考全国Ⅱ卷 T5，T10，T19 全国甲卷 T5，T12，T20 微专题14　直线与圆 ★[高考定位]　高考中基本的考点有直线与圆的方程问题，有时作为条件结合圆锥曲线进行综合命题．直线和圆的位置关系为高考命题的热点，需重点关注，此类试题的难度为中等偏下，多在选择题或填空题中出现． 　　　　直线的方程 1．直线方程的五种形式 (1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)． (2)斜截式：y＝kx＋b. (3)两点式：＝(x1≠x2，y1≠y2)． (4)截距式：＋＝1(a≠0，b≠0)． (5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)． 2．三种距离公式 (1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离： |AB|＝. (2)点P到直线l的距离：d＝(其中点P(x0，y0)，直线l的方程：Ax＋By＋C＝0)． (3)两平行线间的距离：d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2)． 3．两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1，若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在． [例1]　(1)[多选]下列说法正确的有(　　) A．直线y＝ax－3a＋2过定点(3,2) B．过点(2，－1)且斜率为－的直线的点斜式方程为y＋1＝－(x－2) C．斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x±3 D．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为x＋y－2＝0 [解析]　求出直线所过的定点判断A；写出直线的点斜式方程判断B；求出直线斜截式方程判断C；求出直线方程判断D作答． 对于A，直线方程可化为y＝a(x－3)＋2，显然恒过定点(3,2)，A正确；对于B，过点(2，－1)且斜率为－的直线的点斜式方程为y－(－1)＝－(x－2)，B正确；对于C，斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋3，C错误；对于D，经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距相等的直线过原点时，方程为y＝x，当该直线不过原点时，方程为x＋y－2＝0，D错误． [答案]　AB (2)(2024·新乡三模)已知直线l1：2x＋my－1＝0，l1：(m＋1)x＋3y＋1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得． 当m＝2时，直线l1：2x＋2y－1＝0，l2：3x＋3y＋1＝0，则l1∥l2， 当l1∥l2时，＝≠，解得m＝2， 所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件． [答案]　C 求解直线方程应注意的问题 (1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况． (2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式要求直线不能与x轴垂直；两点式要求直线不能与坐标轴垂直；截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． (3)求直线方程要考虑直线的斜率是否存在． [多选]下列说法正确的是(　　) A．直线xsin α－y＋1＝0的倾斜角的取值范围为∪ B．“c＝5”是“点(2,1)到直线3x＋4y＋c＝0距离为3”的充要条件 C．直线l：λx＋y－3λ＝0(λ∈R)恒过定点(3,0) D．直线l1：y＝2x＋1与直线l2：x＋2y＋1＝0垂直，且l1与圆x2＋y2＝5相交 解析：ACD　[先求出斜率范围，再求倾斜角的范围即可，则选项A可判定；由点到直线的距离公式构建方程求解即可，则选项B可判定；提取参数并消去参数可求得必过点，则选项C可判定；求出两直线的斜率，判定位置关系，求出圆心到直线距离并与半径比较，即可判定直线与圆的位置关系，则选项D可判定． 因为xsin α－y＋1＝0，所以斜率k＝sin α，则－1≤k≤1， 令倾斜角为β，则－1≤tan β ≤1，又0≤β＜π， 解得β∈∪，故选项A正确． 由点(2,1)到直线3x＋4y＋c＝0距离为3，可得＝3， 解得c＝5或c＝－25，故选项B错误． l：λx＋y－3λ＝0(λ∈R)，可得λ(x－3)＋y＝0， 令x－3＝0可得x＝3，y＝0， 所以l必过点(3,0)，故选项C正确； 直线l1：y＝2x＋1与直线l2：x＋2y＋1＝0中斜率分别为2，－，乘积为－1，故l1⊥l2， x2＋y2＝5的圆心到l1：2x－y＋1＝0距离d＝＝＜，故而l1与圆x2＋y2＝5相交，故选项D正确．] 　　　　圆的方程 1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2. 2．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F>0)表示以为圆心，为半径的圆． [例2]　(1)(2024·北京高考)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到x－y＋2＝0的距离为(　　) A.　　 