第1部分 专题2 培优微专题9 奔驰定理与四心问题（word教参）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

[培优微专题9]　奔驰定理与四心问题 在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整合，既自然又表达形式多样，在新高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力． 　　　　奔驰定理 1．奔驰定理 如图，已知P为△ABC内一点，则有S1·＋S2·＋S3·＝0(其中S1，S2，S3分别为△PBC，△PAC，△PAB的面积)． 证明：设∠APB＝α，∠APC＝β，||＝x， ||＝y，||＝z. 根据三角形正弦定理面积公式得 S1＋S2＋S3＝yzsin[2π－(α＋β)]·＋xzsin β＋xysin α＝－yzsin(α＋β)＋xzsin β＋xysin α，① 把①式两边与向量作数量积得 (S1＋S2＋S3)·＝－x2yzsin(α＋β)＋x2yzsin βcos α＋x2yzsin αcos β ＝x2yz[－sin(α＋β)＋sin βcos α＋sin αcos β]＝0. 同理：①式两边与向量，作数量积都得0. 但是S1＋S2＋S3不可能同时与，，三个向量垂直，而，，也不可能都为0，所以S1＋S2＋S3＝0. 该例对应的图形特别像奔驰汽车的标志，所以我们把上述结论称为奔驰定理，该定理对于推导出三角形的四心的向量结论有直接的作用． [例1]　(1)已知O是△ABC内部一点，满足＋2＋m＝0，且＝，则实数m等于(　　) A．2　　 B．3 C．4　　 D．5 [解析]　由奔驰定理得 S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0， 又＋2＋m＝0， ∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m. ∴＝＝，解得m＝4. [答案]　C (2)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶5 [解析]　方法一：将3－－＝0变形可得＋＋＝0， 根据奔驰定理可知S△BCM∶S△ACM∶S△ABM＝1∶1∶1， 则S△ABM∶S△ABC＝1∶3. 方法二：如图，D为BC边的中点，则＝(＋)， 因为3－－＝0， 所以3＝＋＝2，所以＝， 所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC. [答案]　B 利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比． 1．如图，设O为△ABC内一点，且满足＋2＋3＝3＋2＋，则等于(　　) A. B. C. D. 解析：D　[∵O为△ABC内一点，且满足＋2＋3＝3＋2＋， ∴＋2＋3＝3(－)＋2(－)＋(－)⇒3＋＋2＝0， ∵S△BOC·＋S△AOC·＋S△AOB·＝0， S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝3∶1∶2， ∴＝＝.] 　　　　三角形的四心 三角形四心的向量表示及结论(利用奔驰定理自行完成证明) (1)点O是△P1P2P3的重心⇔1＋2＋3＝0⇔ ＝S△P1P2P3； (2)点O是△P1P2P3的垂心⇔1·2＝2·3＝3·1⇔tan P1·1＋tan P2·2＋tan P3·3＝0⇔＝tan P1∶tan P2∶tan P3(△P1P2P3不是直角三角形)； (3)点O是△P1P2P3的内心⇔a1＋b2＋3＝0⇔＝a∶b∶c(其中a，b，c是△P1P2P3的三边，分别对应角P1，P2，P3)； (4)点O是△P1P2P3的外心⇔|1|＝|2|＝|3|⇔1sin 2P1＋2sin 2P2＋3sin 2P3＝0⇔＝sin 2P1∶sin 2P2∶sin 2P3. [例2]　(1) 已知点O为△ABC所在平面内一点，若动点P满足＝＋λ(＋)(λ≥0)，则点P一定经过△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 [解析]　取BC的中点D，由＝＋λ(＋)(λ≥0)，得＝2λ，从而可得与共线，得直线AP与直线AD重合，进而得结论． 取BC的中点D，则＋＝2， 因为＝＋λ(＋)(λ≥0)， 所以＝2λ， 所以与共线，即直线AP与直线AD重合， 所以直线AP一定过△ABC的重心． [答案]　D (2)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋ ，λ∈R，则P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 [解析]　利用向量的数量积的定义式结合三角函数诱导公式化简已知等式，再由向量的数量积为零推出向量垂直即可． 如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D点． 则·＝＝－||， 同理·＝||， ∵动点P满足＝＋ ，λ∈R. ∴＝，λ∈R. ∴·＝＝λ(－||＋||)＝0， ∴⊥， 因此P的轨迹一定通过△ABC的垂心． [答案]　D 求解内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，涉及三角形的四心问题时，要注意观察题目有无这一条件． 2．已知点O是△ABC所在平面上的一点，△ABC的三边为a，b，c，若a＋b＋c＝0，则点O是△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析：B　[在AB，AC上分别取点D，E，使得＝，＝，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，即可得知四边形ADFE是菱形，再根据平 面向量线性运算法则及共线定理得知A，O，F三点共线，即可得知O在∠BAC的平分线上，同理说明O在其他两角的平分线上，即可判断． 在AB，AC上分别取点D，E，使得＝，＝，则||＝||＝1. 以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图， 则四边形ADFE是菱形， 且＝＋＝＋.∴AF为∠BAC的平分线．∵a＋b＋c＝0 ∴a·＋b·(＋)＋c·(＋)＝0， 即(a＋b＋c)＋b＋c＝0， ∴＝＋＝＝. ∴A，O，F三点共线，即O在∠BAC的平分线上． 同理可得O在其它两角的平分线上， ∴O是△ABC的内心．] 学科网（北京）股份有限公司 $$