第1部分 专题3 培优微专题12 数列与其他知识的综合问题（word教参）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

[培优微专题12]　数列与其他知识的综合问题 新高考下数列与其它知识的综合问题是高考的热点，也是各地模拟考试热点，经常以压轴大题的形式出现，一难度较大．考查的范围较广，数列常与概率、函数、解析几何相结合，也可以与集合、解三角形、立体几何相结合． 　 　　　数列与函数的综合 [例1]　给定函数f(x)，若数列{xn}满足xn＋1＝xn－，则称数列{xn}为函数f(x)的牛顿数列．已知{xn}为f(x)＝x2－x－2的牛顿数列，an＝ln，且a1＝1，xn＞2(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn.则S2024＝(　　) A．22023－1　　　　　 B．22024－1 C.2022－1 D.2023－1 [解析]　求出函数的导函数，即可得到xn＋1＝，从而得到＝2，两边取对数得到an＋1＝2an，再由等比数列求和公式计算可得． 由题意得f′(x)＝2x－1，则xn＋1＝xn－＝， 所以＝＝2， 则两边取对数可得ln＝2ln，即an＋1＝2an， 所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列． 所以S2024＝＝22024－1. [答案]　B 解决此类题目的关键点：(1)运用函数的性质找到数列所满足的条件；(2)使用数列的特征构造符合题意的形式． 1．函数y＝[x]为数学家高斯创造的取整函数，[x]表示不超过x的最大整数，如[0.90]＝0，[lg99]＝1，已知数列{an}满足a3＝3，且an＝n(an＋1－an)，若bn＝[lgan]，则数列{bn}的前2024项和为________． 解析：由已知等式可得＝，则为常数列，从而可得an＝n，然后由取整函数分类可求得结果． 因为an＝n(an＋1－an)，所以(n＋1)an＝nan＋1， 所以＝， 所以数列为常数列， 所以＝＝1，所以an＝n， 记{bn}的前n项和为Tn， 当1≤n≤9时，0≤lgan＜1， 当10≤n≤99时，1≤lgan＜2， 当100≤n≤999时，2≤lgan＜3， 当1000≤n≤2024时，3≤lgan＜4， 所以T2024＝[lga1]＋[lga2]＋…＋[lga2024] ＝90×1＋900×2＋1025×3＝4965. 答案：4965 　 　　　数列与平面向量的综合 [例2]在平面直角坐标系中，已知An(n，an)、Bn(n，bn)、Cn(n－1,0)(n∈N*)，满足向量n＋1与向量共线，且点Bn(n，bn)(n∈N*)都在斜率为6的同一条直线上，若a1＝6，b1＝12，则数列{an}的通项an＝________. [解析]　由点Bn(n，bn)(n∈N*)都在斜率为6的同一条直线上可得＝6，利用等差数列的定义可得数列{bn}的通项公式，再根据向量共线的坐标表示可得an＋1－an＝bn＝6n＋6，利用累加法求数列{an}即可． 因为点Bn(n，bn)(n∈N*)都在斜率为6的同一条直线上，所以＝6 ， 即bn＋1－bn＝6，所以数列{bn}是以12为首项，6为公差的等差数列， 故bn＝12＋6(n－1)＝6n＋6， 因为n＋1＝(1，an＋1－an)，＝(－1，－bn)，且n＋1与共线， 所以1×(－bn)－(－1)(an＋1－an)＝0，即an＋1－an＝bn＝6n＋6 所以当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝a1＋b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＝a1＋6(1＋2＋…＋n－1)＋6(n－1) ＝6＋6(n－1)＋6＝3n(n＋1)， 当n＝1时，上式也成立，所以an＝3n(n＋1)． [答案]　3n(n＋1) 此类问题是给定向量有关的如数量积、模、平行、垂直等知识来证明与数列相关的问题．要求对向量相关的运算比较熟练；掌握等差数列、等比数列的证明方法． 2．已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝a2＝1，平面内三个不共线的向量，，满足＝(an－1＋an＋1)＋(1－an)(n≥2且n∈N)，若A、B、C在同一直线上，则S2024＝________. 解析：根据平面向量共线的性质可得an－1＋an＋1＝an，再根据a1＝a2＝1列出{an}的项可得数列{an}是以6为周期的周期数列，进而求解即可． 因为平面内三个不共线的向量，，满足＝(an－1＋an＋1)＋(1－an)， 又A，B，C在同一直线上，所以(an－1＋an＋1)＋(1－an)＝1，即an－1＋an＋1＝an， 因为a1＝a2＝1，所以数列{an}为：1,1,0，－1，－1,0,1,1,0，－1，－1,0，… 则数列{an}是以6为周期的周期数列，前6项为1,1,0，－1，－1,0 又因为2024＝6×337＋2，所以S2024＝337×(1＋1＋0－1－1＋0)＋1＋1＝2. 