B．2 C．3　　 D．3 [解析]　求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可． 由题意得x2＋y2－2x＋6y＝0，即(x－1)2＋(y＋3)2＝10， 则其圆心坐标为(1，－3)，则圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝3. [答案]　D (2)(2024·南昌三模)设圆心在x轴的圆C过点(1,1)，且与直线y＝2x－1相切，则圆C的标准方程为________． [解析]　设圆C的圆心为(m,0)，根据已知条件得出半径为，再将(1,1)代入(x－m)2＋y2＝即可解出m＝3，从而得到答案． 设圆C的圆心为(m,0)，则由于该点到直线y＝2x－1的距离d＝＝，结合圆C与直线相切，知圆C的半径为. 所以圆C的方程是(x－m)2＋y2＝. 而圆C过点(1,1)，所以(1－m)2＋12＝，解得m＝3. 所以圆C的标准方程是(x－3)2＋y2＝5. [答案]　(x－3)2＋y2＝5 求圆的方程的两种方法 (1)几何法：通过已知条件，利用相应的几何知识求圆的圆心，半径． (2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． 1．已知半径为3的圆C的圆心与点P(－2,1)关于直线x－y＋1＝0对称，则圆C的标准方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝9 B．(x－1)2＋(y－1)2＝81 C．x2＋(y＋1)2＝9 D．x2＋y2＝9 解析：C　[设出圆心坐标，根据对称关系列出方程组，求出圆心坐标，结合半径为3，即可求解． 设圆心坐标C(a，b)，由圆心C与点P关于直线y＝x＋1对称， 得到直线CP与y＝x＋1垂直， 结合y＝x＋1的斜率为1， 得直线CP的斜率为－1， 所以＝－1，化简得a＋b＋1＝0① 再由CP的中点在直线y＝x＋1上，＝＋1，化简得a－b－1＝0② 联立①②，可得a＝0，b＝－1， 所以圆心C的坐标为(0，－1)， 所以半径为3的圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝9.] 2．[多选]已知实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则(　　) A．当x≠0时，的最小值是－ B．x2＋y2的最小值是1 C．y－x的最小值是2－ D．|x＋y＋3|的最小值为2 解析：BC　[由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋(y－2)2＝1.该方程表示圆心为C(0,2)，半径r＝1的圆． 设＝k(x≠0)，则k表示圆上的点(除去点(0,1)和(0,3))与原点O(0,0)连线的斜率， 由y＝kx(x≠0)，则≤1，解得k≥或k≤－， 所以－≤＝≤(x可以为0)， 即当x≠0时，无最小值，故A错误； 因为x2＋y2表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在y轴上， 所以当x＝0，y＝1时，x2＋y2取得最小值，且最小值为1，故B正确． 设y－x＝b，则y＝x＋b，b表示当直线y＝x＋b与圆有公共点时直线在y轴上的截距， 则≤1，解得2－≤b≤2＋，即y－x的最小值是2－，故C正确； |x＋y＋3|表示为圆上点到直线x＋y＋3＝0距离的倍， 圆心(0,2)到直线距离为d＝， 则|x＋y＋3|的最小值为＝5－，故D错误．] 　　　　直线与圆、圆与圆的位置关系 1．直线与圆的位置关系的判定 (1)几何法 把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离． (2)代数法 将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，消元后得到一元二次方程，利用判别式Δ来讨论位置关系；Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离． 2．圆与圆的位置关系的判定 (1)d>r1＋r2⇔两圆外离； (2)d＝r1＋r2⇔两圆外切； (3)|r1－r2|<d<r1＋r2⇔两圆相交； (4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切； (5)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含． [例3]　(1)[多选]已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则下列命题正确的有(　　) A．直线l恒过定点(3,1) B．圆C被y轴截得的弦长为2 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0 [解析]　将直线方程化为l：m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，可求得定点坐标；将x＝0代入圆的方程，即可求得两交点纵坐标，即可得到弦长；求出圆心C(1,2)到定点的距离，即可判断C项；由题意知，当圆心C(1,2)与定点的连线恰好与l垂直时，弦长最短，可求出直线的斜率，代入点斜式方程即可判断D. 