第1部分 专题2 培优微专题8 极化恒等式和等和线定理（word教参）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

[培优微专题8]　极化恒等式和等和线定理 平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角、数列、几何等知识相结合考查．平面向量的极化恒等式、等和线，对于解决平面几何问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用． 　　　　极化恒等式 极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]． 1．几何意义：如图1向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. 图1 2．平行四边形模式：如图2，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，则·＝(||2－||2)． 图2 3．(1)三角形模式：如图3，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝||2－||2. (2)三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决． (3)记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边边长的一半的平方差． 图3 [例1]　(1)如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝(　　) A．－　　　　　 B．－ C．－ D．－ [解析]　∵＝2，圆O的半径为1， ∴||＝. 法一　·＝(＋)·(＋) ＝2＋·(＋)＋· ＝2＋0－1＝－. 法二　由极化恒等式得 ·＝2－2＝－1＝－. [答案]　B (2)在△ABC中，点E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上，若△ABC的面积为2，则·＋2的最小值为________． [解析]　取BC中点O，连接PO，作PN⊥BC交BC于点N， 由极化恒等式得·＝2－2， 所以·＋2＝2＋2， 在△ABC中，S△ABC＝||·2||＝||||＝2， 则||＝， 又由图可得||≥||， 所以2＋2≥||2＋≥2＝2， 当且仅当PO⊥BC，且||2＝， 即||＝时等号成立． 所以·＋2的最小值为2. [答案]　2 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题． 1．如图，在四边形ABCD中，B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________． 解析：依题意得AD∥BC，∠BAD＝120°， 由·＝||·||·cos∠BAD＝ －||＝－，得||＝1，＝6， 因此λ＝. 取MN的中点E，连接DE(图略)， 则＋＝2， ·＝[(＋)2－(－)2] ＝2－2＝2－. 当点M，N在线段BC上运动时，DE的最小值等于点D到直线BC的距离， 即|AB|·sin B＝， 因此2－的最小值为2－＝， 即·的最小值为. 答案：　 　　　　等和线定理 平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线． (1)当等和线恰为直线AB时，k＝1； (2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)； (3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O点时，k＝0； (5)若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数； (6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比． [例2]　(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于(　　) A．1　　 B. C.　　 D. [解析]　法一(通法) ∵E为线段AO的中点， ∴＝(＋)＝＝＋＝λ＋μ， ∴λ＝，μ＝， 则λ＋μ＝. 法二(等和线法) 如图，AD为值是1的等和线，过E作AD的平行线，设λ＋μ＝k， 则k＝. 由图易知，＝. [答案]　B (2)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　) A．3 B．2 C. D．2 [解析]　如图所示，由平面向量基底等和线定理知，当等和线l与圆相切时，λ＋μ最大，此时λ＋μ＝＝＝＝3. [答案]　A 要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，以此来求其他的等和(高)线． 2．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，设＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为________． 解析：法一(通法) 分别以边OA，OC所在直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则＝(0,1)，＝(2,0)， 设P(x，y)，＝(x，y)， ∴(x，y)＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴ ∴λ＋μ＝x＋y， 设z＝x＋y，则y＝－x＋z， 所以z是直线y＝－x＋z在y轴上的截距， 由图可知，当该直线过点B(1,1)时，它在y轴上的截距最大，为； 和直线CD重合时，在y轴上的截距最小，为1，故z∈，即λ＋μ∈. 法二(等和线法)　如图，设λ＋μ＝k，则直线CD为k＝1的等和线，所有与直线CD平行的直线中，过点B的直线离点O最远，此时k的值最大，且此时k＝， 易知AD＝DE＝1，故此时k＝， 显然k的最小值为1， 即λ＋μ∈. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$