第1部分 专题2 培优微专题7 平面向量数量积的最值与范围问题（word教参）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

[培优微专题7]　平面向量数量积的最值与范围问题 与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现，多以小题形式考查，难度中档．主要考查向量模、夹角、数量积、系数的最值或范围． 　　　　向量模的最值、范围 [例1]　(2024·永州三模)在△ABC中，∠ACB＝120°，||＝3，||＝4，·＝0，则|＋|的最小值为(　　) A．6－2　　　　　　 B．2－4 C．3－1 D.－2 [解析]　以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，过C垂直BC的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，求得点D的轨迹方程，取BD的中点为M，求得M的轨迹方程，数形结合可求|＋|min. 由题意，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，过C垂直CB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则A，B(4,0)，由·＝0，可得D是以BC为直径的圆， 所以D的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4， 取BD的中点为M，设M(x，y)，D(x0，y0)， 可得，所以，所以(2x－6)2＋(2y)2＝4， 所以点M的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝1，圆心为H(3,0)，半径为1， 由＋＝2，所以|＋|＝2||，所以|＋|min＝2||min， 所以||min＝||－1 ＝－1＝3－1， 所以|＋|min＝6－2. [答案]　A 求模的范围或最值常见方法 (1)通过|a|2＝a2转化为实数问题； (2)数形结合； (3)坐标法． 1．(2024·江苏苏锡常镇四市调研)如图，圆O1和圆O2外切于点P，A，B分别为圆O1和圆O2上的动点，已知圆O1和圆O2的半径都为1，且·＝－1，则|＋|2的最大值为(　　) A．2　　 B．4 C．2　　 D．2 解析：D　[由·＝(＋)·(＋)＝－1，化简得到|·|＝|·(－)|≤|－|，两边平方化简可得：－1－≤·≤－1＋，由|＋|2＝|＋＋＋|2化简即可得到答案． ·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋· ＝－1＋·(－)＋·＝－1， 所以|·|＝|·(－)|≤|－|， 所以|·|2≤||2＋||2－2·，即|·|2＋2　－2≤0， 解得－1－≤·≤－1＋. |＋|2＝|＋＋＋|2＝|＋|2＝||2＋||2＋2·＝2＋2·≤2＋2×(－1＋)＝2.] 　 　　　向量数量积的最值、范围 [例2]　(2024·天津高考)在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，CE＝DE，＝λ＋μ，则λ＋μ＝________；F为线段BE上的动点，G为AF中点，则·的最小值为________． [解析]　解法一：以{，}为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得λ＋μ，设＝k，求，，结合数量积的运算律求·的最小值；解法二：建系标系，根据向量的坐标运算求，即可得λ＋μ，设F(a，－3a)，a∈，求出，的坐标，结合数量积的坐标运算求·的最小值． 解法一：因为CE＝DE，即＝，则＝＋＝＋， 可得λ＝，μ＝1，所以λ＋μ＝； 由题意可知：||＝||＝1，·＝0， 因为F为线段BE上的动点， 设＝k＝k＋k，k∈[0,1]， 则＝＋＝＋k＝＋k， 又因为G为AF中点，则＝＋＝－＋＝＋， 可得·＝· ＝2＋k＝2－， 又因为k∈[0,1]，可知：当k＝1时，·取到最小值－； 解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(－1,0)，B(0,0)，C(0,1)，D(－1,1)，E， 可得＝(－1,0)，＝(0,1)，＝， 因为＝λ＋μ＝(－λ，μ)，则，所以λ＋μ＝； 因为点F在线段BE：y＝－3x，x∈上，设F(a，－3a)，a∈， 且G为AF中点，则G， 可得＝(a＋1，－3a)，＝， 则·＝＋(－3a)＝52－， 且a∈，所以当a＝－时，·取到最小值为－. [答案]　　－ 结合图形求解运算量较小，建立坐标系将数量积用某个变量表示，转化为函数的值域问题，其中选择的变量要有可操作性． 2．(2024·鹰潭二模)在Rt△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c，A＝，C＝，c＝2，P是△ABC外接圆上一点，则·(＋)的最大值是(　　) A．4 B．2＋ C．3 D．1＋ 解析：A　[先判断△ABC外接圆圆心O是AB的中点，将·(＋)化简为2·，再将分解整理得22＋2·，结合图形，利用向量数量积的定义式进行分析，即得·(＋)的最大值． 如图，设Rt△ABC的外心为O，则点O是AB的中点， 由·(＋)＝2·＝2(＋)·＝22＋2·， 因c＝2，故||＝||＝1， 而·＝cos〈，〉， 故·(＋)≤2＋2＝4，当且仅当与同向时取等号．] 　 　　　向量夹角的最值、范围 [例3]　(2024·临汾适应性考试)在平行四边形ABCD中，＋＝，λ∈[，3]，则cos∠BAD的取值范围是(　　) A. B. C. D. [解析]　根据向量的运算律及数量积定义计算即可． 设与同方向的单位向量＝e1，与同方向的单位向量＝e2，与同方向的单位向量＝e3， 由题意，所以e1＋3e2＝λe3， 所以(e1＋3e2)2＝λ2e，即e＋6e1·e2＋9e＝λ2e， 所以1＋6×1×1×cos∠BAD＋9＝λ2， 所以cos∠BAD＝， 因为λ∈[，3]，所以λ2∈[7,9]， 所以∈， 即cos∠BAD∈. [答案]　A 向量夹角取值范围的计算，解题的关键就是将向量的坐标特殊化处理，借助基本不等式来求解． 3．已知非零向量a，b的夹角为θ，|a＋b|＝2，且|a||b|≥，则夹角θ的最小值为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[应用向量数量积运算律及题设可得4≥2|a|·|b|(1＋cos θ)，注意等号成立条件，结合已知不等条件求θ范围，即可得最小值． 由|a＋b|2＝4有|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|cos θ＝4，即4≥2|a|·|b|(1＋cos θ)≥(1＋cos θ)， 前一个等号成立条件为|a|＝|b|，整理得cos θ≤.由于θ∈[0，π]，所以≤θ≤π，于是夹角为θ的最小值为.] 学科网（北京）股份有限公司 $$