对于A，由已知可得，圆心C(1,2)，半径r＝5， 直线方程可化为l：m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0， 由，可得， 所以直线l恒过定点(3,1)，A选项正确； 对于B，将x＝0代入圆的方程有1＋(y－2)2＝25，解得y＝2±2， 弦长为＝4，B项错误； 因为点(3,1)到圆心C(1,2)的距离为＝＜5＝r， 所以点在圆内，直线l与圆C恒相交，C项正确； 当圆心C(1,2)与定点(3,1)的连线恰好与l垂直时，圆心到直线的距离最大， 直线l被圆C截得的弦长最小，则l的斜率k应满足·k＝－1，所以k＝2， 代入点斜式方程有y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，D正确． [答案]　ACD (2)[多选](2024·长沙模拟)若圆O1：x2＋y2＋2x－3＝0与圆O2：x2＋y2－2y－1＝0交于A，B两点，则下列选项中正确的是(　　) A．点(1，－1)在圆O2内 B．直线AB的方程为x＋y－1＝0 C．圆O1上的点到直线AB距离的最大值为2＋ D．圆O2上存在两点P，Q，使得|PQ|＞|AB| [解析]　对于A，将点(1，－1)带入圆O2即可；对于B，圆O1与圆O2方程相减即可；对于C，由圆心O1到直线AB的距离d＝再加半径2即可；对于D，直线AB经过圆O2的圆心，圆O2中不存在比AB长的弦． 对于A，因为12＋(－1)2－2×(－1)－1＝3＞0，所以点(1，－1)在圆O2外，故A错误； 对于B，圆O1：x2＋y2＋2x－3＝0与圆O2：x2＋y2－2y－1＝0交于A，B两点， 因为圆O1和圆O2相交，将两圆相减可得：x＋y－1＝0， 即公共弦AB所在直线的方程为x＋y－1＝0，故B正确； 对于C，圆O1的圆心坐标为(－1,0)，半径为2， 圆心O1到直线AB：x＋y－1＝0的距离d＝＝， 所以圆O1上的点到直线AB距离的最大值为2＋，故C正确； 对于D，直线AB经过圆O2的圆心(0,1)， 所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，D错误． [答案]　BC 1．直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路 (1)研究直线与圆的位置关系主要通过比较圆心到直线的距离和圆的半径实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆圆心距与两半径差与和的比较． (2)利用位置关系求过圆外一定点的切线方程的基本思路：先将直线方程设为点斜式，再利用圆心到直线的距离等于半径求斜率． 2．弦长的求解方法 (1)根据半径，弦心距，弦长的一半构成的直角三角形，构成三者间的关系R2＝d2＋(其中l为弦长，R为圆的半径，d为圆心到直线的距离)． (2)根据公式：l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)． 1．(2024·南京二模)“0＜r＜2”是“过点(1,0)有两条直线与圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)相切”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：B　[由已知点(1,0)在圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)外，求出r的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得答案． 由题意，点(1,0)在圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)外，则有0＜r＜1，又(0,1)⊆(0,2)，所以“0＜r＜2”是“过点(1,0)有两条直线与圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)相切”的必要不充分条件．] 2．[多选]已知⊙P：x2＋(y＋3)2＝9，⊙Q：x2＋2x＋y2＋8y＋m＝0，点A，B分别在⊙P，⊙Q上，则(　　) A．若⊙Q的半径为1，则m＝16 B．若m＝13，则⊙P与⊙Q相交弦所在的直线为2x＋2y－13＝0 C．直线l：ax－y－a－2＝0截⊙P所得的最短弦长为2 D．若|AB|的最小值为2－，则|AB|的最大值为2＋ 解析：AC　[直接求⊙Q的半径即可判断A；两圆方程相减即可得相交弦所在直线方程，从而判断B；易知直线l过定点，当定点与圆心连线与l垂直时，可得弦长最小值，从而判断C；先根据|AB|的最小值确定两圆的位置关系并求出m，从而可得|AB|的最大值，可判断D. 由题意得，⊙P：x2＋(y＋3)2＝9的圆心为P(0，－3)，半径r1＝3，⊙Q：(x＋1)2＋(y＋4)2＝17－m，圆心为Q(－1，－4)， 若⊙Q的半径为1，则17－m＝12，解得m＝16，故A正确； 若m＝13，则⊙Q：x2＋2x＋y2＋8y＋13＝0，两圆方程相减，得⊙P与⊙Q相交弦所在的直线为2x＋2y＋13＝0，故B错误； 易得直线l：ax－y－a－2＝0过定点(1，－2)，且点(1，－2)在⊙P内，则圆心P(0，－3)与点(1，－2)的距离为，则直线l：ax－y－a－2＝0被⊙P所截的最短弦长为2＝2，故C正确； 若|AB|的最小值为2－，则⊙P与⊙Q内含或外离，由点Q(－1，－4)在⊙P内，得⊙P与⊙Q内含， 当⊙Q被⊙P内含时，有|PQ|＝＜3－， 此时|AB|的最小值为3－(＋)＝2－，解得m＝16， ∴|AB|的最大值为6－(2－)＝4＋， 这种情况足以判断D错误．] 学科网（北京）股份有限公司 $$