答案：2 　　　　数列与导数的综合 [例3]　(2024·怀化二模)已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a＋a＋…＋a＝S. (1)求a1和a2的值，并求出数列{an}的通项公式； (2)证明：＋＋…＋＞ln(1＋n)； (3)设Tn＝＋＋…＋，求[T2024]的值(其中[x]表示不超过x的最大整数)． [解]　(1)令n＝1，n＝2，求出a1和a2的值；利用an，Sn的关系式证得{an}是等差数列，从而求出数列{an}的通项公式；(2)构造函数f(x)＝ln(1＋x)－x(x＞0)，利用导数证得ln(n＋1)－ln n＜，分别取n＝1,2，…，n，再利用累加法即可证明；(3)利用裂项相消法与累加法证得88＜1＋＋＋…＋＜89，从而得解． (1)由题意知当n＝1时，a＝a⇒a1＝1. 当n＝2时，1＋a＝(1＋a2)2⇒a－a2－2＝0⇒a2＝2. 因为a＋a＋…＋a＝S，则当n≥2时，有a＋a＋…＋a＋a＝S. 两式相减，得： a＝S－S＝(Sn＋1＋Sn)(Sn＋1－Sn)＝(Sn＋1＋Sn)an＋1＝(2Sn＋an＋1)an＋1， 又因为an＞0，所以a＝2Sn＋an＋1. 故2Sn＝a－an＋1,2Sn－1＝a－an(n≥2)，两式相减， 得2an＝a－an＋1－a＋an⇒(an＋1＋an)(an＋1－an)＝an＋1＋an. 因为an＋1＋an＞0，所以an＋1－an＝1(n≥2)． 又因为a1＝1，a2＝2，所以对∀n∈N*，有an＋1－an＝1， 故{an}是等差数列，因此an＝n. (2)设f(x)＝ln(1＋x)－x(x＞0)，则f′(x)＝－1＝＜0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)＜f(0)＝0，从而ln(x＋1)＜x. 令x＝(n∈N*)，得ln＜，即ln(n＋1)－ln n＜，分别取n＝1,2，…，n， 则ln 2－ln 1＜，ln 3－ln 2＜，ln 4－ln 3＜，…，ln(n＋1)－ln n＜， 累加得ln(n＋1)＜1＋＋＋…＋. (3)由(2)知T2024＝1＋＋＋…＋. 由－＝＜，知＞2(－)． 故1＞2(－1)，＞2(－)，…，＞2(－)， 所以1＋＋＋…＋＞2(－1)＝2(45－1)＝88. 又由－＝＞知＜2(－)， 故＜2(－1)，＜2(－)，…，＜2(－)， 所以1＋＋＋…＋＜1＋2(－1)＜1＋2(45－1)＝89. 故＝88，即[T2024]＝88. 利用导数证明不等式问题，方法如下： (1)直接构造函数法：证明不等式f(x)＞g(x)(或f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(或f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)； (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； (3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． 3．(2024·揭阳二模)已知函数f(x)＝ln x－. (1)当a＝1时，证明：f(x)是增函数． (2)若f(x)≤x恒成立，求a的取值范围． (3)证明：＋＋…＋≤n－(n≥2，n∈N*)． 解：(1)求定义域，求导，得到函数单调性，得到答案；(2)参变分离得到a＞，构造函数h(x)＝，求导得到其单调性和最值，得到h(x)≤h(1)＝－e，求出a的取值范围； (3)由(2)可知，当a＝－e时，≤1－，所以≤1－，…，≤1－，相加后得到结果． (1)当a＝1时，f(x)＝ln x－，定义域为(0，＋∞)， 则f′(x)＝－＝. 令g(x)＝ex＋x2－x，则g′(x)＝ex＋2x－1＞0在(0，＋∞)上恒成立， 则g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则g(x)＞g(0)＝1，故f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，f(x)是增函数． (2)当x＞0时，f(x)≤x等价于a＞， 令h(x)＝， 则h′(x)＝， 令φ(x)＝ln x－x－1，则φ′(x)＝， 当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增， 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减，所以φ(x)≤φ(1)＝－2. 所以当x∈(0,1)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减， 则h(x)≤h(1)＝－e，所以a≥h(x)max，即a≥－e，故a的取值范围为[－e，＋∞)． (3)证明：由(2)可知，当a＝－e时，有ln x＋≤x，则≤1－， 所以≤1－，…，≤1－， 故＋＋…＋≤(n－1)－＝n－. 学科网（北京）股份有限公司 $$