第1部分 专题2 微专题8 三角恒等变换与解三角形（word教参）-【创新教程】2025年高考数学大二轮专题增分方案

微专题8　三角恒等变换与解三角形 ★[高考定位]　三角恒等变换与解三角形是高考考查的热点，多以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简，综合性较强，解三角形常以解答题的形式考查正、余弦定理的应用，难度中等． 　　　　三角恒等变换 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓ sin αsin β； (3)tan(α±β)＝ 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝. [例1]　(1)(2024·云南333联考三)若sin θ＋sin＝，则sin＝(　　) A.　　 B. C.　　 D. [解析]　根据题意，利用两角和与差的三角函数，准确运算，即可求解． 由sin θ＋sin＝sin＋ sin＝2sincos＝， 即2sin×＝，所以sin＝. [答案]　A (2)(2024·新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin(α＋β)＝________. [解析]　法一：根据两角和与差的正切公式得tan(α＋β)＝－2，再缩小α＋β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案． 法一：由题意得tan(α＋β)＝＝＝－2， 因为α∈， β∈，k，m∈Z， 则α＋β∈，k，m∈Z， 又因为tan(α＋β)＝－2＜0， 则α＋β∈，k，m∈Z，则sin(α＋β)＜0， 则＝－2，联立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，解得sin(α＋β)＝－. 法二： 因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos α＞0，cos β＜0， cos α＝＝， cos β＝＝， 则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝cos αcos β(tan α＋tan β) ＝4cos αcos β＝ ＝ ＝＝－. [答案]　－ 三角恒等变换的“4大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦． 1．(2024·新课标全国Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　) A．－3m B．－ C. D．3m 解析：A　[由tan αtan β＝2，得sin αsin β＝2cos αcos β，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－cos αcos β＝m，故cos αcos β＝－m，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝3cos αcos β＝－3m.] 2．(2024·承德二模)已知tan x＝，则＋＝________. 解析：利用三角恒等变换化简算式得＋＝tan 3x－tan x，已知tan x＝，由正切的倍角公式求出tan 3x即可求得结果． ＝ ＝＝tan 3x－tan 2x，＝ ＝＝tan 2x－tan x， 所以＋＝tan 3x－tan x， 而tan 3x＝tan(2x＋x)＝＝＝＝， 因此原式＝－＝. 答案： 　　　　解三角形 1．正弦定理及其变形 在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2Rsin A，sin A＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等． 2．余弦定理及其变形 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A； 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝. [例2]　(1)(2024·新课标全国Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. (1)求A； (2)若a＝2，bsin C＝csin 2B，求△ABC的周长． [解]　(1)根据辅助角公式对条件sin A＋cos A＝2进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；(2)先根据正弦定理边角互化算出B，然后根据正弦定理算出b，c即可得出周长． (1)方法一：常规方法(辅助角公式) 由sin A＋cos A＝2可得sin A＋cos A＝1，即sin＝1， 由于A∈(0，π)⇒A＋∈，故A＋＝，解得A＝. 方法二：常规方法(同角三角函数的基本关系) 由sin A＋cos A＝2，又sin2A＋cos2A＝1，消去sin A得到： 4cos2A－4cos A＋3＝0⇔(2cos A－)2＝0，解得cos A＝， 又A∈(0，π)，故A＝. 方法三：利用极值点求解 设f(A)＝sin A＋cos A(0＜A＜π)，则f(A)＝2sin(0＜A＜π)， f(A)在开区间(0，π)上取得最大值，也即取得极值， 即f′(A)＝0＝cos A－sin A，即tan A＝， 又A∈(0，π)，故A＝. 方法四：利用向量数量积公式(柯西不等式) 设a＝(1，)，b＝(sin A，cos A)，由题意，a·b＝sin A＋cos A＝2， 根据向量的数量积公式， 则2cos〈a，b〉＝2⇔cos〈a，b〉＝1，此时〈a，b〉＝0，即a，b同向共线， 根据向量共线条件，1·cos A＝·sin A⇔tan A＝， 又A∈(0，π)，故A＝. 方法五：利用万能公式求解 设t＝tan ，根据万能公式，sin A＋cos A＝2＝＋， 整理可得，t2－2(2－)t＋(2－)2＝0＝(t－(2－))2， 解得tan ＝t＝2－，根据二倍角公式，tan A＝＝， 又A∈(0，π)，故A＝. (2)由题设条件和正弦定理 bsin C＝csin 2B⇔sin Bsin C ＝2sin Csin Bcos B， 又B，C∈(0，π)，则sin Bsin C≠0，进而cos B＝，得到B＝， 于是C＝π－A－B＝， sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋sin Bcos A＝， 由正弦定理可得，＝＝，即＝＝， 解得b＝2，c＝＋， 故△ABC的周长为2＋＋3. 正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和这其中一边的对角”应采用正弦定理． (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”一般采用余弦定理． 注意：应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”． (2024·新课标全国Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 解：(1)由余弦定理可得：cos C＝＝， 因为C∈(0，π)，所以C＝，所以cos B＝sin C＝，即cos B＝， 因为B∈(0，π)，所以B＝. (2)由(1)可得A＝π－B－C＝π，设△ABC外接圆的半径为R， 由正弦定理可得：＝＝＝2R，所以b＝R，c＝R，sin A＝sin(B＋C) ＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝， 所以S△ABC＝bcsin A＝·R·R·＝3＋，解得R＝2， 所以c＝2. 　　　　解三角形的实际应用 解三角形应用题的常考类型 1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． 2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． [例3]　(1)湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图所示的四边形ABCD区域建一处湿地公园．已知∠DAB＝90°，∠DBA＝45°，∠BAC＝30°，∠DBC＝60°，AB＝2千米，则CD＝______千米． [解析]　在△BAC中，由正弦定理得＝， 所以＝， 即＝， 所以4＝，所以AC＝＋， 又∠DAB＝90°，∠DBA＝45°，所以△ABD为等腰直角三角形，所以AD＝AB＝2； 在△DAC中，由余弦定理得 CD＝ ＝＝2，所以CD＝2. [答案]　2 (2)在气象台正西方向300 km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40 km/h，距台风中心250 km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约________小时后气象台所在地开始受到影响(参考数据：≈1.4，≈2.6)． [解析]　设气象台所在地为O，台风中心为A，约t小时后气象台所在地将受到影响，t小时后中心移动至B处，∠BAO＝45°，如图所示． 在△OAB中，AB＝40t，OA＝300，OB＝250， 由余弦定理，2502＝(40t)2＋3002－2×300×40t×，整理得16t2－120t＋275＝0， 解得t1＝，t2＝， 依题意，保留t1＝≈2，故约2小时后影响气象台所在地． [答案]　2 解三角形实际问题的步骤 (2024·湛江二模)财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼．为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B、C与O在同一水平面上，他测得BC＝102米，∠BOC＝120°，在点B处测得点A的仰角为θ(tan θ＝2)，在点C处测得点A的仰角为45°，则财富汇大厦的高度OA＝________米． 解析：根据仰角设出长度，再根据余弦定理列出△OBC的边长关系，解方程求解即可． 设AO＝h米，因为在点B处测得点A的仰角为θ，所以＝2，所以OB＝.因为在点C处测得点A的仰角为45°，所以OC＝h米．由余弦定理，可得BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos∠BOC，即1022×7＝h2＋h2＋h2＝h2，解得h＝204. 答案：204 学科网（北京）股份有限公司 $$